精品解析：2024年广西初中学业水平考试模拟卷（一）

2024年广西初中学业水平考试模拟卷（一）数学 （全卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 的绝对值为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，等腰直角三角形如图放置，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在池塘外取一点，使它可以直接看到，两点，连接并延长， ，在的延长线上取一点，在 的延长线上取一点，使，且测量得的长度为50米，则，两点的距离是（ ） A. 110米 B. 100米 C. 50米 D. 25米 8. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理 门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择 科．某同学从门再选科目中随机选择 科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 10. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，四边形 中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按 的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到 的中点时，的面积为（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.6 12. 把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 化简：______． 14. 分解因式：m2-6m+9=_______． 15. 如图，直线： 与直线：相交于点，则方程组的解为________． 16. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高 约为_________cm．（结果精确到，参考数据：，，） 17. 如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边 放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ______． 18. 如图，已知正方形 中，点，分别在边、 上，且，连接、，若的最小值为，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中a＝2 21. 如图，在 中， ，，作线段 的垂直平分线，交 于点D，交 于点E． （1）由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证： ． 22. 某校组织七、八年级学生参加厂“科教兴国、强国在我”科普知识竞赛．现该校从七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为五组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 （1）直接写出图表中、、的值：______，______， ______． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 23. 如图， 是的弦，直径，垂足为点 为弧 上的一点，连接 ，交线段 于点，作 ，交延长线于点 ． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 24. 为推进主题公园设施建设，某城市公园管理局准备改扩建绿化一块草坪场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 8000 乙 x 6000 信息二 甲工程队施工，所需天数与乙工程队施工，所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于，求该段时间内城市公园管理局至少需要支付多少施工费用？ 25. 如何确定隧道中警示灯带的安装方案？ 素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽 为，高OC为． 素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系求出最右边一条灯带安装点的横坐标． 26. 【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形 和矩形 中，，点、分别是 、 上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值， _____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形 绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接 ，取 的中点 ，连接，求线段长度的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广西初中学业水平考试模拟卷（一）数学 （全卷满分：120分，考试时间：120分钟） 一、单项选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的） 1. 的绝对值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，关键是掌握绝对值的意义． 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案． 【详解】解：的绝对值为， 故答案为：A． 2. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．利用科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，合并同类项，积的乘方，掌握整式的混合运算是解题的关键． 根据同底数幂的乘除法可判定A，D选项，根据合并同类项的方法可判定B选项，根据积的乘法判定C选项，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算正确，符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意；   故选： C． 5. 如图，已知，等腰直角三角形如图放置，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的性质，由题意得，从而得出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 由题意得：， ， ， ， 故选：C． 6. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得到答案． 【详解】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意； B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B不符合题意； C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C不符合题意； D、如；故D符合题意； 故选D． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱 7. 如图，在池塘外取一点，使它可以直接看到，两点，连接并延长，，在的延长线上取一点，在的延长线上取一点，使，且测量得的长度为50米，则，两点的距离是（ ） A. 110米 B. 100米 C. 50米 D. 25米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形相似的应用，根据相似形的判定定理判断出和相似，再根据三角形相似的性质解答即可． 【详解】解：∵和中，，且 ， ∴， ∴， 又∵米， ∴ 米． 故选：B． 8. 新高考“”选科模式是指除语文、数学、外语门科目以外，学生应在历史和物理门首选科目中选择科，在思想政治、地理、化学、生物学门再选科目中选择科．某同学从门再选科目中随机选择科，恰好选择化学和生物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 思想政治 地理 化学 生物 思想政治 （思想政治，地理） （思想政治，化学） （思想政治，生物） 地理 （地理，思想政治） （地理，化学） （地理，生物） 化学 （化学，思想政治） （化学，地理） （化学，生物） 生物 （生物，思想政治） （生物，地理） （生物，化学） 共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种， 恰好选择化学和生物的概率为． 故选：B． 9. 如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的计算方法计算方法求得侧面积． 【详解】解：∵圆锥的母线长是 ， ∴底面周长是 ∴圆锥体的侧面积是： 故选C． 10. “爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，由甲所花的时间加上小时等于乙所花的时间建立方程即可． 【详解】解：设甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，则 ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 11. 如图1，四边形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按 的顺序在边上匀速运动，设P点的运动时间为，的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．当点P运动到的中点时，的面积为（　　） A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.6 【答案】A 【解析】 【分析】首先结合图形和函数图象判断出的长和的长，进而可得的长，从而可得点坐标，然后再计算出当时直线解析式，然后再代入的值计算出即可． 【详解】解：根据题意得：四边形是梯形， 当点从运动到处需要2秒，则， 面积为4， 则， 根据图象可得当点运动到点时，面积为10， 则，则运动时间为5秒， ， 设当时，函数解析式为， ， 解得， 当时，函数解析式为， 当运动到中点时时间， 则 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、三角形面积公式，利用数形结合的思想方法是解决问题的关键． 12. 把抛物线沿直线方向平移个单位后，其顶点在原抛物线上，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，关键是把沿直线方向的平移分解为水平方向和竖直方向的平移． 先求原抛物线的顶点，再根据平移方向和距离确定平移方式，平移后顶点在原抛物线上，代入方程求解． 【详解】原抛物线可化为，顶点为， 已知直线，当时，；当时，， 一次函数过点，， ， 平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位或向左平移个单位，向下平移个单位， 新的顶点为或， 当顶点为时， ， ， ， ， ； 当顶点为时， ， ， ， ， ，与 矛盾； 故． 故选： ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 13. 化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘除运算性质，准确计算是解题的关键． 应用平方根的性质，将根号内的分数分解为分子的平方根除以分母的平方根． 【详解】； 故答案是：． 14. 分解因式：m2-6m+9=_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接应用完全平方公式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 15. 如图，直线： 与直线：相交于点，则方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系、待定系数法等知识，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．由两条直线的交点坐标，先求出m，再求出方程组的解即可． 【详解】把点代入 得， ∴点P的坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为： 16. 如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为_________cm．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的三线合一性质得到的值，再利用正切定义求解即可． 本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键． 【详解】∵， ，， ， 中， ， 故答案为：11.2． 17. 如图，将一块等腰直角三角板的一条直角边放置在轴上，反比例函数的图象经过点，交斜边于点，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，解题的关键是结合题意，利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式． 先求出反比例函数的解析式，结合图形求出点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为：，联立反比例函数和直线：，即可求出两个图像的交点，从而得到点的坐标，再构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】反比例函数过点， ， 反比例函数解析式为， 又依题意可得， 设直线的解析式为， 直线过，， ， ， ， 联立方程组得， 解得：和， ， ， 如图，构造 ， ，， ． 故答案是：． 18. 如图，已知正方形中，点，分别在边、上，且，连接、，若的最小值为 ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 延长至点，使得，连接 ，，首先证明 ，易得，即有，故当点、、在同一直线上时，取最小值 ，然后利用勾股定理求解，即可获得答案． 【详解】如图所示， 延长至点，使得，连接 ，， ， ，，， ， ， ， 当点、、在同一直线上时，取最小值 ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案是：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合的运算，要熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据含乘方的有理数的混合运算求解即可． 【详解】解：原式． 20. 先化简，再求值：，其中a＝2 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当 时，原式． 21. 如图，在中， ，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E． （1）由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）求证： ． 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 证明：如图，连接， 由（1）知，是线段的垂直平分线， ∴． ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ． ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及直角三角形的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）分别以A、B为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线即为所求； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等边对等角可得 ，然后再计算出 的度数，再根据直角三角形 角所对的直角边等于斜边的一半进而可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校组织七、八年级学生参加厂“科教兴国、强国在我”科普知识竞赛．现该校从七、八年级学生中分别随机抽取了20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为五组：，，，），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的成绩是：69，76，78，79，82，84，85，86，86，86，86，88，88，90，92，92，95，98，100，100． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：83，85，85，86，87，89，89，89，89． 根据以上信息，解答下列问题： 七、八两年级抽取的学生成绩数据统计表 班级 平均数 中位数 众数 满分率 七年级 87 86 八年级 87 89 （1）直接写出图表中、、的值：______，______， ______． （2）根据以上数据，你认为七年级和八年级中哪个年级的学生掌握科普知识较好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级有400名学生和八年级有500名学生参加了此次科普知识竞赛，请估计两个年级成绩达到90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）86，88，30 （2） 八年级的学生掌握科普知识较好．理由如下： 七年级和八年级抽取的学生成绩的平均数相同，但八年级的中位数比七年级的中位数大， 所以八年级的学生掌握科普知识较好． （3）两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有290人 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据中位数、众数的定义可得答案． （2）根据平均数、中位数的意义可得结论． （3）根据用样本估计总体，用400乘以七年级成绩达到90分及以上的百分比加上500乘以八年级成绩达到90分及以上的百分比即可得出答案． 【小问1详解】 由七年级20名学生的成绩可知，出现次数最多的为86， ． 八年级20名学生的成绩在组中的人数为 （人）， 在组中的人数为 （人）， 将八年级20名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第10和11位的为87，89， ， 八年级20名学生的成绩在组中的人数为 （人）， ， 故答案为：86，88，30； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）． 两个年级成绩达到90分及以上的学生一共约有290人． 23. 如图，是的弦，直径，垂足为点 为弧上的一点，连接 ，交线段于点，作 ，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，则 ， ， ， ， ， ，且 ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． （2）的半径为 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据已知条件证明 ，得到 ，即可得证； （2）作 于点，则 ，得到，设 ，，则 ，利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作 于点，则 ， ， ， ， 设 ，，则 ， 在 中，，即：， ， ， 的半径为5． 24. 为推进主题公园设施建设，某城市公园管理局准备改扩建绿化一块草坪场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息一 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 8000 乙 x 6000 信息二 甲工程队施工，所需天数与乙工程队施工，所需天数相等． （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于，求该段时间内城市公园管理局至少需要支付多少施工费用？ 【答案】（1）400 （2）该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解题的关键是，找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系得出关于的函数关系式． （1）根据“甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等”得出分式方程，解方程即可得出答案； （2）设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，根据“完成的施工面积不少于”列出不等式，得出，设该段时间内城市公园管理局需要支付元施工费用，得出关于的函数关系式，由一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得： ， 经检验， 是所列方程的解，且符合题意， 的值是. 【小问2详解】 解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天， 由题意得：， 解得：， 设该段时间城市公园管理局需要支付元施工费用， 则，即， ， 随着的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值， 该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用． 25. 如何确定隧道中警示灯带的安装方案？ 素材1 2022年10月，温州市府东路过江通道工程正式开工，建成后将成为温州瓯江第一条超大直径江底行车隧道．隧道顶部横截面可视为抛物线，隧道底部宽为，高OC为． 素材2 货车司机长时间在隧道内行车容易疲劳驾驶，为了安全，拟在隧道顶部安装上下长度为的警示灯带，沿抛物线安装．（如图2）．为了实效，相邻两条灯带的水平间距均为（灯带宽度可忽略）；普通货车的高度大约为（载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ．灯带安装好后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定隧道形状 在图1中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究安装范围 在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带安装点的横、纵坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 求出同一个横截面下，最多能安装几条灯带，并根据你所建立的坐标系求出最右边一条灯带安装点的横坐标． 【答案】任务1：；任务2： ，；任务3：最多挂8条灯带，最右边一条灯带的横坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用 任务1：以抛物线的定点为原点建立平面直角坐标系，利用待定系数法可得抛物线的函数表达式； 任务2：根据普通货车的高度大约为，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ，计算悬挂点的纵坐标的最小值是； 任务3：画出数轴，分图2和图3两种情况讨论求解即可． 【详解】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且过点B， 设抛物线的解析式为：， 把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； 任务2：∵普通货车的高度大约为，灯带底部距离货车顶部不小于 ，灯带长 ， ∴当安装点的纵坐标，即安装点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴安装点的横坐标的取值范围是： ； 任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯带， ∵ ，相邻两盏灯带悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧悬挂4条灯带时， ， 若顶点一侧悬挂3条灯带时，， ∴顶点一侧最多悬挂3条灯带， ∵灯挂满后成轴对称分布， ∴共可挂7条灯带， ∴最右边一条灯带的横坐标为：； 如图3所示， ∵若顶点一侧悬挂5条灯带时，， 若顶点一侧悬挂4条灯带时，， ∴顶点一侧最多悬挂4条灯带， ∵灯带挂满后成轴对称分布， ∴共可挂8条灯带， ∴最右边一条灯带的横坐标为：． 综上所述，最多可挂8条灯带，最右边一条灯带的横坐标为 26. 【综合与探究】在数学综合与探究活动课上，小明以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． 如图1，在矩形和矩形 中，，点、分别是、上的中点，连接． 【特例感知】 （1）请直接写出的值， _____； 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的矩形 绕着点顺时针旋转，连接，探究的值是否改变，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，如图3，连接，取的中点，连接，求线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）的值没有发生变化，理由如下： 如图2，连接、． ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，， ， ， ，． 矩形 绕点顺时针旋转， ， ， ； （3）的最大值为5，最小值为3 【解析】 【分析】（1）延长交于点，由矩形的性质以及勾股定理求出 的值即可； （2）连接、，由矩形的性质以及勾股定理先求出 的值，然后证明 ，由相似三角形的性质即可求解； （3）连接，取的中点为，连接 ，证明 是的中位线，得出在以为圆心，1为半径的圆上，即可求出线段长度的最大值和最小值． 【详解】（1）解：延长交于点，如图所示， ，四边形是矩形， ，． 点、分别是、上的中点， ，． 由题意得， ，， ， ，故答案为：； （2）略 （3）如图3，连接，取的中点为，连接 ， 是的中点， 是的中位线， ， 在以为圆心，1为半径的圆上． ， 的最大值为 ，最小值为 ． 【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $