精品解析：四川省成都市武侯区领川外国语学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度上期期中综合素养调查 八年级数学 （时间：120分钟总分：150分） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的三边为下列四组数据，则能判断是直角三角形的是（　　　） A. 1、2、2 B. 2、3、4 C. 6、7、8 D. 6、8、10 3. 若式子有意义，则的取值范围为(        ) A. B. C. D. 4. 若点M位于x轴的下方，距x轴4各单位长，且位于y轴右侧，距y轴5个单位长，则M的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一次函数，下列说法正确的是( ) A. 图象与轴交于点 B. 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 D. 图象经过第一、二、四象限 7. 直线的图象如图所示，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 10. 若函数是关于x的一次函数，则____________． 11. 嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是___________． 12. 如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是______． 13. 如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的长是___________ 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 已知，求下列各式的值： （1）； （2） 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 16. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 17. 建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 （1）如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，求直线的表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5小題，每小題4分，共20分） 18. 若x，y都是实数且，则xy的平方根是________． 19. 如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，A和B的坐标分别是和，点C在x轴正半轴上，的平分线交x轴于点D，则点D的坐标是_______． 20. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． 21. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为_________． 22. 如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为______，的最小值为______． 二、解答题（共3小题．共30分） 23. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 24. 如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； （3）如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 25. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． （1）【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； （2）【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． （3）【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上期期中综合素养调查 八年级数学 （时间：120分钟总分：150分） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 在下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，求算术平方根，求立方根． 选项A是有限小数，选项B和D通过运算可得有理数，选项C是π的倒数，π是无理数，其倒数仍为无理数． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数； B．，是有理数； C．π是无理数，是无理数； D．，是整数，属于有理数； 故选：C． 2. 若的三边为下列四组数据，则能判断是直角三角形的是（　　　） A. 1、2、2 B. 2、3、4 C. 6、7、8 D. 6、8、10 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解： 不是直角三角形，故不符合题意； 不是直角三角形，故不符合题意； 不是直角三角形，故不符合题意； 是直角三角形，故符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键． 3. 若式子有意义，则的取值范围为(        ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为二次根式的被开方数是非负数，所以，据此可以求得x的取值范围． 【详解】解：若式子有意义， 则， 解得：． 故选：A 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．（）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 4. 若点M位于x轴的下方，距x轴4各单位长，且位于y轴右侧，距y轴5个单位长，则M的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，根据点所在象限即可求出． 【详解】解：∵M点在x轴下方4个单位， ∴， M点在轴右侧5个单位， ∴， ∴， 故选择：D． 【点睛】本题考查坐标平面的点的特征，掌握点到y轴的距离是横坐标的绝对值，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值是解题关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，二次根式的乘法和除法，化简二次根式，根据二次根式的运算法则即可得出答案，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、 ，计算正确，故选项不符合题意； D、 ，故选项不符合题意； 故选：C． 6. 关于一次函数，下列说法正确的是( ) A. 图象与轴交于点 B. 其图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 图象与坐标轴围成的三角形面积为 D. 图象经过第一、二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的性质以及一次函数平移的特点逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：一次函数，， 当时，，当时， A． 图象与轴交于点，故该选项不正确，不符合题意； B． 其图象可由的图象向上平移个单位长度得到，故该选项不正确，不符合题意； C． 图象与坐标轴围成的三角形面积为，故该选项不正确，不符合题意； D． 图象经过第一、二、四象限，故该选项正确，符合题意； 7. 直线的图象如图所示，则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵在的图象上， ∴方程的解是 故选：B． 8. 如图，在边长为1的小正方形网格中，若和的顶点都在小正方形网格的格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和网格，解题关键是熟练运用勾股定理和勾股定理逆定理进行推理，证明，得出等腰直角三角形即可． 【详解】解：连接， 由题意得：， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：_____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟悉掌握二次根式的估算是解题的关键． 由于两个分数的分母相同，只需比较分子的大小关系即可． 【详解】解：比较分子和 ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若函数是关于x的一次函数，则____________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一次函数自变量的次数为1，比例系数不为0求解即可． 【详解】解：函数是关于x的一次函数， ∴且， 解得，， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，解题关键是明确一次函数比例系数不为0这一限制条件． 11. 嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则淇淇放的方形棋子的位置是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，轴对称图形的定义，坐标位置的确定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 首先确定平面直角坐标系，再根据轴对称图形的定义，画出淇淇放的方形棋子的位置，即可解决问题． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示： 则淇淇放的方形棋子的位置如图，坐标为， 故答案为：． 12. 如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理等知识点，蚁从B到N有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可，熟练掌握蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短是解决此题的关键． 【详解】如图：，宽，高为6， 由已知，的长度即为所求， ∵中，，， ∴， 如图： ， 如图： ． ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故答案为：． 13. 如图，长方形中，点在边上，将长方形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，若，则的长是___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是图形的翻折变换，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 首先根据由翻折而成，结合翻折变换的知识得到，再利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵由翻折而成， ， 在中， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 已知，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）结合平方差公式计算即可； （2）根据乘法公式计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 15. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于x轴对称的； （2）求的面积； （3）在x轴上画出点P，使值最小，并直接写出点P的坐标．（保留画图痕迹） 【答案】（1） 如图1：即为所求； （2） （3） 如图所示：点P即为所求， 点P的坐标为 【解析】 【分析】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （2）利用轴对称求最短路线的方法，连接对应点，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为： ； 【小问3详解】 解：点P的坐标为． 16. 如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； 【小问2详解】 解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 17. 建立模型 如图，等腰中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用 （1）如图2，直线：与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，求直线的表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在第二象限内是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在一点Q，使得是等腰直角三角形，点Q坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据解析式得出、坐标，由 “”可证 可得，即可求解； （2）由待定系数法可求解； （3）分两种情况，结合全等三角形的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵与轴、轴分别交于、两点， ∴点，点， ∴，， 如图，过点作轴于， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式； 【小问3详解】 解：存在一点Q，使得是等腰直角三角形， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 当时， 过作于点，过作，交延长线于点， 同理， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴点， 综上所述： 点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点的性质是解题的关键． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5小題，每小題4分，共20分） 18. 若x，y都是实数且，则xy的平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求出x的值，得到y的值，根据平方根的定义解答即可． 【详解】由题意得，2x−3≥0，3−2x≥0， 解得，x＝， 则y＝4， xy＝6， 6的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件和平方根的定义，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键． 19. 如图，把一个等腰直角三角板放在平面直角坐标系中，A和B的坐标分别是和，点C在x轴正半轴上，的平分线交x轴于点D，则点D的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据已知条件和平面直角坐标，求出的长度；再根据勾股定理求出的长度；最后根据等腰三角形两腰相等求出的长度．则计算出的长度，即可表示出点D的坐标． 【详解】∵A和B的坐标分别是和， ∴平行于x轴， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，， 又∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． 则， 即点D的坐标是， 故答案为：． 20. 在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：如图，推开两扇门（和），门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺（1尺寸），两扇门间的缝隙为2寸，，那么门的宽度即的长为____寸． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题需画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图： ， 设，过作于， 则由题知，，，． 在中， ，即， 解得． 故门的宽度（两扇门的和）为寸． 故答案为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，坐标与图形等，找出规律是解题的关键．先根据题意求出、，、的坐标，发现规律，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，点的坐标为，将绕点旋转180°得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， 即，， 则， 同理可得， ， ······， ， 故点的坐标为， 即． 故答案为：． 22. 如图，在中，，，，点E与点D分别在射线与射线上，且，则的最小值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据已知条件求得各边数据，然后根据已知一边一角，构造全等三角形，当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点，进而勾股定理即可求解；对于，构造等边三角形，进而即可求解． 【详解】如图所示，过作交的于， ∵，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴ 如图所示，作且，连接，， ∵ ∴ ∴ ∴， 当在上时，取得最小值，如图所示，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵ 在中，， ∴ ∴，即的最小值为； 如图所示，作关于的对称点，连接,则 ∵则 ∴， ∵对称， ∴ ∴都是等边三角形， 连接， ∵， ∴，则， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当在上时，， 如图所示 此时取得最小值，最小值 故答案为：，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，线段最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、解答题（共3小题．共30分） 23. 一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）图中a的值是_______，b的值是_______； （2）在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； （3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】（1）300，2 （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； 【小问2详解】 ∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． 24. 如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； （3）如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】（1），； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （）取，过点作直线，则的面积为面积的倍，在的上方取，过点作，则此时的面积为 面积的倍，即可求解； （）证明，得到，则，则 ，即可求解． 【小问1详解】 解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 令，则，即点； 【小问2详解】 解：由点的坐标得，直线的表达式为：， 取，过点作直线， 则的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 在的上方取，过点作， 则此时的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 分别将和的表达式和联立得：或， 解得：或， 则点或； 【小问3详解】 解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵，则为等边三角形， ∵为等边三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则，，， 则， ∵，， ∴， 则，则， 则，则， 则． 【点睛】本题考查了一次函数性质，三角形全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，面积的计算，掌握知识点的应用和分类求解是解题的关键． 25. 从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． （1）【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； （2）【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． （3）【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】（1） 证明：由旋转的性质可知，； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∵； ∴ ∴是的垂直平分线； ∴； ∴为等腰直角三角形． （2）①，证明： 如下图，当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； 由第一问可以知道，为等腰直角三角形； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴为等腰直角三角形 ∵,； ∴； ∴； 即，． ② （3）或 【解析】 【分析】（1）主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用就可以确定，再由等腰三角形，求出，进而求出，最后利用是线段的垂直平分线，可以证明为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出，，之间的数量关系． （3）解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想，，，就足够说明和都是确定的，然后利用勾股定理求长和特殊角求长，的关系非常重要，就可以快速求出线段边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性； 当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； 在等腰直角三角形中； ； 即，． 【小问3详解】 解：如下图，当时； 在等腰直角三角形中，； ∴； ∵； ∴； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 第二种情况，如下图，当时； 同理，可求，； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； ∴； 【点睛】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证明出角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和角解直角三角形是重点，特别是在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $