精品解析：湖北省省潜江市初中联考协作体2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期八年级十二月联考 数学试卷 一、单选题（每小题3份，共30分） 1. 计算，正确的结果等于（ ） A. a B. C. D. 2. 下列属于积的乘方的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平分，于点，且，是射线上的一点，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. C. D. 10 4. 图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（ ） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 5. 若代数式展开后不含项，求的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4或5 C. 6或7 D. 8 7. 按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是（　　） A. B. C. D. 8. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 所有无理数都是无限小数 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 若和关于轴对称，则 D. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 9. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10. 如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题3份，共15分） 11. 一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是__________cm． 12. 将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则______． 13. 如图，在格的正方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有______个． 14. 在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：．其中，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点． （1）在图中画出关于轴对称的，其中、的对应点分别为、．写出、的坐标． （2）请在轴上作点，使最小． 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 19. 已知，，． （1）求的值； （2）写出，，之间的数量关系． 20. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 21. 阅读材料后解决问题． 郑铭遇到下面一个问题：计算经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ； 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）计算： （2）化简：， 22. 综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】（1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】（2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 23. 数学模型是解决一类几何问题的核心工具．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．请按要求完成以下探究： （1）【初步探索】如图1，已知均为等边三角形．写出图中的一组全等三角形：_________； （2）【探索延伸】如图2，在图1的基础上（图1中的全等无需证明），连接并延长至点N，使得，连接并延长至点M，使得，连接．猜想的形状，并证明； （3）【灵活运用】如图3，等腰中，，为的中线．延长至M，使得，延长至N，使得，连接．证明：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数． （1）直接写出，两点的坐标：A（______，______），B（______，______） （2）如图1，点C为线段上一点（点C不与、A重合）且满足：，连接，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：． （3）如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期八年级十二月联考 数学试卷 一、单选题（每小题3份，共30分） 1. 计算，正确的结果等于（ ） A. a B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的基本法则．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：C 2. 下列属于积的乘方的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的定义，两个或两个以上的数相乘后的乘方运算叫做积的乘方，据此可得答案． 【详解】解：A、属于和的平方，不符合题意； B、属于乘方的积，不符合题意； C、属于幂的乘方，不符合题意； D、属于积的乘方，符合题意； 故选：D． 3. 如图，平分，于点，且，是射线上的一点，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点F作于D，利用角平分线的性质得到，再由垂线段最短可得，由此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于D， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选A． 4. 图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（ ） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定定理．根据“”可判断Ⅱ． 【详解】解：Ⅱ可以根据“”可作出完全相同的三角形． 故选：B． 5. 若代数式展开后不含项，求的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值．将代数式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解出的值，据此进行分析，即可作答． 【详解】解： ， ∵ 展开后不含项， ∴ ， ∴ ， 故选：C 6. 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4或5 C. 6或7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有33÷3=11个三角形； 又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然11个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角形； 故还有11-5-3=3个锐角三角形． 故选A． 考点：三角形． 7. 按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查剪纸问题，学生的动手操作能力；根据轴对称的知识也可得到相应答案．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从正方形的上面那个边剪去一个长方形，左下角剪去一个正方形，展开后实际是从大的正方形的中心处剪去一个较小的正方形，从相对的两条边上各剪去两个小正方形得到结论． 可得图形：， 故选：B． 8. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 所有无理数都是无限小数 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 若和关于轴对称，则 D. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，无理数的定义，平行线的性质，坐标与图形变换－轴对称． 通过逐一判断各选项的真假：A符合无理数定义；B需两直线平行才成立；C计算后结果不为；D中两角可能相等或互补，不一定相等．因此A是真命题． 【详解】A．∵无理数是无限不循环小数，∴所有无理数都是无限小数，正确，是真命题； B．只有当两条直线平行时，同位角才相等，否则不一定， 原命题错误，是假命题； C．∵和关于y轴对称，∴，则，∴，∴原命题错误，是假命题； D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原命题错误，是假命题． 故选A． 9. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 10. 如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤根据，可得，进而可得，故当时结论成立，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接， ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取， ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于， ，， ， ， ， . 故④正确. ∵，， ∴， ∴， ∴当时结论才成立， ∴不一定等于，故⑤错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3份，共15分） 11. 一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是__________cm． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 设原正方形边长为，根据面积增加量列方程，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设原正方形边长为，则原面积为，新边长为，根据题意，， 即， 解得． 所以正方形的边长是． 故答案为：3． 12. 将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：由全等三角形得， 根据含角的直角三角形的性质得，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在格的正方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，直接利用全等三角形的性质作图然后即可得到． 【详解】解，以为公共边可画出三个三角形和原三角形全等，如下图： 故答案为：3． 14. 在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 【答案】7或13##13或7 【解析】 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）得到，再结合和的长度进行求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴， 当点D在点E左侧时，； 当点D在点E右侧时，； 故的值为7或13． 15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系，然后根据题意可得点，，，进而根据中点坐标公式可得，，最后代入题中所给重心坐标公式可进行求解． 【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示： ∵，，，， ∴，，， ∵是矩形的对角线，且交于一点， ∴点是的中点， ∴根据中点坐标公式可得，即， 同理可得， ∴，， ∴此“L”形的重心坐标为； 故答案为． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：．其中，． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，解答这类题目的关键是把最后结果化到不能再合并，然后代入求值． （1）先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再算括号内的减法，最后算除法； （2）根据整数的混合运算法则化简，再代入值计算即可．． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ， 当，时，原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点． （1）在图中画出关于轴对称的，其中、的对应点分别为、．写出、的坐标． （2）请在轴上作点，使最小． 【答案】（1） 如图： ； （2） 如图，A关于轴的对称点为， 连接，与x轴的交点即为所求点F． 【解析】 【分析】（1）点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并求点的坐标； （2）A关于轴的对称点为，连接，与x轴的交点即为所求点F． 本题考查轴对称的应用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； （1）先求，再由角平分线和高的性质推导； （2）先求，再由三角形内角和求． 【小问1详解】 解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， 【小问2详解】 ， ， 、是角平分线， ， ． 19. 已知，，． （1）求的值； （2）写出，，之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， 又∵， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵， 又， ∴， ∴． 20. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 【答案】 证明：∵∠1＝∠2， ∴BD＝CD， 在△ABD与△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC． 【解析】 【分析】易证△ABD≌△ACD，则可得证. 【详解】略 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法. 21. 阅读材料后解决问题． 郑铭遇到下面一个问题：计算经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ； 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）计算： （2）化简：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式可进行求解； （2）根据平方差公式可进行求解． 【小问1详解】 解： ； 故答案为； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】（1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】（2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【答案】（1）①；②；（2）9 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与面积，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①观察图中的信息，得出阴影面积等于长乘宽，即可作答． ②观察图1，图2，运用面积公式表达出图1的空白部分面积以及割补法得出图2的空白部分面积，再由拼接过程，空白部分面积不会变化，进行列式，即可作答． （2）理解题意，设，结合，得，由阴影部分的面积为18，进行列式，整理得，然后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）①如图所示： 依题意，， ∴， 则图2中的阴影部分的面积是； ②观察图1，图2，得出图1的空白部分面积， 得出图2的空白部分面积， ∴用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式； （2）如图3， 设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵阴影部分的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 数学模型是解决一类几何问题的核心工具．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．请按要求完成以下探究： （1）【初步探索】如图1，已知均为等边三角形．写出图中的一组全等三角形：_________； （2）【探索延伸】如图2，在图1的基础上（图1中的全等无需证明），连接并延长至点N，使得，连接并延长至点M，使得，连接．猜想的形状，并证明； （3）【灵活运用】如图3，等腰中，，为的中线．延长至M，使得，延长至N，使得，连接．证明：． 【答案】（1） （2） 解：是等边三角形，证明如下： 由（1）知：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形； （3） 证明：延长至点，使，连接，延长交于点，连接， ∵等腰中，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）由，得到，，进而证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，延长交于点，连接，证明，得到，，推出为等边三角形，同理证明，推出为等边三角形，进而得到为顶角为的等腰三角形，推出，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数． （1）直接写出，两点的坐标：A（______，______），B（______，______） （2）如图1，点C为线段上一点（点C不与、A重合）且满足：，连接，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：． （3）如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1）， （2） 证明∶ 在上截取，连，分别过、B作于，于，如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴，和是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （3） 解∶ ． 证明：在上截取，连接，如图2， ∵等边， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【解析】 【分析】（1）根据有理数混合运算即可求得a，从而得点A坐标；先根据多项式除以单项式法则计算，则可求得b值，从而得点B坐标． （2）在上截取，连，分别过、B作于，于，证，再证，可得出结论． （3）在上截取，连，证明，得是等边三角形，再证，得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∵， 又是多项式中一次项的系数． ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查有理数混合运算，整式除法运算，点的坐标，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $