精品解析：湖北省省潜江市初中联考协作体2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度上学期八年级十二月联考 数学试卷 一、单选题（每小题3份，共30分） 1. 计算，正确的结果等于（ ） A. a B. C. D. 2. 下列属于积的乘方的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，平分，于点，且，是射线上的一点，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. C. D. 10 4. 图是三个叠在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形Ⅱ完全相同的三角形，其依据是（ ） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 5. 若代数式展开后不含项，求的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4或5 C. 6或7 D. 8 7. 按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是（　　） A. B. C. D. 8. 下列命题，其中是真命题的为（ ） A. 所有无理数都是无限小数 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 若和关于轴对称，则 D. 如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 9. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 10. 如图，等腰三角形，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，以下结论；；是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（每小题3份，共15分） 11. 一个正方形纸片的边长增加2cm，它的面积就增加，这个正方形纸片的边长是__________cm． 12. 将两个全等的含角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则______． 13. 如图，在格的正方形网格中，与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有______个． 14. 在中，，的垂直平分线与的垂直平分线分别交边于点，且，则______． 15. 重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心坐标为，则有，．如图，若，，，，以点为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则此“L”形的重心坐标为__________． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：．其中，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点，点． （1）在图中画出关于轴对称的，其中、的对应点分别为、．写出、的坐标． （2）请在轴上作点，使最小． 18. 如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，． （1）若，求的度数； （2）求的度数． 19. 已知，，． （1）求的值； （2）写出，，之间的数量关系． 20. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC． 21. 阅读材料后解决问题． 郑铭遇到下面一个问题：计算经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ； 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： （1）计算： （2）化简：， 22. 综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】（1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】（2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 23. 数学模型是解决一类几何问题的核心工具．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．请按要求完成以下探究： （1）【初步探索】如图1，已知均为等边三角形．写出图中的一组全等三角形：_________； （2）【探索延伸】如图2，在图1的基础上（图1中的全等无需证明），连接并延长至点N，使得，连接并延长至点M，使得，连接．猜想的形状，并证明； （3）【灵活运用】如图3，等腰中，，为的中线．延长至M，使得，延长至N，使得，连接．证明：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数． （1）直接写出，两点的坐标：A（______，______），B（______，______） （2）如图1，点C为线段上一点（点C不与、A重合）且满足：，连接，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：． （3）如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 2025-2026学年度上学期八年级十二月联考 数学试卷 一、单选题（每小题3份，共30分） 1.计算aa ,正确的结果等于() A.a B.a3 C as D.as 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘的基本法则.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此进行计算，即可 作答 【详解】解： a2a3=a2+3=a 故选：C 2.下列属于积的乘方的是() A.(x+y)2 B.x2.x5 c(r)' D.(2)月 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方的定义，两个或两个以上的数相乘后的乘方运算叫做积的乘方，据此可 得答案 【详解】解，A、(+y属于和的平方，不符合题忘， B、x2x 属于乘方的积，不符合题意： C、(x)属于幂的乘方，不符合题意； D、(2y'居于积的乘方，符合题意： 故选：D 第1页/共33页 6学科网 命组卷网 3.如图，OF平分∠AOB,FM⊥OA于点M,且FM=3,N是射线OB上的一点，则FN的长度不 可能是() F B 10 A.2 B.3 c.4.5 D.10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，过点F作FD LOB于D,利用角平分线的性质得 到FD=FW=3,再由垂线段最短可得FN之FD=3,由此可得答案. 【详解】解：如图所示，过点F作FD⊥OB于D, :OF平分∠AOB,FM⊥OA,FD⊥OB, .FD=FN=3. .FN≥FD=3, ∴，四个选项中只有A选项符合题意， 故选A. A M F ND B 4.图是三个叠在一起的三角形（三角形I、Ⅱ、Ⅲ），部分图形被 遮盖，要作出与图中三角形 Ⅱ完全相同的三角形，其依据是() 第2页/共33页 6学科网 命组卷网 A.SAS B.ASA C.HL D.SSS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定定理.根据“ASA”可判断I 【详解】解：Ⅱ可以根据“ASA”可作出完全相同的三角形. 故选：B, 5若代数式(：+2-2x+m展开后不含r项，求m的值是《) A.0 B.1 C.2 D.-1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值。将代数式展开后，合并同类项，令” 项的系数 为零，解出m的值，据此进行分析，即可作答， 【详解】解：（(x+x儿x2-2x+m） =x2.x2+x2.(-2x+x2.m+xx2+x(-2x)+xm=x-2x3+mx2+x3-2x2+mx, =x4-x3+(m-2)x2+x t? :展开后不含项， m-2=0 .m=2 故选：C 第3页/共33页 6学科网命组卷网 6.现有若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角，则在这些三角形中锐角三角 形的个数是() A.3 B.4或5 C.6或7 D.8 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：由题意得：若干个三角形，在所有的内角中，有5个直角，3个钝角，25个锐角时， ∴共有333=11个三角形： 又三角形中，最多有一个直角或最多有一个钝角，显然1个三角形中，有5个直角三角形和3个钝角三角 形： 故还有11-5-3=3个锐角三角形. 故选A. 考点：三角形 7.按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是() ① ② ③ ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查剪纸问题，学生的动手操作能力；根据轴对称的知识也可得到相应答案.对于此类问题， 学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现， 【详解】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从正方形的上面那个边剪去一个长方形，左下角 剪去一个正方形，展开后实际是从大的正方形的中心处剪去一个较小的正方形，从相对的两条边上各剪去 两个小正方形得到结论， 可得图形： 第4页/共33页 学科网命组卷网 故选：B 8.下列命题，其中是真命题的为() A.所有无理数都是无限小数 B.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C若M(a,3)和N(4b)关于y轴对称.则(a+b)=-】 D.如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题真假的判断，无理数的定义，平行线的性质，坐标与图形变换一轴对称. 通过逐一判断各选项的真假：A符合无理数定义；B需两直线平行才成立：C计算后结果不为-1；D中两 角可能相等或互补，不一定相等.因此A是真命题. 【详解】A.,无理数是无限不循环小数，所有无理数都是无限小数，正确，是真命题： B.只有当两条直线平行时，同位角才相等，否则不一定，原命题错误，是假命题： c.M(a3)和N(4,b)关于y轴对称，a=4,b=3,则a+h=-1,÷a+b-()=1≠-1】 ∴原命题错误，是假命题： D.如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，原命题错误，是假命题。 故选A. 9.如图，等腰△ABC的底边BC=8cm,面积为32cm,腰B的垂直平分线EF分别交AB、AC于 点E、F,若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值是()cm. A.8 B.10 C.12 D.14 【答案】C 第5页/共33页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将BM+DM的最小值转化 为AD的长是解题关键.连接AM、AD,根据等腰三角形三线合一的性质，求出AD=8Cm,再根据垂 直平分线的性质，得到AM=BM,从而得出BM+DM的最小值为AD的长，即可求出△BDM周长的 最小值. 【详解】解：如图，连接AM、AD, 等腰4ABC BC=8cm,D为边C的中点， BC 的底边 :.BD=IBC=4cm,ADLBC. 2 △ABC 面积为 2cm2 c0=2 .AD=8cm, EF垂直平分AB, ∴.AM=BM, ∴.BM+DM=AM+DM≥AD, ∴.BM+DM的最小值为AD的长， :△BDM周长的最小值是BM+DM+BD=AD+BD=8+4=12cm, 故选：C. 10.如图，等腰三角形ABC,AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点D,点P是BA延长线上一 点，点0是线段4D上一点，OP=OC,以下结论： ①∠APO+∠DC0=30°②AOPC 是等边三角 第6页/共33页 6学科网命组卷网 形，③4C=A0+AP,④5c=S地形0C,回4B=3A0,其中正确个数是{) A B D A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】B 【解析】 【分析】①连接OB,根据垂直平分线性质求出OB=OC=OP,即可解题：②可求得 ∠APC+∠DCP=150°∠OPC+∠OCP=120° ∠POC=60° OP=OC ,从而推出 结合 得证；⑧ 在AC上截取AE=PA,先证明△APE是等边三角形，接若证△OPM≌aCPE(SAS),推出A0=CE, 1 SABc= AB.CH 即可解题；④过点C作CH⊥AB于H,先证明CH=CD,结合 2 5=.+S.-CH(4P+0A) Γ2 可推导出答案；⑤根据∠BAC=120°，可得∠B=30°， 进而可行MB=2AD=2(40+0D)=2A0+20D,枚当40=20D时结论成立，放⑤错误： 【详解】解：如图，连接OB, D B 第7页/共33页 6学科网命组卷网 ,AB=ACAD⊥BC∠BAC=120° ∠BAD=1∠BAC=1x120°=600 ∴.BD=CD, 2 ∴.OB=OC∠ABC=90°-∠BAD=30° .OP=OC, ..OB=OC =OP ∴.∠APO=∠ABO∠DCO=∠DBO ∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°.故①正确： .∠APC+∠DCP+∠PBC=180°. ∴.∠APC+∠DCP=150° :∠AP0+∠DC0=30° .∠OPC+∠OCP=120° ∴.∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP)=60° .OP=OC, ∴.△OPC 是等边三角形故②正确： 如图，在AC上截取AE=PA, D B D ∠PAE=180°-∠BAC=60°， ∴.△APE是等边三角形， ∠PEA=∠APE=60°，PE=PA, ∴.∠APO+∠OPE=60° :∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°. 第8页/共33页 6学科网可组卷网 ∴.∠APO=∠CPE」 :OP=CP, ∴.△OPA≌aCPE(SAS) ∴.AO=CE .AC=AE+CE=AO+AP.故③正确； 如图，过点C作CH⊥AB于H, H O水 h D :∠PAC=∠DAC=60°AD⊥BC .∴.CH=CD .S.AC=4BCH Sg边形4OCr=S△4Cr+S△M0C ZAPCH+104CD 1 1 =二AP-CH+二OA-CH 2 =CH(AP+OA -CH-AC :S△c=S边形40C,故④正确 .AB=AC,∠BAC=120°， 第9页/共33页 命学科网命组卷网 .∠B=30°， :AB=2AD=2(A0+0D)=2A0+20D .当AO=2OD时结论才成立， ∴.AB不一定等于3AO,故⑤错误； 故选：B. 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角 形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键. 二、填空题（每小题3份，共15分） 11.一个正方形纸片的边长增加2cm,它的面积就增加 6cm2 这个正方形纸片的边长是 cm. 【答案】 3 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用， 设原正方形边长为Cm,根据面积增加量列方程，利用平方差公式简化计算. 【详解】解：设原正方形边长为acm,则原面积为acm,新边长为 (a+2)cm ,根据题意， (a+2)}2-a2=16 即(a+2+aa+2-a0=16 解得a=3 所以正方形的边长是3cm. 故答案为：3 12.将两个全等的含30°角的三角尺按图所示摆放在一起，若它们的最长边为6，则DF=一。 第10页/共33页 6学科网命组卷网 3 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质， 解题的关键是掌握以上性质。 根据含30°角的直角三角形的性质进行求解即可. 【详解】解：由全等三角形得CD=BC, CD=二DE=3 根据含30°角的直角三角形的性质得， 2 ∠B=60°CD=BC .ABCD 为等边三角形， :∠BCD=600 :∠DCF=90°-∠BCD=30° 又，∠CDE=60°」 :∠CFD=900 3 2 第11页/共33页 6学科网 命组卷网 3 故答案为： 13.如图，在5×5格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边AB且全等（不与△ABC重合）的格点三角 形（顶点在格点上的三角形）共有个. B 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，直接利用全等三角形的性质作图然后即可得到. 【详解】解，以AB为公共边可画出三个三角形和原三角形全等，如下图： 故答案为：3. 14.在△ABC中，BC=10,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E,且 DE=3 AD+AE= ,则 【答案】7或13#13或7 【解析】 【分析】分点D在点E左侧和点D在点E右侧两种情况讨论，利用线段垂直平分线的性质（线段垂直平分 AD=BD,AE=CE 线上的点到线段两端点的距离相等)得到 ,再结合BC和DE 的长度进行求解. 第12页/共33页 6学科网 命组卷网 【详解】解：，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E, .AD=BD,AE=CE, 当点D在点E左侧时，AD+AE=BD+CE=BC-DE=I0-3=7； B 当点D在点E右侧时，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+3=13: 故AD+AE的值为7或13. 15.重心是一个物体受力的平衡点，在探究平面图形的重心时发现：把一个平面组合图形分割成甲、乙两 部分，建立平面直角坐标系，若甲、乙两部分的面积分别为9，又，重心分别为M,(x,片)， x=+8y=+8 M2(x22),原图形的重心坐标为M(x,y),则有S,+S2， S+S2·如图，若 AF=2 AB=5 BC=6 CD=2 B ,以点”为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标 系，则此“L”形的重心坐标为 M E M 第13页/供33页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；由题意先画出平面直角坐标系，然后根据题 意 可 得 点 A(0,5),G(2,0),B(0,0),D(6,2）.S=S形AGr=AB·BG=10」 S2=S矩形GCD=GCCD=(6-2)×2=8,进而根据中点坐标公式可得 M2(4,1),最后代 入题中所给重心坐标公式可进行求解. 【详解】解：所建平面直角坐标系如图所示： VA M AF=2,AB=5,BC=6,CD=2, A(0,5),G(2,0),B(0,0),D(6,2）,S=S形Gr=AB.BG=10 S2=S矩形GD=GC.CD=(6-2）×2=8 :AG,BF是矩形ABGF的对角线，且交于一点M, :点M是4G的中点， 中5得生25号)n》 同理可得42(4，) 第14页/供33页 6学科网列组卷网 :x=5S+5型-1x10+4×87 0+8=,y=+3-2 5×10+1×811 5 S1+S2 S+S210+8-6 711 ∴此“L”形的重心坐标为3’6： 711 故答案为3？6」 三、解答题（共75分） 16.计算： u[saa-3a门(2ay (2)先化简，再求值：(ab-2ab-b)÷b-(a+b.其中a=-l,b=2. 【答案】(1)-a2 (2)-4ab-2b20 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，解答这类题目的关键是把最后结果化到不能再合并，然 后代入求值， (1)先计算积的乘方，同底数幂的乘法，再算括号内的减法，最后算除法： (2)根据整数的混合运算法则化简，再代入值计算即可.· 【小问1详解】 解.[5a-d-(ba门(2rj =(5a6-9a）÷4a =-4a÷4a 第15页供33页 6学科网命组卷网 =-a2 【小问2详解】 (a2b-2ab2-b）÷b-(a+b2 =a2-2ab-b2-(a2+2ab+b2） =a2-2ab-b2-a2-2ab-b2 =-4ab-2b2 当0=-1,6=2时，原式=4×(-)×2-2×22=0 xOy O(0,0)A(-2,1),B(1,3) 17.如图，在平面直角坐标系 中，点 ,点 3 2 -4-3-2- 01234 2 (I)在图中画出△AOB关于y轴对称的△DOE,其中A、B的对应点分别为D、E.写出D、E的坐 标. (2)请在x轴上作点F,使AF+BF最小. 【答案】(1)图象见解析， D2,1),E(-1,3) (2)图象见解析 【解析】 【分析】(1)点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可画图并求点的坐标： (2)A关于x轴的对称点为A',连接A'B,与x轴的交点即为所求点F 第16页/供33页 6学科网 命组卷网 本题考查轴对称的应用. 【小问1详解】 解：如图： B -4-3-2-11 O1234x 3 D(2,1),E(-1,3) 【小问2详解】 解：如图，A关于x轴的对称点为A', 连接AB,与x轴的交点即为所求点F 珠 D 2 3 18.如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠C=70° B ED 第17页/共33页 命学科网命组卷网 (1)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数： (2)求∠AOB的度数. 【答案】(1)5° (2)125° 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和、角平分线与高的性质，运用角度转化思想，关键是利用内角和及角平分 线定义推导角度，易错点为角平分线分割角度时的比例错误； (I)先求∠BAC,再由角平分线和高的性质推导∠DAE: (2)先求∠BAE+∠ABF,再由三角形内角和求∠AOB。 【小问1详解】 解：AD是高，∠C=70°， .∠DAC=90°-70°=20° :∠ABC=60° .∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70°-60°=50° :AE∠BAC “是 的平分线， .∠EAC=∠BAC=×50°=259 2 .∠DAE=∠EAC-∠DAC=25°-20°=5 【小问2详解】 .∠C=70°， ∴.∠ABC+∠BAC=180°-70°=110°， AE BF 是角平分线， 第18页/供33页 6学科网组卷网 ∠BAE+∠ABF=(∠ABC+LBAO=)X1I0°=55 ∴.∠AOB=180°-（∠BAE+∠ABF)=125° 19已知5m=4.5”=6250=9 1我52 的值： (2)写出m,n,P之间的数量关系. 8 【答案】(1)3 m+2p=2n (2) 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键： (1)根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解： (2)根据同底数幂乘法的逆用可进行求解. 【小问1详解】 解：5m=45”=6 又25P=(52）=52p=9」 :5mn-20=5m5”÷520 =4×6÷9=3. 8 【小问2详解】 解：5250=55=4×9=36=62 又5”=6 第19页/供33页 6学科网6组卷网 5m.50=(5, m+2p=2n 20.已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC,∠1=∠2.求证：AD平分∠BAC B 【答案】 证明：.∠1=∠2， .'.BD=CD, 在△ABD与△ACD中，AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴.△ABD≌△ACD(SSS), .∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC. 【解析】 【分析】易证△ABD≌△ACD,则可得证. 【详解】略 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法 21.阅读材料后解决问题. 郑铭遇到下面一个问题：计算(2+12+(2°+)经过观察，郑铭发现如果将原式进行适当的变形后可 以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： 2+a+2+)=2-2+2+2=(-02+g+ 2-1 =(24-1(24+1)=28-1 请你根据郑铭解决问题的方法，试着解决以下的问题： 第20页/供33页 6学科网命组卷网 4)计算.(3+132+3+13+136+1= (2)化简： (m+n(m2+m)(m+nm+m(m+n）,(m≠n） 【答案】1) -刂 1_（m2-m2） (2)m-n 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键； (1)根据平方差公式可进行求解： (2)根据平方差公式可进行求解。 【小问1详解】 解：(3+32+3+13+1036+1) =×3-03+032+13+03+103+ =×3-3++0+3+ =×(6-3+06+03+0 =×6-0+3+刊 =g-0g0+） =30-0 散器家为-)】 【小问2详解】 第21页/供33页 6学科网列组卷网 年原tna-u+oa+atrd++ =n（a-北er+ia+r0m+nra+） =n-a(a+wld+lam+w叫 -tn（r-au+doa+n =1（m6-n6)(m6+n） m-n 1_（m2-2) m-n 22.综合与实践 a a b a-b A a-b A ⊙ b B 图1 图2 图3 【素材】如图1，一张长方形硬纸板，长为a+b,宽为a-b: 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A,B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方. 【实践探索】(1)①图2中的阴影部分的面积是 ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式一· ∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC,DE=DF,B,E,C,F 【实践应用】(2)如图3， 在同一条直线上， 若AD=4,阴影部分的面积为18，求BF的长度. 【答案】d0b2,②(a+b(a-b）=a-F:(2)9 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与面积，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键. 第22页/供33页 命学科网命组卷网 (1)①观察图中的信息，得出阴影面积等于长乘宽，即可作答. ②观察图1，图2，运用面积公式表达出图1的空白部分面积以及割补法得出图2的空白部分面积，再由拼 接过程，空白部分面积不会变化，进行列式，即可作答 (2)理解题意，设4C=BC=a,结合 DE=DF,∠ACB=∠EDF=90° 得 CD-1EF-CE-CF-a-4 ,自明影部分的面想为8.进行别式20a4x(a-4=8,第 理得2a=13,然后把数值代入BF=BC+CF进行计算，即可作答. 【详解】解：(1)①如图所示： a-b A M b B NM=a-b,NT=a,MT=b 依题意， bxMT=b2 b2 则图2中的阴影部分的面积是： ②观察图1，图2，得出图1的空白部分面积-(a+b)(a-b)】 得出图2的空白部分面积=a×(a-b+b)-b2=a2-b ∴用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式(a+ba-b)=d-2。 (2)如图3， 第23页/供33页 6学科网命组卷网 图3 设AC=BC=a, AD=4, .CD=a-4. DE=DF,∠ACB=∠EDF=90° .CE=CF,∠DEF=∠DFE=45°， :.△DEC为等腰直角三角形， CD-EF=CE=CF=a-4 ,阴影部分的面积为18， S.Awc-S.cDE=18 2d-a-4小x(a-4）=18 .24 .a2-(a-4)2=36 :a-d2+8a-16=36 .2a=13. ,BF=BC+CF=a+a-4=2a-4=13-4=9 23.数学模型是解决一类几何问题的核心工具.通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联 系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地.请按要求完成以下探究： 第24页/共33页 6学科网组卷网 M B 图1 图2 图3 △ABC,△CDE (1)【初步探索】如图1，已知 均为等边三角形.写出图中的一组全等三角形： (2)【探索延伸】如图2，在图1的基础上（图1中的全等无需证明），连接AE并延长至点N,使得 AN=2AE 连接8D并延长至点M使得BM=2BD,连接CM、CN、M BD △CMN ·猜想 的形状， 并证明： (③)【灵活运用]如图3，等腰△MBC中，A=I20°，BD,CE为AMBC的中线.延长BD至M使得 BM=2BD ,延长BC至N使得BN=2EC,连接CM、MN. EC .证明：CM LMN 【答案】(I)△BCD≌AACE (2) 解：△CMN是等边三角形，证明如下： △BCD≌△ACE 由(1)知： .BD=AE,∠CBD=∠CAE, AN =2AE,BM=2BD, .AN =BM, .AC=BC, :△CAN≌aCBM(SAS) .CN=CM,∠BCM=∠ACN, 第25页/供33页 6学科网6组卷网 .∠BCM-∠ACM=∠ACN-∠ACM,即∠NCM=∠ACB=60°， :.△CMN是等边三角形； (3) 证明：延长A C至点F,徒CF=MC,连接PM, ,延长BC交FM于点G,连接NG, M E D B :等腰△ABC中，∠A=120°， :.AB=AC,∠ABC=∠ACB=30°， .∠FCG=∠ACB=30°. ,D是AC的中点， .AD=CD. DM=2BD. .BM=BD .∠ADB=∠CDM :△ADB≌aCDM(SMS) .CM=AB,∠DCM=∠A=120°， .AB∥CM,CM=AC=CF, .∠MCG=∠ABC=30°=∠FCG, 第26页/供33页 6学科网列组卷网 .∠MCF=∠MCG+∠FCG=60°. :.△MCF为等边三角形， sCM=CF=M,∠CMF=∠CnM=60,FG=MG=)M 2 同理可得：△FCN≌△ACE, ∠CFN=∠A=120,FW=AE= 1 CF= FM 2 2 2 2 .∠MFN=∠CFN-∠CFM=60°，FN=FG, :.△FNG为等边三角形， .∠FGW=60°，GN=FG=MG, :∠MGN=180°-∠FGN=120,∠GMN=∠GM=180-∠MGN=30 ∴∠CMN=∠CMG+∠GMN=90°， .CM⊥MN. 【解析】 SAS、n△BCD2△ACE 【分析】(1)根据等边三角形的性质，利用证明 即可； BCD≌△4CE,符到BD=AE,∠CBD=∠CMG,进而证明 CAN≌ACBM (2)由 ,得到 CN=CM∠BCM=∠ACN ∠NCM=∠ACB=60° ,推出 ,即可得出结论： C至点F,使CF=AC,连接M,FN,延长BC交FM于点G,连接NG,证明 (3)延长A NG 第27页/供33页 6学科网命组卷网 △ADB≌△CDM CM=AB∠DCM=∠A=120°，△MCF ,得到 ，推出 为等边三角形，同理证明 △FCN≌AACE △FNG ,△MGN ,120° ，推出 为等边三角形，进而得到”为顶角为的等腰三角形，推出 ∠CMN=90 ,即可得证 【小问1详解】 证明：△ABC△CDE 均为等边三角形， CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠DCE=60° .∠BCD=∠ACE=60°-∠ACD」 ·△BCD≌aACE(SMS) △BCD≌△ACE 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练 掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形是解题的关键. 24.如图，在平面直角坐标系中，点 Ma,0)是轴正半轴上一点，点 (O,b)y 是轴正半轴上一点，且 a=(-2)x(-2×(-2)3÷64,b是多顶式(6m+12m-7m)÷3m中-次项的系数. 第28页/供33页 6学科网命组卷网 B B A P D 图1 图2 (1)直接写出A,B两点的坐标：A(一， ) (2)如图1，点C为线段OA上一点（点C不与O、A重合）且满足：BC=CE,连接AE,点D为x 轴上一点（点D在点A的右边），若∠DAE=45°，求证：BC⊥CE (3)如图2，过点0作OF1AB于 B于点F,以OB为边在'轴左侧作等边 ,连接40交OF △OB 于点 P,请探究线段 吧、OP、AP三者之间的数量关系并证明你的结论. 【答案】(1)A(4,0).B(0,4) (2) 证明：在OB上截取OG=OC,连CG,分别过A、B作AW⊥GC于N,BM⊥GC于M,如图1， B M◇ AD 图1 A4,0）.B(0,4)） .OA=OB=4」 OG=OC. 第29页/共33页 6学科网命组卷网 .AC=BG,△OCG和△AOB是等腰直角三角形， .∠0GC=∠0CG=45?, .∠BGM=∠OGC=45?. ,BM⊥CG :.∠MBG=90?-∠BGM=45?, .BM =MG, 同理∠NAC=∠NCA=45?,AN=CN, .∠DAE=45°. :.∠CAE=180?-∠EAD=180?-45?=135?. .∠NAE=∠CAE+∠NAC=135?+45?=180?, .N、AE三点共线， :∠ACN=∠OCG,∠BGM=∠OGC, .∠ACN=∠BGM, .∠ANC=∠BMG=90°. :.△MNC≌ABMG(AAS) .CN=MG=BM .CE =BC, :.RtENC≌Rt△CMB(HL) 第30页/共33页 6学科网 命组卷网 .∠CEN=∠BCM, :.∠BCM+∠OCG+∠ACE=∠CEN+∠ACN+∠ACE=90°， ∴.∠BCE=90°」 .BC⊥CE (3) 解： PO=OP+AP PO 证明：在 上裁取PM=P0,连接OM,如图2， B M D ■ O A 图2 △OBQ …等边 O9=OB∠B09=60° ∠AOQ=∠AOB+∠BOQ=150° OA=OB」 :0e=04 :∠040=∠001=180-150)=15 .OA=OB,OF⊥AB, 第31页/供33页 6学科网列组卷网 ∠A0F=1∠40B=45° 、∠OPQ=∠AOF+∠OAQ=60° .△POM是等边三角形， .OP=OM,∠POM=60°， :∠00M=∠A00-∠40F-∠P0M=150-45°-60°=45 ∠AOF=∠QOM :△APO≌aOMO(SAS) AP=OM ∴.PQ=PM+MQ=OP+AP 【解析】 【分析】(1)根据有理数混合运算即可求得4，从而得点A坐标；先根据多项式除以单项式法则计算，则 可求得b值，从而得点B坐标 (2)在OB上截取OG=OC,连CG,分别过A、B作AW⊥GC于N,BM⊥GC于M,证 △AWC≌△BMG△ENC≌△BMC ,再证 可得出结论 8)在POL卷取PM=P0,造OM,证明∠OPO=60°，得△POM是等边三角形，再证 △APO≌△OMO AP=QM ,得 ,即可得出结论. 【小问1详解】 解：a=（-2)×(-2)°×(-2)3÷64 第32页/供33页 6学科网命组卷网 =(-2)°÷64 =256÷64 =4. .A(4,0) .(6m3+12m2-7m）÷3m=2m2+4m-7 3， 又b是多顶式(6m+12m-7m÷3m中一次项的系数. .b=4, :B(0,4 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查有理数混合运算，整式除法运算，点的坐标，全等三角形的判定与性质，等边三角形的 判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识.通过作辅助线构造全等 三角形是解题的关键。 第33页/共33页