精品解析：江西省吉安市井冈山市2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

井冈山市2025－2026学年度第一学期义务教育质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 点在平面直角坐标系中的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，的对边分别是，，，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象如图所示，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果在轴上，那么的值是________． 8. 若有意义，则x的取值范围是________． 9. 如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为________． 10. 如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 11. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则________． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点，，其中．由于周边施工，由到的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原路线的长． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）在轴上找一点，使得周长最小． 16. 平面直角坐标系内，一次函数经过点和 （1）求，的值； （2）求该直线与坐标轴的交点坐标 17. 已知：函数且是的正比例函数，的立方根是4，是的整数部分．求的平方根． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知点是线段上一点，，若，，，，． （1）求，的长； （2）求证：为直角三角形． 19. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车离甲地的距离为（单位：），出租车离甲地的距离为（单位：），两车行驶的时间为（单位：h），，关于的函数关系如下图所示． （1）根据图象，分别求出，关于的函数表达式． （2）求两车相遇的时间． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点” 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第7个等式：________； （2）请写出第个等式：________； （3）求的值． 22. 为了认真落实2024年全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． （1）分别求出在A，B两家网店购买所需的费用和；（不必写出自变量取值范围） （2）若，求x的值； （3）对比A、B两家网店优惠方案，试简要说明何时在哪家网店购买更划算？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 井冈山市2025－2026学年度第一学期义务教育质量监测 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 点在平面直角坐标系中的位置是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 根据各象限内点的坐标符号特征，判断点P的横纵坐标符号即可确定所在象限． 【详解】解：∵点P的横坐标，纵坐标， ∴点P在第二象限． 故选：B． 2. 下列函数中，y是x的一次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A：，未知数充当了分母，不是的形式，故此选项错误； B：，是一次函数，故此选项正确； C：，未知数充当了分母，不是的形式，故此选项错误； D：，未知数的次数为2，不是一次函数，故此选项错误； 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，本题考查二次根式的运算性质，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：A、，二次根式相加不能直接合并，，而，显然不等，故A错误，不符合题意； B、，根据二次根式乘法法则，，此处，故B正确，符合题意； C、，根据二次根式除法法则，，此处，故C错误，不符合题意； D、，被开方数为，算术平方根非负，故，故D错误，不符合题意． 故选：B． 4. 在中，，，的对边分别是，，，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 根据三角形内角和定理可判断A和D，根据勾股定理可判断B和C，在一个三角形中，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A、∵，， ∴，∴， ∴为直角三角形，不符合题意； B、∵， 设， 则， ∴， ∴，不符合题意； C、，则，为直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设， ∴，解得， ∴， ∴不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 5. 一次函数的图象如图所示，则一次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据已知得出，进而判断的图象，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限 ∴， ∴的图象经过一、三、四象限 故选：B． 6. 如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子内部，想从盒底的点M爬到盒顶的点D，则蚂蚁要爬行的最短路程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．将盒子分情况展开，根据勾股定理求出线段的长度比较即可． 【详解】解：如图，把侧面展平，侧面展开即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把底面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， 如图，把侧面展平，即为从盒底的点M爬到盒顶的点D的最短路径，则， ， 蚂蚁爬行的最短路程是， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如果在轴上，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴上的点的坐标特征．根据轴上点的纵坐标为，列方程求解． 【详解】解：点在轴上， 所以其纵坐标， 解得． 故答案为：． 8. 若有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键． 根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ， 解得：． 故答案为：． 9. 如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 10. 如图是一个数值转换器，当输入的值为时，则输出的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求的算术平方根，判断结果为有理数，再重新求算术平方根，重复计算，到结果为无理数输出即可． 【详解】解：的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是有理数，继续输入， 的算术平方根是，是无理数，输出， ∴输出的值是． 11. 如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理得出,得出,得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的加减运算； （1）根据实数的混合运算进行计算即可求解； （2）先把二次根式化为最简二次根式再求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 14. 笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点，，其中．由于周边施工，由到的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点（，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原路线的长． 【答案】千米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本题的关键．先根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形且，设千米，则千米，最后在运用勾股定理即可解答． 【详解】解：千米，千米，千米， ， 是直角三角形 ， ， 设千米，则千米， 由勾股定理得：， 即解得： 即原路线千米 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）在轴上找一点，使得周长最小． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 连接交轴于点，则点即为所求． ∵要使周长最小，只要最小即可， 由作图可知，此时最小； 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图和最短路径作图，解题关键是熟练掌握作图方法； （1）根据轴对称的性质画图即可； （2）连接交轴于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 平面直角坐标系内，一次函数经过点和 （1）求，的值； （2）求该直线与坐标轴的交点坐标 【答案】（1）， （2）直线与轴交点坐标为；直线与轴交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，求直线与坐标轴的交点坐标． （1）把点的坐标代入即可求解； （2）分别令，即可求解． 【小问1详解】 解：一次函数经过点，， ，， 解得，； 【小问2详解】 解：当时，， 直线与轴交点坐标为； 当时，， 直线与轴交点坐标为 17. 已知：函数且是的正比例函数，的立方根是4，是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，立方根的含义，平方根的含义，无理数的整数部分，根据正比例函数的定义得出，根据立方根以及无理数的整数部分求得，代入代数式再求平方根，即可求解． 【详解】解：函数且是的是正比例函数， ， ， 的立方根是4， ， ， 是的整数部分， ； ，则的平方根为 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知点是线段上一点，，若，，，，． （1）求，的长； （2）求证：为直角三角形． 【答案】（1），； （2） 证明：，，， ， 为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理求出，的长； （2）根据、的长度，可知，根据勾股定理的逆定理可证为直角三角形． 【小问1详解】 解：，，， ， ，，， ； 【小问2详解】 略 19. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车离甲地的距离为（单位：），出租车离甲地的距离为（单位：），两车行驶的时间为（单位：h），，关于的函数关系如下图所示． （1）根据图象，分别求出，关于的函数表达式． （2）求两车相遇的时间． 【答案】（1）关于的函数表达式为，关于的函数表达式为 （2）两车相遇的时间为 【解析】 【分析】本题通过考查一次函数的应用，正确从图象上获取信息，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． （1）可根据待定系数法来确定函数关系式； （2）令，解方程，即可求解． 【小问1详解】 设关于的函数表达式为 由图可知，，解得 故关于的函数表达式为 设关于的函数表达式为 由图可知，，，解得 故关于的函数表达式为 【小问2详解】 当出租车与客车相遇时，由题意，得，解得 故两车相遇的时间为． 20. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． （1）点的“长距”为________； （2）若点是“完美点”，求的值； （3）若点的长距为5，且点在第三象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点” 【答案】（1）7 （2）或 （3） 点的长距为5，且点在第三象限内， ， 解得：， ， 点的坐标为， 点到轴、轴的距离都是8， 是“完美点”． 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键； （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得，即可求出答案； （3）先根据“长距”是5求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【小问1详解】 解：∵到x轴的距离数7，到y轴的距离是3， ∴点的“长距”为7． 【小问2详解】 解：点是“完美点”， ， 或， 解得或． 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： （1）请写出第7个等式：________； （2）请写出第个等式：________； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【小问1详解】 解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 22. 为了认真落实2024年全国教育工作会议“以身心健康为突破点强化五育并举”的要求，全面实施“每天一节体育课”，学校计划从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价100元，跳绳每条定价20元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． （1）分别求出在A，B两家网店购买所需的费用和；（不必写出自变量取值范围） （2）若，求x的值； （3）对比A、B两家网店优惠方案，试简要说明何时在哪家网店购买更划算？ 【答案】（1）；； （2）； （3）当时，选择网店更划算；当时， 选择两个网店都划算；当时，选择网店更划算． 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的应用； （1）分别根据A、B两家网店的优惠方式列函数关系式即可； （2）由再建立一元一次方程求解即可； （3）分三种讨论，可得答案． 【小问1详解】 解：A店购买可列式：； 在网店B购买可列式：； 【小问2详解】 解：当时， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）可得：当时，，此时两个网店的优惠相同； 当，即时，，选择网店更划算； 当，即时，，选择网店更划算． 六、解答题（本大题共12分） 23. 问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）骑行小道的长为米 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，正确灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长，再求即可； （2）由勾股定理可知，，，，B，进而可证明结论； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $