5.3 一次函数的图象与性质（4个知识点+9种题型） 讲义2025-2026学年苏科版 数学八年级上册

本讲义聚焦一次函数的图象与性质核心知识点，系统梳理定义（含正比例函数）、图象性质（k,b对趋势、象限的影响及直线位置关系）、待定系数法求解析式、分段函数，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料以4个知识点为基础设计9种题型，例题与变式结合，如判定图像培养几何直观，求参数发展推理意识，面积问题强化模型意识。课中辅助分层教学，课后助力学生巩固提升，有效查漏补缺。

5.3 一次函数的图象与性质（4个知识点+9种题型） 一、知识梳理 要点一、一次函数的定义 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线： 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线； 一次函数图象和性质如下： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式 　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 二、典型例题 【题型1 判定一次函数的图像】 例1.（春•喀什地区期末）直线y＝kx+b的图象如图所示，则直线y＝bx﹣k的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据是一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限得出k，b的取值范围解答即可． 【解答】解：因为一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限， 可得：k＜0，b＞0， 所以直线y＝bx﹣k的图象经过一、二、三象限， 故选：A． 【变式】（山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据一次函数图象的性质分别根据，和进行判断即可． 【详解】解：当时，，，， ∴的图象经过二、三、四象限，的图象经过一、三、四象限， 故可能的图象为：C， 当时，，，， ∴的图象经过一、二、四象限，的图象经过一、三、四象限，没有符合要求的选项； 当时，，，， ∴的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、二、四象限，没有符合要求的选项； 故选：C． 【题型2 比较一次函数值的大小】 例2.（山西吕梁·八年级期末）已知点A（2，），B（3，）在一次函数的图象上，则与的大小关系是________． 【答案】 【分析】根据一次函数的增减性即可得出正确答案． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质是本题的关键． 【变式】（春•同江市期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1 【分析】由一次函数的性质可知k＝﹣2＜0时，y随x的增大而减小，由A，B，C三点的纵坐标可进行比较，进而求解． 【解答】解：一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）中，k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）， ∴﹣2＜﹣1＜3， ∴x2＞x1＞x3， 故选：B． 【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 例3.（连山区一模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减大，可以得到k的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0，b＞0， ∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 【变式】（广东湛江·八年级期末）关于函数y=﹣x﹣2的图象，如下说法中正确的有（　　） ①图象过点（0，﹣2）；②图象与x轴的交点是（﹣2，0）；③由图象可知y随x的增大而增大 ；④图象不经过第一象限 ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答． 【详解】解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过点（0，﹣2），正确； ②当y=0时，y=﹣x﹣2中，得到0＝﹣x－2，解得x=﹣2，故图象与x轴的交点是（﹣2，0），正确； ③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误； ④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，不经过第一象限，正确； 说法中正确的有①②④，共3个， 故选：B 【点睛】此题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 【题型4 根据一次函数的增减性求参数或最值】 例4.（萧山区模拟）已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　﹣2　． 【分析】先根据正比例函数的定义列出关于m的方程，求出m的值，再根据此正比例函数y随x的增大而减小即可求出m的值． 【解答】解：∵函数y＝（m+1）x+m2﹣4是正比例函数， ∴m2﹣4＝0， 解得：m＝±2， ∵y随x的增大而减小， ∴m+1＜0， ∴m＜1， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【变式】（广东·惠州市惠城区博文学校八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____． 【答案】k＞1 【分析】根据直线经过的象限与一次函数系数的关系，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可． 【详解】当x=0时，y=－3． ∴直线y=（1－k）x－3经过． ∵直线y=（1－k）x－3经过第二、三、四象限， ∴． ∴k＞1． 故答案为：k＞1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．当k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 【题型5 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 例5.（河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）关于x的一次函数y=kx-k（k＜0）的图象不经过第______象限． 【答案】三 【分析】根据题意和一次函数的性质可以判断该函数经过哪几个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵关于x的一次函数y=kx-k（k＜0）， ∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故答案为：三． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解答本题的明确题意，利用一次函数的性质解答． 【变式】（海门市校级模拟）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】当x＝﹣4时，可求出y＝3，由此即可得出答案． 【解答】解：当x＝﹣4时，y＝﹣4m+4m+3＝3， 即此一次函数的图象经过定点（﹣4，3）， 因为点（﹣4，3）位于第二象限，所以这个函数的图象一定经过第二象限． 故选：B． 【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 例6.（吉林·长春市第四十五中学八年级阶段练习）一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为______，与y轴的交点为B的坐标为______，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为______． 【答案】     （3，0）     （0，-6）     （-1，0）或（7，0） 【分析】令y=0，即可求出与x轴的交点A坐标；令x=0，即可求出与y轴的交点B坐标；根据点B的坐标可知三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求出三角形的底AM的长度，分情况写出点M的坐标即可． 【详解】当y=0时，0=2x-6，解得：x=3， ∴A（3，0）， 当x=0时，y=2×0-6，解得：y=-6， ∴B（0，-6）， ∵B（0，-6）， ∴的高为6， ∴，解得：AM=4， 当点M在点A左边时，M（3-4，0），即：M（-1，0）， 当点M在点A右边时，M（3+4，0），即：M（7，0）， 故答案为：（3，0），（0，-6），（-1，0）或（7，0）． 【点睛】本题主要考查了坐标轴上点的坐标特征，掌握x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 【变式】（春•双阳区月考）若直线y＝kx﹣k（k＞0）与两个坐标轴所围成的三角形的面积为4，则k＝　8　． 【分析】先令x＝0，求出y的值；再令y＝0求出x的值即可得出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵先令x＝0，则y＝﹣k； 令y＝0，则x＝1， ∴直线与坐标轴的交点分别为（0，﹣k），（1，0）， ∴S|﹣k|×1＝4， 解得k＝﹣8（舍去），或k＝8． 故答案为：8． 【题型7 一次函数解析式与三角形面积问题】 例7.（新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． (1)求a的值． (2)设这条直线与y轴相交于点D，求的面积． 【答案】(1)a＝7 (2)3 【分析】（1）利用待定系数法解答解析式即可； （2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可． （1） 解：设直线的解析式为y＝kx＋b，把A（−1，5），B（3，−3）代入， 可得：， 解得：， 所以直线解析式为：y＝−2x＋3， 把P（−2，a）代入y＝−2x＋3中， 得：a＝7； （2） 由（1）得点P的坐标为（−2，7）， 令x＝0，则y＝3， 所以直线与y轴的交点坐标为D（0，3）， 所以△OPD的面积＝×3×2＝3． 【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法求解析式． 【变式】（山东·德州市第五中学八年级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8 (1)求正比例函数的解析式． (2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝－x (2)存在，点P的坐标为：(5，0)或(－5，0) 【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标 ． （1） 解：∵点A的横坐标为4，， ∴点A的纵坐标为-4， ∴点A的坐标为(4，－4)， ∵正比例函数y＝kx的图像经过点A， ∴-4＝4k，解得k＝－1， ∴正比例函数的解析式为y＝－x； （2） 存在， ∵A(4，－4)， ∴AH＝4， ∵， ∴OP＝5， ∴点P的坐标为(5，0)或(－5，0)． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，解题的关键是注意点P的坐标有两个． 【题型8 一次函数的平移问题】 例8.（春•安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？ 【分析】根据一次函数的图象性质作答； 先根据平移时k的值不变，只有b发生变化可设平移后的直线为y＝3x+b，将点（4，0）代入，求出b的值，然后根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【解答】解：由题意得 解得m＝2， ∴直线的解析式为y＝3x+3； 设平移后的直线为y＝3x+b，将点（2，5）代入得：b＝﹣1． 所以y＝3x﹣1． ∴将直线y＝3x+3向下平移4个单位，可得直线y＝3x+3﹣4，即y＝3x﹣1，经过点（2，5）． 【变式】（八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．    【答案】 【分析】先求出一次函数的表达式，根据平移可知平移后的解析式，最后把点代入即可． 【详解】 ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴一次函数表达式为， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， 由直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线， ∴直线的函数表达式为， ∵，且点位于轴的正半轴， ∴点的坐标为， ∵直线恰好经过点， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【题型9 一次函数的规律探究问题】 例9.（春•巴中期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（　　） A．22021 B．22022 C．2022 D．4044 【分析】由直线直线l1：y＝x+1可知，A（0，1），则B1纵坐标为1，代入直线l2：中，得B1（1，1），又A1、B1横坐标相等，可得A1（1，2），则AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1，可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式，分别求A1B1，A2B2的长，得出一般规律，即可得到A2022B2022长度． 【解答】解：由直线l1：y＝x+1可知，A（0，1）， ∵平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，直线l1：y＝x+1，直线l2：， ∴B1（1，1），A1（1，2）， AB1＝1，A1B1＝2﹣1＝1， B2（3，2），A2（3，4）， A1B2＝3﹣1＝2，A2B2＝4﹣2＝2， …， A3B3＝7﹣3＝4＝23﹣1， 由此可得AnBn＝2n﹣1， 所以，A2022B2022的长度为22021， 故选：A． 【变式】（山东德州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，… 如图， ∵（1，1）在直线y＝x+b上， ∴b＝， ∴y＝x+， 设（，），（，），（，），…， （，）， 则有 ， ， … ， 又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…， ∴， ， … ∴， ， … ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， … ， 又∵ ， ∴， ， ， … ， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，通过运算发现纵坐标的规律是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3 一次函数的图象与性质（4个知识点+9种题型） 一、知识梳理 要点一、一次函数的定义 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数. 要点诠释：当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 要点二、一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线： 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 正比例函数的图象是经过原点（0，0）和点（1，）的一条直线； 一次函数图象和性质如下： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 要点三、待定系数法求一次函数解析式 　 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 要点四、分段函数 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 二、典型例题 【题型1 判定一次函数的图像】 例1.（春•喀什地区期末）直线y＝kx+b的图象如图所示，则直线y＝bx﹣k的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式】（山东济南·模拟预测）和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型2 比较一次函数值的大小】 例2.（山西吕梁·八年级期末）已知点A（2，），B（3，）在一次函数的图象上，则与的大小关系是________． 【变式】（春•同江市期末）若点A（x1，﹣1），B（x2，﹣2），C（x3，3）在一次函数y＝﹣2x+m（m是常数）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＞x2＞x3 B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2 D．x3＞x2＞x1 【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况】 例3.（连山区一模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式】（广东湛江·八年级期末）关于函数y=﹣x﹣2的图象，如下说法中正确的有（　　） ①图象过点（0，﹣2）；②图象与x轴的交点是（﹣2，0）；③由图象可知y随x的增大而增大 ；④图象不经过第一象限 ． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型4 根据一次函数的增减性求参数或最值】 例4.（萧山区模拟）已知正比例函数y＝（m+1）x+m2﹣4，若y随x的增大而减小，则m的值是　 　． 【变式】（广东·惠州市惠城区博文学校八年级期末）当直线y＝（1－k）x－3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是____． 【题型5 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 例5.（河南·西峡县城区二中八年级阶段练习）关于x的一次函数y=kx-k（k＜0）的图象不经过第______象限． 【变式】（海门市校级模拟）已知关于x的一次函数为y＝mx+4m+3，那么这个函数的图象一定经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型6 一次函数的图像与坐标轴的交点问题】 例6.（吉林·长春市第四十五中学八年级阶段练习）一次函数的图象与x轴的交点A的坐标为______，与y轴的交点为B的坐标为______，在x轴上有一点M，使得的面积为12，则M点的坐标为______． 【变式】（春•双阳区月考）若直线y＝kx﹣k（k＞0）与两个坐标轴所围成的三角形的面积为4，则k＝　　． 【题型7 一次函数解析式与三角形面积问题】 例7.（新疆·乌鲁木齐市第三中学八年级期末）在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． (1)求a的值． (2)设这条直线与y轴相交于点D，求的面积． 【变式】（山东·德州市第五中学八年级期中）如图，已知正比例函数y＝kx的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8 (1)求正比例函数的解析式． (2)在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8 一次函数的平移问题】 例8.（春•安岳县期中）已知直线y＝（m+1）x|m|﹣1+（2m﹣1），当x1＞x2时，y1＞y2，求该直线的解析式．并求该直线经过怎么的上下平移就能过点（2，5）？ 【变式】（八年级·山西晋中·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴，垂足为，将直线沿轴方向向下平移个单位长度得到的直线恰好经过点．若，则的值为 ．    【题型9 一次函数的规律探究问题】 例9.（春•巴中期末）如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：相交于点P，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，B2020，A2020……则A2022B2022的长度为（　　） A．22021 B．22022 C．2022 D．4044 【变式】（山东德州·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $