精品解析：广东省五校2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题

2025－2026学年第一学期广东省五校12月联考试卷 高一数学 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，利用并集的定义即可求解. 【详解】由题可得：，所以； 故选：A 2. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 4. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件描述得离家距离是先减少后增加，则得到答案. 【详解】因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 6. 已知命题：，：.则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式、绝对值不等式求p、q对应的解集，根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系. 【详解】已知命题：，解得， 命题：，解得， 显然q能推得p，p不能推得q，故p是q的必要不充分条件. 故选：B 7. 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用基本不等式求得的最小值，把问题转化为恒成立的类型，求解的最大值即可. 【详解】, ，且a,b为正数， ， 当且仅当，即时，， 若不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒成立， 即对任意实数x恒成立， ， ， 故选：A 【点睛】本题主要考查了恒成立问题，基本不等式求最值，二次函数求最值，属于中档题. 8. 某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用和表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数，使得这些点都在的图象上，若，则下列叙述正确的是（ ） A. 该月12日是星期二，有五天是星期二 B. 该月12日是星期一，有四天是星期二 C. 该月23日是星期六，有五天是星期六 D. 该月23日是星期二，有四天是星期二 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意，列出表格，得到答案. 【详解】由题意及可知，7月4日是星期一，列表如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 可知选项C正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合奇偶性定义和单调性直接逐项分析即可． 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，又根据对勾函数性质，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，因为，所以是奇函数，又因为函数、在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以是偶函数，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，而，函数在上单调递减，所以在上单调递增，故D正确． 故选：BD． 10. 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 【答案】BC 【解析】 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A根据函数的解析式直接求函数的定义域可得，对B直接用换元法求函数解析式可得，对C根据函数的定义直接求复合函数的定义域可得， 对D由一元二次不等式得系数之间的关系，再代入所求分式不等式，进面可求不等式的解集. 【详解】对于A：要使函数有意义，则，解得，所以A正确； 对于B：因，令，得，， 再以换，得，故B正确； 对于C：因的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D：因不等式的解集为，所以方程的解为和3， 所以，得代入，化简得， 进而得或，解得，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数过定点，则______. 【答案】9 【解析】 【分析】根据对数复合函数的定点得出参数计算求解. 【详解】因为函数过定点，且， 则函数，令，则，， 所以函数过定点， 所以， 则. 故答案为：9. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】由于函数是上的奇函数，则. 当时，， 设，则，则， 所以. 综上所述，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间； （2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导； （3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出. 14. 函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据各段上的单调性和分段处函数值的大小关系可得关于的不等式组，求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以， 所以． 故的取值范围是. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解指数不等式和一元二次不等式，得到集合，再由交集定义即得； （2）由条件判断集合B是集合的真子集，进而得到关于参数的不等式，求解即得. 【小问1详解】 由可得，故集合， 当时，即，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件，故集合B是集合的真子集， ，，则有，解得，故实数m的取值范围为． 16. （1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 【答案】（1）；（2）17；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可； （2）根据对数的运算性质及指数幂的运算性质计算即可； （3）根据指数与对数互化可得，，再由对数的换底公式计算即可. 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）由已知，，， 所以. 17. 已知函数是定义域为的奇函数，，. （1）求，的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）， （2） 在上单调递减， 证明：由（1）得，则， 任取，，且令， 则 ， 由， 则，故， 所以是减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数得，，进而解得，的值； （2）利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用奇函数得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得在时恒成立， 因为是奇函数，所以， 原不等式可化为， 又因为在上单调递减， 所以在时恒成立， 在时恒成立， 令，则，其中， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 18. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿． （1）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1）不获利，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出获利函数即可求解；（2）由题意可得平均处理成本函数，结合二次函数的性质和基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当,时，设该项目获利为，则 当，时， 当时，取最大值；当时，取最小值 国家每月补偿数额的范围是,； 【小问2详解】 由题意可知，二氧化碳的每吨的平均处理成本为 ①当，时，，时，取得最小值240； ②当，时， 当且仅当，即时，取得最小值200， 每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. （1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 【答案】（1）是，定值1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将两函数式代入计算即得； （2）利用函数的奇偶性和单调性转化求解抽象不等式即得； （3）令，求得，将函数换元化成，利用二次函数的图象性质结合区间即可分段求得的解析式，再合并表示即可. 【小问1详解】 由， 可得 ， 即 是定值，定值为1. 【小问2详解】 易知的定义域为， 又，所以为奇函数， 由不等式可得， 又易得是上的增函数，所以，所以， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 令，因在上单调递增，故得， 又因为，， 则，， ① 当时，函数在上单调递增， 故当时，取得最大值为； ② 当时，函数在上单调递减， 故当时，取得最大值为； ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时取最大值； 综上可得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期广东省五校12月联考试卷 高一数学 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是指数函数，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 3. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题：，：.则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 正数a,b满足,若不等式对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 8. 某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用和表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数，使得这些点都在的图象上，若，则下列叙述正确的是（ ） A. 该月12日是星期二，有五天是星期二 B. 该月12日是星期一，有四天是星期二 C. 该月23日是星期六，有五天是星期六 D. 该月23日是星期二，有四天是星期二 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 11. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数过定点，则______. 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________． 14. 函数在上单调递减，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. （1）求值：； （2）化简：； （3）已知，求的值； 17. 已知函数是定义域为的奇函数，，. （1）求，的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 18. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本（元与月处理量（吨之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿． （1）当时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ （2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. （1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $