安徽省华师联盟2026届高三上学期12月质量检测数学试卷

机密 启用前 2026届高三第一学期12月质量检测 数 学 (试卷满分:150分,考试时间:120分钟) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;回答非选择题时,用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,请将答题卡上交。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的, 1.已知复数之满足十-1,则1z= 2+i A四 B.√10 C.5 D.5 2.已知集合A={x∈N-1<x<4},B={y|y=x2,x∈A},则A∩B= A.[0,4) B.(1,4) C.{0,1 D.(1) 3.已知数列{an}为等比数列,a1a4a,=64,a6a,=8,则ag= A.1 B.2 C.4 D.6 4.已知函数f(x)=一x2+3x,则函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 A.x+y-3=0 B.x-y+1=0 C.x+y-2=0 D.x-y-1=0 5.在 ABC中,若BD=rBC,AD=号AC+AA店,则X+H A号 B号 C.1 n唱 6.已知2气o,24=2,则sina(sina十coso)= sin 2a A.2 B号 cs 7.已知函数f(x)=|2一2|,若x1<x2且f(x1)=f(x2),则2十22-的最小值为 A B.9 C.5+2√2 D3+22 高三数学试题第1页(共4页) 8.已知函数(x)=2sin(ox+p)(w>0)在区间(管,号)上单调,且满足f(-)-f(受),若 函数∫(x)在(石,2x)上有且仅有3个极值点,则“的取值范围为 A[,) B剖] c[2) D.(2] 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.为了得到函数y=log2(2x)的图象,只需将函数y=1oga(√x)的图象上所有点 A.横坐标变成原来的(纵坐标不变) B.横坐标变成原来的2倍(纵坐标不变) C.向上平移1个单位长度 D.向左平移1个单位长度 10.设等差数列{an}的前n项和为Sm,公差为d,首项为a1,若S8>S2,S11<0,则下列结论 正确的是 A.d<o B.当n=5时,Sn取最大值 C.lasI<la6l D.数列 三)为等差数列并且与数列(a}具有相同的单调性 11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B,CD1中,AP=xAB+yAD+zAAi,则 A.若x十y十x=1,则AC1⊥BP B.若z=1,x十y=1,且x≥0,y≥0,则直线AP与BD所成角的最小角为 C,者x十十2=2,则点P所在的平面截正方体所得的裁面面积为 D.若x十y十z=2,则直线CC和直线DP所成角可能为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.函数f(x)=tan(x+平)的定义域为 13.两个非零向量a,b,满足|a十b|=2|a一b|,则向量a与向量b夹角的余弦值的最小值为 14.已知函数f(x)=l1n(√x2一2x+2十x一1),数列{an}为公差不为0的等差数列,若f(a1) +f(a2)+f(a3)十f(a4)十f(as)=0,则a1十a2十a3十a4+as= 高三数学试题第2页(共4页) 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列(a,}满足a1=2,且r1=2(2n十1) an 2n-1 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an}的前n项和S。. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin(2x+石)osp+cos(2x+)sinp(0<p< )的图象关于点 (,0)对称。 (1)求p (2)若x∈[0,],求函数f(x)的最值及取最值时的x的值: (3)若0<a<x,且f(受)=4,求cos(a十p). 17.(本小题满分15分) 在 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin C=2,√2 ccos Bcos C-2√2 bsin2C, asin B=4√2. (1)求b; (2)若BC边上的高为20,2,求 ABC的周长 高三数学试题第3页(共4页) 18.(本小题满分17分) 如图,在三棱锥P-ABC中, ABC为正三角形,PA=PB=√6,AB=PC=2√5,E,F 分别为棱PB,PC上的动点,且BC∥平面AEF. (1)证明:平面ABC⊥平面PAB; (2)若截面AEF将三棱锥P-ABC截成上下两部分的体积之比为1:3,求平面AEF 与平面ABC的夹角的余弦值; (3)若球O是三棱锥P-ABC的外接球,若平面AEF截球O所得的截面的面积为3 , 宋器 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x十a)lnx有两个极值点x1,x2,且0<x1<x2, (1)求实数a的取值范围; @证明十>品 o)证明,b人+号十品+十十a∈N) 高三数学试题第4页(共4页) 2026届高三第一学期12月质量检测 数学 参考答案 题号 1 2 3 5 6 8 答案 A C B B 0 A D 题号 9 10 11 答案 AC ABD AC 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1.【答案】A 【解折h题意可得=-2十0卫-3号,=空,故递A 2.【答案】0 【解析】由题意可知A={0,1,2,3},B={yy=x2,x∈A}={0,1,4,9},则A∩B={0,1},故选C 3.【答案】B 【解析】a1a4a=a=64,∴a4=4,a6a7=asa4=4a=8,.ay=2,故选B. 4,【答案】B 【解析】f(x)=-x2+3x,.f'(x)=3-2x,f(1)=1,f(1)=2,.在点(1,f(1)处的切线方程为y-2=x-1,即x y十1=0,故选B. 5.【答案】C 【解析】因为B市=BC,所以B市/式,又因为有公共点B,所以点B,D,C三点共线,又因为AD-号A心+入A店,所以号 十A=1,即A=号:即AD-号AC+号AB,所以A市-AB=号AC+号Ai-A,即A心-AB=号A心-号AB,所以Bd- 号(心-)=号C,所以以=号,所以A十以=1,故选C 6.【答案】D 【解折】小22- 2sin'a 2sin acos a 三1ama=2,则sn(sina+c0s)=in acos十sina=na中iang-多牛号-9,放 sin a+cos a tan'a+1 选D. 7.【答案】A 【解析】作出函数f(x)=|2-2|的图象,如图所示,因为f(x1)=f(x2),即|21 -2=|22-2|,因为x1<x2,由图可知,x1<1,1<x2<2,即2-21=2g-2, 所以有21十29=4.则24+24=六十六=(六+会)24十20) 十(6+祭+42)≥(5+2√层,要)= ,当且仅当器 2,即x=6g:青=6g:号时等号成立,所以21十24的最小值为 2x2 号,故选A 8.【答案】D 【解析】设函数fx)=2sin(ax十p)(w>0)的最小正周期为T,因为fx)在(答,经)上单调,所以号>经-吾=受,即 :又网为户合且号一上所以雨放送于直线二吾士子=是对称所巴 2 6 函数()在x=吾时取最值(最大值或最小值),又因为函数f()在(否,2x)上有且仅有三个极值点,则有 r<号 ,即 又因为T>,所以<T<号,即<<号解得<<2,故选D 22x晋 高三数学试题参考答案第1页(共6页) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分 选对的得部分分,有选错的得0分. 9.【答案】AC 【解析】因为y=kgrA=竖@-l坚中_多hg= =1og2x,即将函数y=1ogE(√x)图象上所有点横坐标变成 loga (2)log2 (2) 1 原来的2(纵坐标不变):又因为y=log:(2)=log影x十log:2=log2x十1,所以还可以将函数y=log厅(WF)图象上所有 点向上平移1个单位长度.故选AC, 10.【答案】ABD 【解析】因为Sg>S2,所以Sg-S2=ag十a:十a:十a6十a,十ag>0,即ag十ag>0,因为a5十a6=ag十ag,所以a:十a:>0; 因为S1<0,又因为S1=11a6,所以a6<0,又因为a十a6>0,所以a:>0,a6<0,则d<0,且当n=5时,S取最大值, 且|a|>|as|,所以A,B正确,C错误; 因为d<0,所以数列a}单调递减:因为8=m十”d,所以受=a十“号4=号十(a一号)所以数列 2 三}也是等差数列,并且也为单调递减数列,所以选项D正确.故选ABD, n 11.【答案】AC 【解析】对A,若x十y十之=1,则点P,B,D,A四点共面,如图1,因为ABCD-ABCD是正方体,所以AC⊥平面 A1BD,BPC平面ABD,所以AC1⊥BP,所以选项A正确: D D A C B 图1 图2 对B,若x=1,x十y=1,且x≥0,y≥0,则点P的轨迹为线段B1D1,又因为BD∥BD,所以AP与BD所成的角转化 为直线AP和BD所成的角,由图2可知,直线AP和BD所成的角的范围为号,受所以选项B错误: 对C,若x十y十=是,则过点P的平面裁正方体所得的截面为 EFG,如图3所示,其中点E,F,G分别为AB,AD, AA1的中点.证明如下:因为AP=mAE+nA京+pAG,因为点P在平面EFG内,所以m十n十p=1,又因为E,F,G 分别为AB,ADAA的中点,所以A花=Ai,A正=A心.AG=AA,所以A=受Ai+之A+号AA,又因为 A市-xA店+yA+:AA,所以x-分,y=分,=台,所以x十y十:=”+十上=之,即所得的截面为 EFG,因为 2 正方体的棱长为2,所以 EFG是边长为,E的正三角形,所以 EFG的面积为:气 2)'-令,所以选项C正确: 4 D A D 图3 图4 对D,若x十y十x=2,则点P的轨迹为平面BCD.证明如下:如图4所示,在平面BCD内任取一点为P,连接AP, 与平面ABD的交点为P1,连接AC,分别与平面A1BD和平面B1CD1的交点为O,O2,连接OP1,O2P,因为平面 ABD∥平面BCD,所以0P/0P因为8=合,所以是=合,则市=2A矿.设矿=成+n市十 :AA,则x1十y十1=1,所以AP=2AP=2x1AB+2yAD+2:1AAi,又因为AP=xAB+yAD+之AA,所以 高三数学试题参考答案第2页(共6页) x=2x1y=2y,x=2x1,则x十y十x=2(x1十y十)=2,即点P的轨迹为平面B1CD.直线CC和DP所成角的最 小角即为直线CC:和平面BCD所成的角.连接CO2,则∠CCO2即为直线CC和平面BCD,所成的角,且CC1=2, C0,-9,所以s血∠CC0-号,又因为号>,所以∠CC0,>言,所以选项D错误综上,放选AC 3 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.【答案】{x≠km+平k∈Z 【解析】令x十于≠x十受,解得x≠k 十平,所以函数f(x)=an(x十平)的定义域为{xx≠kx十平,k∈Z 13.【答案】号 【解析】因为a十b=2a-b1,两边平方得:a+b+2a b=4a+4h-8a b,即a…b=(a2+b),所以cos(a,b)= 3 回:。- 日>品 28=号,当且仅当a=6时等号成立,所以向员a与向员6夹角的余弦值 的最小值为号。 14.【答案】5 【解析】设函数g(x)=ln(√x十1十x),定义域为R, 又因为g(-x)十g(x)=ln(√2+I-x)+ln(√2+I+x)=ln[(√x2+I-x)(√/+I+x)]=lnl=0, 所以函数g(x)为奇函数. 又因为g'(x)= 十示+)行0所以商政在良上单别造游 1 又因为f(x)=ln[√(x-1)十1十(x-1)],所以函数f(x)的图象是由函数g(x)的图象向右平移1个单位得到的,所 以函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,即f(x)十f(2-x)=0,且在R上也单调递增. 因为数列{an}为等差数列,且f(a1)十f(a2)十f(a)十f(a)十f(as)=0, 所以必有a1十a:=a2十a4=2a=2.下面用反证法证明. 假设a1十a:=a2十a,=2a3≠2, 当a1十a=a2十a4=2aa>2时,则f(a3)>f(1)=0:由a1十a:>2,则有a1>2-a5,所以f(a)>f(2-a)=-f(a:), 即f(a1)十f(a:)>0;同理f(a2)+f(a4)>0,即有f(a1)+f(a2)+f(a)十f(a:)十f(a:)>0,与已知矛盾: 当a1十as=a2十a:=2a<2时,则f(a)<f(1)=0;由a1十a5<2,则有a1<2-a5,所以f(a1)<f(2-a5)=-f(a), 即f(a1)十f(a:)<0;同理f(a2)+f(a4)<0,即有f(a1)十f(a2)+f(a)十f(a:)十f(a:)<0,与已知矛盾. 所以必有a1十a5=a2十a4=2ag=2,所以a1十a2十a3十a4十a5=5a3=5. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.【答案】(1)an=(2n-1) 2m(2)Sm=(2n-3) 2m+1十6 【解折11法一因为尝-22”出,所以会节广2m司一=2 2气 2n-1 …2分 又因为4=2≠0, ……………………心八…………*…生………………4…4……………………………”3分 所以数列{22气}是以2为首项,2为公比的等比数列,……4分 所以222=2”,即a,=(2n-1)…2;……………6分 法二:当n≥2时品=a 是 会 会…=2 是 号 号 …X =(2n-1) 2,…4分 al az as ax-1 2n-3 又因为a1=2,即对n=1也成立,所以an=(2n一1) 2”.…6分 (2)法一:S.=1 2十3 22+5 23十…十(2n-1) 2”①, 2Sn=1X22十3X23十5X24十…十(2n-1)…2m+l②,…8分 ①-②得:-Sn=2十2(22十23十…十2")-(2n-1) 2+1…10分 =2+2.20-多-(2m-1) 21=(3-2m)21-6,…12分 1-2 所以Sn=(2-3)。2+l十6.…13分 法二:am=(2n-1) 2"=[2(n十1)-5] 2m+1-(2n-5) 2”,…9分 所以Sn=(2 2-5) 22-(2 1-5) 2+(2 3-5) 23-(2 2-5) 22+…+[2(n+1)-5] 2+1-(2n-5) 20=(2n-3)…20+1十6。…13分 高三数学试题参考答案第3页(共6页) 16.【答案1号(2)当x=竞时,函数)取最大值1,当x=号时,函数)取最小值-号(3)3 8 【解析】1Df代x)=sin(2x+若)eos9十cos(2x+晋)sing=sin(2x+晋+g), …2分 因为函数f(x)的图象关于点(子,0)成中心对称, 所以2 受+吾十p=,即9=k红一要,k∈Z.因为0<<,所以g=吾: …6分 (2))=sin(2x+号),因为x[0,受]所以2x+号∈[号,g]…7分 所以当2红十号=受,即工=时,函数f()取最大值,且最大值为1,…8分 当2x十号-号,即=号时,函数)取最小值,且最小值为一号, …9分 (3)因为f(号)=子,即sim(a+晋)=子 因为0<a<,所以号<a十吾<号, 若号<叶骨<时,9<sn(a叶号)1,…1分 因为sm(e+吾)=子,所以5<a十号<x, ……12分 所以cos(e+号)=-√厂n(a+受)=-压. ……13分 所以cos(a+g)=cos(a+g)=cos[(a+受)-]=cos(a+晋)cos否十sin(a+于)sin日 厘 9+ 合1 4 8 …15分 17.【答案】(1)6(2)20 【解析】因为asin C=2√2 ccos Bcos C-2√2 bsin2C, 由正弦定理得:sin Asin C=2√2 sin Ceos Bcos C-2/√2 sin Bsin2C,…2分 因为sinC>0, 所以sinA=2√2 cos Bcos C-2√2 sin Bsin C=2√2cos(B+C)=-2√2cosA, 即sinA=-2√2cosA,… 4分 又因为sin2A十cosA=1,所以(-2Ec0sA0十c0sA=1,即c0sA=号,5分 因为sinA>0,所以-2W2cosA>0,即cosA<0,所以cosA=- 3'sin A=212 3 …6分 由正弦定理得:asin B=bsin A,…………7分 又因为asin B=4区,所以bsin A=4厄,即226=4W2,所以b=6;……8分 (2)因为BC边上的高为20g2,所以有2a…20g2=之9 9 9 2bcsin A, ……10分 所y20N2a=6X3c,即5a=9c,… 9 …11分 再由余弦定理得a2=6十-2ko0sA,所以器2=36+-2X6 (-吉)】 …12分 化简得:14c2-25c-225=0,又因为 >0,解得c=5,……13分 所以a=9,…14分 则 ABC的周长为:a十b十c=9十6十5=20,… 15分 18【答案1)详见解析(2)2厘(3)号 31 【解析】(1)取线段AB的中点为M,连接PM,CM,因为PA=PB,所以PM⊥AB; 又因为 ABC为正三角形,所以CM⊥AB, 又因为PMC平面PAB,CMC平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB, 高三数学试题参考答案第4页(共6页) 所以∠PMC即为二面角P一AB-C的平面角,……2分 又因为PA=PB=√6,AB=2√3,所以PA2十PB=AB,所以PA⊥PB,即 PAB为直角三角形,且∠APB=90 ,所 以PM=AB=E: 又因为 ABC为正三角形,且AB=25,所以CM=23 臣=3,又因为PC=25, 2 …3分 所以PM十CM=PC,即PM⊥CM,所以∠PMC=90 ,所以平面ABC⊥平面PAB;…4分 (2)由(1)知,MA,MC,MP两两垂直,分别以MA,MC,MP为x,y之轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则M(0,0,0),A(3,0,0),B(-√3,0,0),C(0,3,0),P(0,0w3).…5分 因为BC∥平面AEF,因为BCC平面PBC,平面PBC∩平面AEF=EF,所以 EF∥BC, 则 PEF 刀 PBC.……………6分 因为截面AEF将三棱锥P-ABC截成上下两部分的体积之比为1:3,所以 VuEs=子Vr, 又因为Vp-Ar=VpEF,Vc=V-e,即VEr=VPc,因为三棱锥A-PEF与三棱锥A-PBC的高相等,所以 爱=宁畏-质以EF分别为装PE.心的中点,即(号a.)5受号).-(停号o) n EF=0 2 x1十 23y=0 设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,x),由 得 n AE=0 + 20 取x1=5,则y=-1,之=33,所以n=(W5,-1,35);…9分 平面ABC的法向量为n2=(0,0,1): 设平面AEF和平面ABC的夹角为0,则cos0=cos(n,n)|= m mL=3 n1 n2 311 所以平面AEF和平面ABC的夹角的余弦值为3Y 379…10分 (3)三棱锥P-ABC的外接球的球心O即为正三角形ABC的中心,即O(0,1,0),外接球的半径R=OC=2, 因为平面AEF截球O所得的截面面积为3 ,所以截面圆的半径为r=√3,所以球心O到平面AEF的距离为d= √/R2-r=1. …12分 设路-A.01,则既=,设P吃=p店=(一5x0,-,则E(-5.05-5x0,同理F0,31w5-5x0,所 以AE=(-31-√5,05-5),EF=(5,3,0),…13分 1n EF=0W5x1十3 y=0 设平面AEF的法向量为n1=(x1,y1,),由 n 证=0得(-A后)十65-,=0 取1=5,则=-1,1=5十》,则n=(5,-1,5),…15分 1- 1- 又因为A0=(-5,1,0,则d=A0.m-=1, 1 即 4 √+罗 =1,解得=号所以器-子 …17分 19.【答案】(1)(0,e)(2)详见解析(3)详见解析 【解析】(1)f(x)=(x十a)lnx,定义域:(0,十∞), 若函数f(x)=(x十a)nx有两个极值点, 则有f(x)=1nx十十a=0在(0,十o)上有两个不相等变号根,…。 …1分 令g()=f()=nx+2=nx+1+是x>0,则g()=, 当a≤0时,g'(x)≥0在(0,十∞)上恒成立, 高三数学试题参考答案第5页(共6页) 所以函数(x)在(0,十o∞)上单调递增,所以f(x)=0至多有一个实根,不符合题意;…2分 当a>0时, 令g'(x)=0,得x=a,当0<x<a时,g'(x)<0;当x>a时,g'(x)>0, 所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,十o∞)上单调递增,x=a时,f'(x)取最小值,且最小值为lna十2,又因为当 x 0时,f(x) 十∞,当x 十∞时,f(x) 十∞,… …3分 所以若f(x)=lnx十十=0在(0,十o)上有两个不相等变号根,只需1na十2<0,即a<e.…4分 综上,当0<a<e2时,函数f(x)有两个极值点;…5分 (2)因为x,x是函数f(x)的两个极值点,则有:ln十1十=0①,lnx十1十a=0②, a(x1-x2) ①②得:n西一hx-=即x4=n家 …6分 要证:2十子>即证还十2红易2a2)气…7分 a 即证十2>名 即正2> 3(x1-x2) 因为0<x1<x2,即证:lnx1-lnx2<+222, 2,8分 L一1 即证:ln4<3 一,令t=4,且0<<1, 十2 x2 即证:lnt3(0<t1), … …9分 t+2 令0-h-3吊号01. 则N)=-3.2》-法,因为0<11.所以4-+4>1-一5X1+4=0,所以0>0, t (t+2)2 …10分 所以h(t)在(0,1)上单调递增,又因为0<t<1,所以h(t)<h(1)=0, h3在0<1时成立所以十>成立:……………… (3)由(2)知,当0<tK1时,nt3t2, t十2 收帝aeN时有h年<3,克 -3 ……13分 n+23n十2’ 所以有ln<号,n号<,h<b<n2 -3 …14分 则有n号+n号+h++<+++3子2 -3 ……15分 即( 号 …X)-3(++++ …16分 所以n<-3(+日++叶 即a时》>+g+十叶 1 3 ……17分 高三数学试题参考答案第6页(共6页)