山西省2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试题（A卷）

2025~2026学年高三12月质量检测卷 数学(A卷) 考生注意： 1.本试卷分选择題和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答題卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻抨用语、不等式，函数及其应用，一元函数的导数及其应用， 解三角形，三角函数，数列，向量复数，立体几何与空间向量，解析几何，概率统计。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.设集合A=(x|x2-2x-15<0),B=(x|1og2x-1>0),则A∩B= A.（-3,3) B.(3,5) C.(-3,5) D.(2,5) 2.设(2十i)x=4一yi,其中x,y是实数，则|x十yi= A.2 B.2√2 C.2√3 D.4 3.某单位100名男员工的体重（单位：kg)(体重均在[55,80）内)经测量整理如下表所示. 体重 [55,60) [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 频数 15 35 32 15 3 根据表中数据，下列结论正确的是 A.这100名男员工的体重的中位数大于65.5kg B.这100名男员工中体重不低于70kg的员工占比超过20% C.这100名男员工的体重的极差介于25kg至30kg之间 D.这100名男员工的体重的平均值介于62.8kg至67.8kg之间 4.已知曲线C:x2+y2=4,从C上任意一点P向y轴作垂线PP',P'为垂足，则PP的中点M 所在曲线的方程为 A2+学=1 B号+y=1 Cy+号-1 D+x=1 【高三12月质量检测卷·数学(A卷)第1页（共4页）】 5.已知向量a=(一1,1)，b=(cosx,sinx),f(x)=a·b,则 A.f(x)的最大值为1 B.曲线y=f(x)关于直线x=于对称 C.f(x)在(-至，)上单调递增 D.f(x)在（一2π，2π）上有5个零点 6.设各项为正数的等比数列(an)中，a11=8,则9ag十a取最小值时，as等于 A号 B会 c告 D 7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2十x)=f(-x),当1≤x<2时，f(x)=√2-x,则 翠) A. B1+号 C.2 D.1+√2 8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=AB,△ABC是等腰直角三 角形，斜边BC长为2√2，E,F分别是PA,PC的中点，∠BEF=90°，则球O的体积为 A.28 21rt 27 B.112W6x 27 C.2√6元 D.4V2π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件M:甲、乙两人出的都是剪刀；事件 N:甲、乙两人出的相同；事件T:甲、乙两人至少有1人出的是布.则 A.M与T互斥 B.N与T互为对立事件 C.P(MN)=P(M) D.P(M)+P(N)<P(T) 10.已知曲线C:ax2+by2=1,其中a,b是实数，且a,b至少有1个大于0，则 A.曲线C关于x轴对称 B.当ab>0时，曲线C表示椭圆 C.当ab<0时，曲线C表示双曲线 D.当ab=0时，曲线C表示两条平行直线 (In(-x)-ax,x<0, 11.设a,b∈R,函数f(x)= }r-(a+1)z2,≥0. 函数g(x)=f(x)一b,则下列说法正确 的是 Aa>0,b>0时，g(x)有2个零点 B.a<一1，b>0时，g(x)有1个零点 C.g(x)有3个零点时，a>一1，b<0 D.g(x)有4个零点时，a<-1,b<0 【高三12月质量检测卷·数学(A卷)第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分： 12.若样本数据1,3，a,5,6的平均数为4，则该样本的方差为 13.在△ABC中，AB=3,AC=2,其面积为4cosA,则BC= 14.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作1的垂线，垂足为B. 设C(p,0),AF与BC相交于点E.若|AB引=2CF|,且△ABE的面积为3，P是抛物线上的 一点，则|PC的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交 通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学 生，记录他们的分数，将数据分成4组：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，并整理得到如 下频率分布直方图， (1)从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； (2)若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试 估计总体中男生和女生人数的比例 频率 组距 0.020 0.015 0.010 0.005 可20406080100分 16.(本小题满分15分) 设数列(an)的前n项和Sn=n2一kn,as=7.数列(bn)是等比数列，b1=a2,b,(a2十a5)=1. (1)求数列(a.),(b.)的通项公式； (2)若工.是数列(ab.)的前n项和，求满足T.>影的最小的正整数n的值。 【高三12月质量检测卷·数学(4卷)第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分)1 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形，PD=AD=AB, CD=2AB,AD⊥AB,AD⊥CD,点M是棱PC上一点，且BM∥平面PAD, (1)求证：BM⊥CD; (2)求平面PBC与平面MBD所成二面角的正弦值， B 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=ax十e一1，a∈R (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线经过点(2,1)，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若存在正实数t,使得对Vx∈(0，t),都有|f(x)1>3x,求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知点P(3,V5)在双曲线C:若-茶-1(>0，b>0)上，A,B是C的左、右顶点，F是C 的右焦点，IPB|=|PF,且IPB是整数 (1)求双曲线C的方程； (2)设过点F的直线与C的右支交于M,N两点，直线MA与直线NB交于点D. (ⅰ)证明：点D在定直线上； (Ⅱ)若直线MB与直线NA交于点H,求△DFH面积的最小值 【高三12月质量检测卷·数学(A卷)第4页（共4页）】 2025~2026学年高三12月质量检测卷·数学(A卷) 参考答案、提示及评分细则 1.D因为A={xlx2-2x-15<0}={x-3<x<5},B={x|log2x-1>0}={x|x>2},所以A∩B={x|2< x<5}.故选D. 2.B由(2+iDx=4一yi得2x=4,x=-y,所以x=2,y=一2，所以|x十yi川=2W2.故选B. 3.D若将体重从低到高排，用x表示，则x50<65,x51≥65，x0十x1=131时，中位数是65.5，A错误；100名 男员工中，体重不低于70kg的有18人，占比18%，B错误；极差x10一x<80一55=25，C错误；每组员工体 重都取最低值时，平均值为62.8，每组员工体重都取最高时，平均值低于67.8，D正确.故选D. 4A设P,M,),则西=2x,n=因为+听=4，所以4r+y=4,所以x+苦=1.故选A 5.Cf(x)=a·b=一cosx+sinx=2sin(x-交)，f(x)的最大值为/2，f(T)=0,f(x)的图象关于点 (不，0)对称，所以AB错误；当-<x<平时，-受<x-<0,f(x)在(-平，）上单调递增，C正确， fx)在(-2x,2)上的零点为-至-不，至，平，共4个，D错误故选C 6B设公比为gg>0,所以a,+a-婴+a矿-号+8对≥2√得×8时=48，当且仅当号-8对，即= 3时取等号，此时a,=器-分故选B 7.Df(x)是奇函数，且f2十x)=f(-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称，且f(2+x)=f(-x)= -f(x),f(4十x)=-f(2+x)=f(x),4是f(x)的一个周期，所以f(2)=f(0)=0,又当1≤x<2时， f=2云，所以f(3)=f(是)-号，f1)=1,f(停)=f(-之)=-f(合)=-号，f3)= f-1D=-f=-1,f(3)=f(-2)=-号，f(4)=f0=0,所以之f(2）=0,所以 骂f(受)=f(合)+f+f(受)=1+.故选D 8.A因为△ABC是等腰直角三角形，斜边为BC,所以AB⊥AC.因为E,F分别是PA,PC的中点，所以EF∥ AC,又∠BEF=90°，所以BE⊥AC,又平面PAB中AB与BE相交，所以AC⊥平面PAB.由△ABC是等腰 直角三角形，斜边BC长为2√2知AB=AC=2,又PA=PB=AB,所以△PAB是边长为2的正三角形，其外 接圆半径为2，△APC与△ABC是两个全等的直角三角形，设三棱雏P-ABC的外接球的半径为R,则 R=(29)°+1=子，所以R=,所以球0的体积为青R-28五，故选A 27 9.ACD样本空间{（石头，石头），（石头，剪刀），（石头，布），（剪刀，石头），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，石 头)，（布，剪刀），（布，布）}，事件M包含的样本点为（剪刀，剪刀），事件N包含的样本点为（石头，石头），（剪 刀，剪刀)，（布，布），事件T包含的样本点为（石头，布），（剪刀，布），（布，石头），（布，剪刀），（布，布），所以M 与T互斥，N与T不互为对立事件.又事件MN包含的样本点为（剪刀，剪刀），所以P(MN)=P(M0=日， Γ9， PN)=号=子，P(D=号，所以ACD正确，B错误故选ACD 10.ACD显然(x,一y)适合C的方程，A正确；当ab>0,取a=b=1,C表示圆，B错误；当ab<0时，a>0,b< 0,C是焦点在x轴上的双曲线；a<0,b>0,C是焦点在y轴上的双曲线，C正确；当ab=0时，a>0,b=0,C 是与y轴平行的两条直线；a=0,b>0,C是与x轴平行的两条直线，D正确.故选ACD. 11.ABf(x)= -a,x<0, a>≥0时，由f(x)<0得x<0或0<x<a+1;由f(x)>0得x>a+1, x2-(a十1)x,x>0. 【高三12月质量检测卷·数学(A卷)参考答案第1页（共4页）】 x=0是f(x)的断点，f(x)在（一o∞，0）与(0，a十1)上单调递减，在(a十1，十o∞)上单调递增.a>0,b>0时， y=fx)的图象与直线y=b有2个交点，g(x)有2个零点，A正确；≤-1时，由f(x)<0得<x<0;由 f(x)>0得<是或x>0,x=0是f(x)的断点，f(x在（日，0）上单调递减，在(-∞，)与(0，+∞)上 单调递增，f(日)=n(-）-1≤-1.a<-1,6>0时y=f(x)的图象与直线y=b有1个交点，gx) 有1个零点，B正确：-1<a<0时，由f(x)<0得日<x<0或0<x<a+1;由(x)>0得x<或x> a+1,fx)在(2,0)与(0，a+1)上单调递减，在(-3，)与(a十1，+co)上单调递增.当f(日)- n(-）-1>0时，a>-是，取a,b满足-。<a<0,0<b<f(日)时y=fx)的图象与直线y=b有3 个交点，g(x)有3个零点，C错误；a≤一1时，y=f(x)的图象与直线y=b至多有2个交点，g(x)至多有2 个零点，D错误.故选AB, 12.9由+3+g+5+6-4得a=5,所以方差=二+3-4+5=+5-4+6--6=&.2 5 13.145 5 因为Sc=号b·c·sinA=3sinA=4cosA,所以tanA=号，所以cosA=号，由余弦定理得到 BC=AC+AB2-2·AC·AB·cosA,解得BC=14匝 5 14.3F(号，0)，l:x=-号，AB=2CF=p,由对称性不妨设A(z,)(y>0),则x+号-=AB|=p,x= 专，又Y=2x,所以y=A由|AB=21CF得AE=2EF,所以E点纵坐标为号，由△ABE的面积为 p(p-号)=3，得p=3,所以抛物线方程为Y=6x,C点坐标为(3,0)，设P(x,),则1PC √/(x-3)2+y=√(x-3)2+6x=√2+9，当P点是抛物线的顶点时，|PC取最小值3. 15.解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数小于60的频率为(0.005十0.015)×20=0.4，…2分 所以从总体的600名学生中随机抽取一人其分数小于60的概率估计为0.4.…4分 (2)由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为(0.020十0.010)×20×200=120，…6分 所以样本中分数不小于60的男生人数为120×2=60， …8分 因为样本中有一半男生的分数不小于60，所以样本中男生为120人，女生为200一120=80， …10分 所以样本中男生和女生人数的比例为120：80=3：2，…12分 所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3：2.…13分 16.解：(1)因为Sn,=2一kn,a5=7,所以由a5=S-S4得(25-5k)-(16-4k)=7,所以k=2,…1分 所以Sm=2-2n,a1=1,…2分 n>1时，an=Sm-Sm-1=(m2-2m)-(m2-2n+1-2n十2)=2n-3,…3分 又n=1时，2n一3=一1=a1,所以{an}的通项公式为aw=2n-3; …4分 设{bn}的公比为q, 因为=a=l,6(a:十a,)=1,所以6=gt=会=日9=合， 6分 所以{b}的通项公式为6，=2.… …7分 （(2)由1知ab.-3,所以a6.的前n项和T.=+分+是+…+2 2-1 …9分 所以号工.=完+是+是+…+203， …10分 所以1-T,=1+号+是+…+是-23-3+（号+号+是+…+品）203 2 【高三12月质量检测卷·数学(A卷)参考答案第2页（共4页）】 2(1- =一3十 2n一3=1- 2m+1 1- 2% 2n 12分 所以T,=2- 2n+1 2-1Γ· 13分 由工>器得2士1<动 64’ 令c,=2n十1，则c1-c=2m3-2”2=22”<0,所以c+1<c, 2 20+1 2+1 因为co= om=器.品-8-器所以om<<,… 21 1 …14分 所以满足T>器的最小的n的值为1山。 15分 17.(1)证明：过M作MN∥CD,交PD于点N,在梯形ABCD中，AD⊥AB,AD⊥CD,所以AB∥CD,所以AB ∥MN,连接AN,则平面PAD∩平面ABMN=AN,… …1分 因为BM∥平面PAD,BMC平面ABMN,所以AN∥BM,·2分 因为PD⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PD⊥CD,·3分 因为AD⊥CD,AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以CD⊥平面 PAD,… …5分 因为ANC平面PAD,所以AN⊥CD,所以BM⊥CD.…6分 (2)解：如图，以D为原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，之轴建立空 间直角坐标系D-xyz. 设PD=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0),…7分 由(1)知MN∥AB,又AN∥BM,所以四边形ABMN是平行四边形，MN=AB=- CD,即M,N分别是 PC,PD的中点，… 8分 所以M(0,1,),Di=(11,0),Di=(01,号)，Pi=(1,1,-1),BC=(-11,0.…10分 设平面MBD的法向量为n=(a,b,c), 因为n…Di=0,n…Di=0,所以a+b=0,b什号c=0, 取a=-1得n=(-1,1,-2)..… 12分 同样可求得平面PBC的一个法向量m=(1,1,2),… 13分 设平面PBC与平面MBD所成二面角为a, 则1osa=m-是. n·m 14分 故sina=V-cos'a-与 3 15分 18.解：(1)因为f(x)=ax十e-1,所以f(x)=a十e,… …1分 f(0)=0,f(0)=a十1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线为y=(a十1)x,… 2分 又切线过点(2,1)，所以2(a十1)=1，所以a=-1 2 …3分 (2)f(x)的定义域为R,f(x)=a十e, 当a>≥0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增；… 4分 当a<0时，由f(x)=0,得x=ln(-a);由f(x)>0,得x>ln(-a);由f(x)<0,得x<ln(-a), 所以f(x)在(-∞，ln(一a)上单调递减，在(ln（一a),十o∞)上单调递增.…6分 (3)当a≥0时，f(x)在R上单调递增，由f(0)=0知x∈(0，t)时，f(x)>0,…7分 当a<0时，由(2)知当ln(一a)≤0，即-l≤a<0时，f(x)>0对x∈(0，t)成立，…8分 所以a≥-1时，存在正实数t,使得对Hx∈(0，t),f(x)>0,从而lf(x)>3x化为(a一3)x十e一1>0； …9分 【高三12月质量检测卷·数学(A卷)参考答案第3页（共4页）】 当ln(-a)>0,即a<-1时，由(2)知f(x)在(0，ln(-a)上单调递减，Hx∈(0，ln(-a),f(x)<0, |f(x)|>3.x化为-a.x-e+1>3x即e+(a+3)x-1<0,…10分 ①a≥-1时，令g(x)=(a-3)x十e-1,则g(0)=0,g(x)=(a-3)十e, 当a≥3时，g(x)>0,g(x)在R单调递增，存在正实数t,使得对Vx∈(0，t),g(x)>0,…11分 当a<3时，由g(x)=0得x=ln(3-a),由g(x)>0得x>ln(3-a),g'(x)<0得x<ln(3-a),所以 g(zx)的单调递增区间为(ln(3一a),十∞)，单调递减区间为（一∞，ln(3一a),要存在正实数t,使得对 x∈(0，t),g(x)>0,则ln(3-a)≤0，所以2≤a<3;…13分 ②当a<-1时，令h(x)=e+(a十3)x一l,h(0)=0,h'(x)=e十a十3，要存在正实数t,使得对Hx∈(0， t),h(x)<0,则存在正实数t,h(x)在(0，t)上单调递减，h'(x)≤0对x∈(0，t)成立，…14分 当a+3≥0时，h'(x)>0,当a十3<0时，由h'(x)≤0得x≤ln(-3-a),从而ln(-3-a)>0, 所以a<-4.…16分 综合①②知，a的取值范围为（一∞，一4）U[2,十∞).…17分 19.(1)解：设C的右顶点B(a,0),右焦点F(c,0),由P(3,√5)，PB=|PF得a十c=6,…1分 又=a+,是-是-1，又PBl=a-)+5是整数，且0<a<3,所以c2=4,=12,2=16, …3分 所以C的方程为号一益-1 4分 (2)(i)证明：由(1)知A(一2,0)，B(2,0),F(4,0),由题意可设直线MN的方程为x=y十4，M(x,y), N(x2,y2). (x=my-+4, 联立方程芒-兰=1，得(3m-1DY+24nuy+36=0, 0412 则3m2-1≠0，△=(24m)2-4(3m2-1)×36=144(m2+1)>0, 24m 36 n十y=一3业=3m0与…6分 直线MA的方程为(x1十2)y=y(x十2)，NB的方程为(x2一2)y=y(x一2)， 所以二名=(2一2)=(m必+2) x+2y2(x1+2)y2(my+6) =my2十2(1+2)-2y=36m-48m-22(3m2-12=-[12m+22(3m2-1)门--1 my13y2+6y2 36m+6y2(3m2-1) 3[12m+2y2(3m2-1)] 3 …8分 所以x=1,y= 2即点D坐标为(1，产2)， 所以点D在定直线x=1上。… 10分 (i)解：因为直线M与直线NB交于点D(1,3 十2 同样可求得直线MB与直线NA交于点H(1, 3y2 x2+2 11分 IDHI= 3y2 3y2 18(y1-2) x1+2x2+2 |my+6my2+6-m2yy2+6m(+y2)+36 13分 (-2)2=(y1+2)2-4y12=（- 24m12 3m2-1 47-出.哥 13m2-1, m2yy2+6m(y1+y2)+36= 36m2 3m2-1 号+0= 36 3m2-1' …15分 216/m2+1 所以DH|= 3m2-1 =6√m2十1≥6，当且仅当m=0时取等号，… 16分 36 3m2-1 又点F(4,0)到直线x=1的距离为3，所以△DFH面积的最小值为9.…17分 【高三12月质量检测卷·数学(A卷)参考答案第4页（共4页）】