专题05 圆（期末复习讲义，16知识点+30题型）九年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学圆的期末复习讲义通过“核心考点-复习目标-考情规律”表格系统构建知识体系，分16个知识点细化概念、性质及公式，用分层结构呈现垂径定理、切线判定等重难点，结合几何直观与空间观念，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于30类分层题型设计，如垂径定理“构造直角三角形”解题技巧、切线判定“连半径证垂直”模型，例题与变式题结合培养推理能力与模型意识。基础到拓展练习满足不同学生需求，助力教师实施精准化复习教学。

圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 圆的有关概念（圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角等） 能准确区分圆的各类概念，明确概念间的从属与关联关系. 多以选择题、填空题形式考查，侧重基础概念辨析，难度较低，属于必得分点. 2. 垂径定理及其推论 掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”，能运用定理进行弦长、半径、圆心到弦的距离的计算. 高频考点，选择题、填空题、解答题均有涉及，常结合勾股定理进行线段长度计算. 3. 圆周角定理及其推论（同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角是直角等） 熟练运用圆周角与圆心角的数量关系解题，能识别直径所对的直角三角形. 必考知识点，常与三角形、四边形知识结合，出现在几何综合题中，难度中等. 4. 圆的内接多边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补），能结合多边形知识解决几何问题. 多以填空题、选择题考查，偶尔出现在解答题的辅助条件中. 5. 点与圆、直线与圆的位置关系 会根据点到圆心的距离、圆心到直线的距离判断位置关系；掌握切线的判定与性质. 切线的判定与性质是重点，解答题中常作为证明或计算的核心环节，难度中等偏上. 6. 切线长定理 理解从圆外一点引圆的两条切线的长度关系，能结合全等三角形进行相关证明与计算. 多在填空题、解答题中考查，常与切线性质综合运用 7. 圆与正多边形 掌握圆与正多边形的关系(正多边形的外接圆、中心、中心角、边心距)，学会求正多边形的边长、中心角、面积. 中档题，填空题、选择题为主，易混淆圆心角与内角的计算公式. 8. 弧长公式、扇形面积公式 牢记弧长 、扇形面积 ，能进行弧长、扇形面积及阴影部分面积的计算. 高频考点，选择题、填空题、解答题均有出现，常结合几何图形的割补法求面积 9. 圆锥的侧面积和全面积 理解圆锥的侧面展开图是扇形，明确扇形的弧长等于底面圆的周长；牢记圆锥侧面积公式，会进行侧面积和全面积的计算. 高频考点，多以选择题、填空题为主. 知识点01 圆的认识 ★1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. ★3、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点02点和圆的位置关系 ★点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ；②点P在圆上⇔d＝r ；③点P在圆内⇔d＜r . 2、 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点03弧、弦、圆心角的关系 ★1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ★2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 知识点04垂径定理 ★1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. ◆2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. ◆3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. ◆4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 知识点05圆周角和圆心角的关系 一、圆周角的概念 ★1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 二、圆周角定理及推论 ◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ★2、圆周角定理的推论 推论1：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：相等的圆周角所对的弧也相等. 知识点06圆的确定 ◆1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； ◆2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. ◆3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点07 三角形的外接圆 ◆1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ◆2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点08 圆内接四边形及其性质 ★1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ★2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 知识点09 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 知识点10圆的切线的判定定理 ◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 ◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点11圆的切线的性质定理 ◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ◆2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点12切线长及切线长定理 ◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】 ①切线是直线，不能度量．②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 知识点13三角形的内切圆 ◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. ◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 知识点14 正多边形与圆 ●一、正多边形的相关概念 ★1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. ★2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. ★3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. ●二、正多边形的相关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点15 弧长与扇形的面积 一、 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 二、 扇形及扇形的面积公式 ◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【注意】 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点16 圆锥的侧面积 一、圆锥的相关概念 ◆1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. ◆2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． ◆3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． ◆4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 二、圆锥的侧面积和全面积 ◆1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 ◆2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l ◆3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型一 与圆有关的概念 解｜题｜技｜巧 与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 【例1】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查的是对圆的认识，弦，直径，弧，半圆，等弧的概念，对每个说法进行判断，然后作出选择． 【详解】解：①直径是弦，故原说法正确； ②弦不一定是直径，故原说法错误； ③半圆是弧，但弧不一定是半圆，故原说法正确； ④在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故原说法错误； ⑤直径是圆中最长的弦，故原说法正确． 综上所述，正确的说法有①③⑤． 故选：B． 【变式1-1】下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆的有关定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】（1）直径是圆中最大的弦，正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误；（3）面积相等的两个圆是等圆，正确；（4）圆上任意两点间的部分是圆的弦，错误. 故选B． 【点睛】本题考查了与圆有关的概念，解题的关键是能够了解圆的有关概念． 【变式1-2】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 题型二 点和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ；②点P在圆上⇔d＝r ；③点P在圆内⇔d＜r . 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【详解】解：的半径为3，， 点A到圆心的距离大于半径， 点在圆外， 故选：B． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 【答案】圆内 【分析】本题考查点与圆位置关系，解题的关键在于正确计算的长度．要判断点与⊙O的位置关系，需计算点到圆心的距离，并与圆的半径比较．点是的中点，已知为，因此可求出的长度，进而比较与半径的大小关系． 【详解】解： ，且是的中点， , ⊙O的半径为，而， 则， 点到圆心的距离小于半径，说明点在圆内． 故答案为：圆内． 【变式2-2】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，理解点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由图可知三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是， 故答案为：． 题型三 与圆心角关的计算 解｜题｜技｜巧 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点． 【例3】如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3-1】如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 先利用垂径定理的推论得到，再根据角平分线的定义得到，则根据圆周角定理得到，然后根据等腰三角形的性质得到的度数． 【详解】解：点是弧的中点， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 【变式3-2】如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握并灵活运用圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题关键． 本题先连接，，得到、均是等边三角形，求得，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，然后根据等边对等角即可求解； 【详解】解：连接，，如图： ∵是是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由题可得：， ∴、均是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 题型四 与圆心角关的证明 解｜题｜技｜巧 解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用. 【例4】如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为的中点，M，N分别是OA，OB的中点， 求证：MC＝NC． 【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MOC＝∠NOC，求出OM＝ON，根据全等三角形的判定得出△MOC≌△NOC，再得出答案即可． 【详解】证明：连接OC， ∵C为的中点， ∴， ∴∠MOC＝∠NOC， ∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴OMOA，ONOB， ∵OA＝OB， ∴OM＝ON， 在△MOC和△NOC中， ， ∴△MOC≌△NOC（SAS）， ∴MC＝NC． 【变式4-1】如图，中，弦，相交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，理解在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等是解题关键． （1）根据等弧所对的弦相等进行证明即可； （2）根据等弧所对的圆周角证明即可得证． 【详解】（1）证明：∵在同圆中，相等的弦所对的弧相等， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）证明：∵，， ∴，， 在和中： ， ∴， ∴． 【变式4-2】如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E． 求证：(1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用． （1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到； （2）由得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． 题型五 利用垂径定理求线段长 解｜题｜技｜巧 利用垂径定理求线段的长的问题通常是作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解． 【例4】如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，注意：垂直于弦的直径平分弦．过点O作于点C，根据垂径定理求出，，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C，则， ，过圆心O， ， 在中，， ， ， 在中，， 故选：D． 【变式4-1】如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，利用点到直线的距离的定义得到，则根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长，也考查了勾股定理． 【详解】解：∵圆心O到弦的距离， ， ， 在中，，， ∴， ． 故选：C． 【变式4-2】如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用垂径定理得出，，证明，得出，假设半径为，则，，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设半径为，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：9． 题型六 垂径定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用垂径定理建模解决实际问题，先把实际问题转化为几何图形（圆或半圆），巧用弦的一半、圆的半径和过圆心的垂线段组成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解. 【例6】如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造垂径是解题的关键． 如图：连接，设该圆的半径为r，则，由题意可得：，然后代入得到关于r的方程求解，进而求得圆的直径． 【详解】解：如图：连接，设该圆的半径为r，则， 由题意可得：， ∴，解得：， ∴圆形拱门的直径是米． 故选D． 【变式6-1】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 【变式6-2】如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理；连接，设圆的半径为r，则，由垂径定理得，由，由勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，且过圆心O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 题型七 与圆周角有关的计算 解｜题｜技｜巧 利用圆周角的定理及其推论，结合其它知识来求解．当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题. 【例7】如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C． 【变式7-2】如图，A，C，B，D四点都在上，是的直径，圆的半径为3，，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 4 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，根据圆周角定理可得，然后利用勾股定理可求得． 【详解】解：连接， ， ， 圆的半径为3， ， ， 故选：C． 【变式7-3】如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 题型八 与圆周角有关的证明 解｜题｜技｜巧 主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，熟练掌握它们是解题的关键． 【例8】如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ADC＝90°，证明△BAD≌△CAD，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到DE＝AE＝EC，得到CA＝CB，根据等边三角形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：连接AD， ∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵BD＝DE， ∴， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD和△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（ASA）， ∴BD＝DC，即点D是BC的中点； （2）解：∵△BAD≌△CAD， ∴AB＝AC， ∵∠ADC＝90°，点E是AC的中点， ∴DE＝AE＝EC， 由（1）得，DE＝BD＝DC， ∴CA＝CB， ∴CA＝CB＝AB， ∴△ABC是等边三角形． 【变式8-1】如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）根据∠ABD＝∠DBO，证得，进而根据垂径定理证得OD⊥AC； （2）先证明ON是△ABC的中位线，得出AB＝2ON，进而得出结论． 【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBO， ∴， ∴OD⊥AC； （2）解：猜想 ODAB． ∵，OD⊥AC， ∴AN＝NC． ∵，AN＝NC， ∴ON是△ABC 的中位线， ∴AB＝2ON，AB∥ON． ∴∠ABM＝∠NDM． ∵BM＝MD，∠BMA＝∠DMN， ∴△ABM≌△NDM（ASA）， ∴AB＝ND＝2ON． ∴OD＝ON+NDAB． 【变式8-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O， 连接MB． （1）若∠M＝∠D，求证：； （2）若CD＝6，BE＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理及已知条件可得∠BOD＝2∠M＝2∠D，由垂线的性质可得∠OED＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠BOD+∠D＝90°，进而可推出∠D＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）根据垂径定理可得，设圆的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝r﹣2，在Rt△OED中根据勾股定理可列出方程，求解方程即可求出⊙O的半径． 【详解】（1）证明：根据圆周角定理及∠M＝∠D可得： ∠BOD＝2∠M＝2∠D， ∵CD⊥AB， ∴∠OED＝90°， ∴∠BOD+∠D＝90°， 即：2∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝30°， ∴； （2）解：由垂径定理可得： ， ∠OED＝90°， 设圆的半径为r，则OD＝OB＝r，OE＝OB﹣BE＝r﹣2， ∵OE2+DE2＝OD2， ∴（r﹣2）2+32＝r2， ∴， ∴⊙O的半径为． 答：⊙O的半径为． 题型九 三角形外接圆的计算 解｜题｜技｜巧 主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直角三角形外心、直角三角形斜边中线的性质等知识，用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． 【详解】解：在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和， 斜边长， ∵直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴该直角三角形的外心到直角顶点的距离为． 故选：B 【变式9-1】（2024•宝鸡模拟）如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【答案】D． 【分析】连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°，可得∠OBC＝20°，再证EBC＝∠EAC＝∠EAB∠BAC＝35°，由三角形内角和定理求∠OEB即可． 【详解】解：连接OB、OC，则∠BOC＝2∠BAC＝140°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝20°， ∵E是的中点， ∴， ∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB∠BAC＝35°， ∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°， ∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE＝55°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 【变式9-2】（2024•雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，连接OC，若∠COD＝2∠B，AC＝8，则OA的长为（　　） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A． 【分析】根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠B，求得∠AOC＝∠COD＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OA． 【详解】解：∵AD为⊙O的直径， ∴∠AOC＝2∠B， ∵∠COD＝2∠B， ∴∠AOC＝∠COD＝90°， ∵OA＝OC，AC＝8， ∴OA＝OC＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 题型十 三角形外接圆的综合应用 解｜题｜技｜巧 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键，同时还利用全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【例10】（2024秋•东莞市期末）如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M． （1）求证：AM⊥BC； （2）若BC＝6，，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和垂径定理得到结论； （2）连接OB，根据等腰三角形的性质得到BMBC＝3，根据勾股定理得到AM9，设OB＝OA＝r，则OM＝9﹣r，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴， ∵AM过圆心， ∴AM⊥BC； （2）解：连接OB， ∵AM⊥BC，AB＝AC， ∴BMBC＝3， ∵， ∴AM9， 设OB＝OA＝r，则OM＝9﹣r， ∵OB2＝BM2+OM2， ∴r2＝32+（9﹣r）2， 解得r＝5， 故⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式10-1】如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE． （1）证明：∠AEB＝∠AFD； （2）若AB＝10，BF＝5，求AF的长． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点B作BH⊥AE于H，根据勾股定理求出AE，根据三角形的面积公式求出BH，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵AD⊥BC， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵AE为⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠AEB+∠BAF＝90°， ∴∠AEB＝∠AFD； （2）解：过点B作BH⊥AE于H， ∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB， ∴∠BFE＝∠AEB， ∴BE＝BF＝5， 在Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝90°， 则AE5， ∵S△ABEAB•BEAE•BH， ∴BH2， ∴EH＝FH， ∴AF＝AE﹣EF＝AE﹣2EH＝3． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、勾股定理，掌握圆周角定理、等腰三角形的三线合一是解题的关键． 【变式10-2】（2024•湖北模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证； （2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC． 【详解】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴， 解得，， ∴BC＝2a＝3． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组． 题型十一 圆内接四边形的计算 解｜题｜技｜巧 主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数. 【例11】如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，三角形内角和定理，圆周角定理；连接，．根据圆内接四边形对角互补可得，根据三角形内角和定理得出，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ， ， ， 故选：D 【变式11-1】如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形对角互补的性质求得的度数，再利用直径所对的圆周角是直角进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于，且， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：D． 【变式11-2】如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，圆周角定理，已知圆内接四边形求角度，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得到，根据勾股定理求出，然后根据勾股定理计算，得到的半径． 【详解】解：如图，连接并延长，交于， 四边形为的内接四边形， ， ， 平分， ， ， 为等边三角形，， ， 由勾股定理得：， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径为， 故选：A． 题型十二 圆内接四边形的证明 解｜题｜技｜巧 利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【例12】如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【答案】(1)． (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质以及等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． （1）利用圆内接四边形的对角互补求出，再由得出是等腰三角形，求出底角，最后根据圆内接四边形的性质求出． （2）根据圆内接四边形的性质得出与的关系，结合以及圆内接四边形的性质，得出与的关系，进而证明为等边三角形． 【详解】（1）解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∴ ． （2）证明：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ 为等边三角形． 【变式12-1】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先得到，再根据圆内接四边形的性质得到， 进而得到，即可得出结论； （2）先求出，连接， 根据，得到，进一步求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 连接，如图： ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式12-2】如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题主要运用圆周角定理、圆内接四边形的性质以及平行线的判定方法来求解． （1）利用直径所对的圆周角是直角得出，利用直角三角形两锐角互余得出，最后根据同弧所对的圆周角相等即可得出答案． （2）延长至点M，通过圆内接四边形的性质得到，再结合，等量代换可得出，进而利用平行线的判定方法证明两直线平行． 【详解】（1）解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，延长至点M， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又， ∴， ∴． 题型十三 直线和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． ①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离． 【例13】（2024春·全国·九年级专题练习）已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系即可． 【详解】解：∵的直径为12， ∴的半径为6， ∵点O到直线l上一点的距离为，无法确定点O到直线l的距离， ∴不能确定直线l与的位置关系， 故选D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离与圆半径之间的大小关系，判断直线与圆的位置关系，是解题的关键． 【变式13-1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知的半径为，若圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．在圆内 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系：若，则相交；若，则相切；若，则相离，进而问题可求解． 【详解】解：∵的半径为，若圆心O到直线的距离为， ∴， ∴直线l与相交； 故选C． 【变式13-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】考查直线和圆的位置关系，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 已知点P在直线l上且，d是圆心到直线的最短距离（垂线段长度），因此．结合半径，分析d的不同情况即可确定位置关系． 【详解】解：圆心O到直线l的距离d是直线l上各点到O的最短距离，由垂线段最短可知． ∵圆的半径， ∴当时，直线与圆相交； 当时，直线与圆相切； 当时，直线与圆相离； ∴直线l与的位置关系可能是相交、相切或相离． 故选：D 题型十四 由直线和圆的位置关系确定取值范围 解｜题｜技｜巧 解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可． 【例14】（2024春·九年级课前预习）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴，即， ∵圆A与x轴相交， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键． 【变式14-1】（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 【变式14-2】在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，1为半径，若直线与有公共点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，由直线解析式可得，进而可求出直线和圆相切时，的长，则a的取值范围可求出． 【详解】解：设直线和圆在第二象限相切时的切点为点C，连接，则， ∵， ∴, ∵1为半径， ∴， ∴， 同理可求， ∴a的取值范围是， 故答案为：． 题型十五 切线的判定 解｜题｜技｜巧 直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等.直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等. 【例15】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，90度的圆周角所对的弦是直径，先证明是的直径，再证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：连接，如图， ， 是的直径， ，， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线． 【变式15-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． (1)求证：为的切线． (2)连接，若，，求的半径． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，过点作直线，点在圆上，连接，与交于点，且， (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、对顶角相等得到，根据切线的判定证明； （2）根据勾股定理求出，再根据勾股定理列式计算求出直径，则半径可求． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由如下：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：，， ， 在中，， 即， 解得：， 的半径为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． 题型十六 切线的性质的应用 解｜题｜技｜巧 已知切线，通常需连接过切点的半径，利用切线的性质可得到直角，然后结合圆周角定理及其推论，找到要求的角与已知角之间的联系，从而求出角度.利用切线的性质求线段长度时，通常利用切线的性质构造直角三角形，抓住题目中的已知条件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量关系求解.当题目中含有特殊角时，可以含30°或45°的直角三角形的性质求解. 【例16】（2024春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，由点为的中点可得,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【变式16-1】（2024秋•栖霞市期末）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上． 若∠D＝25°，则∠A为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 【答案】B． 【分析】根据切线的性质得到∠OCA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A． 【详解】解：∵∠D＝25°， ∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°， ∵AC切⊙O于点C， ∴OC⊥AC ∴∠OCA＝90° ∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，解题的关键是熟练掌握圆心与切点的连线垂直切线． 【变式16-2】（2024•开州区校级模拟）如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C． 【分析】根据切线的性质得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD5，求得BC＝8，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵DA，CD是⊙O的切线， ∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°， ∵AB＝4， ∴BD5， ∴BC＝8， ∵OC2+BC2＝OB2， ∴OA2+82＝（OA+4）2， 解得OA＝6， ∴⊙O的半径等于6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【变式16-3】（2024春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明： (1)是的角平分线； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）欲证明，只要证明≌即可． 【详解】（1）， ， 是的切线，， ， ，， ， 平分． （2）连接． 是直径， ， ，， ， ， ，， ≌， ． 解法二：连接． ， 平行， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质、角平分线的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 题型十七 切线的判定和性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 切线的判定与性质的综合运用问题主要里结合利用了垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握它们的性质是解题的关键． 【例17】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是⊙的直径，射线交⊙于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是⊙的切线； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的判定是解题关键． （1）先根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，再证出，则可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）先根据三角形的面积公式可得的长，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， ∴． ∵， ∴． 又是的半径， ∴是的切线． （2）解：由（1）已得：， ∴， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式17-1】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)的半径为3． 【分析】本题考查了切线的判定定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理． （1）连接，根据等边对等角得到，，，则，可得，则，即，即可证明为的切线； （2）设，根据勾股定理求出，进而得到，根据求出的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，， ， ． ， ． ， ， ， ， ， 即． 又点在上， 为的切线； （2）解：，设，， 在中，． ， ， ， ， ∴， ∴． 即的半径为3． 【变式17-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求圆的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)圆的半径长为3 【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，即可求证； （2）设的半径为R，则，由勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ， ∵， ∵， ， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：设的半径为R， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即， 解得：， ∴的半径长为3． 题型十八 切线长定理的计算 解｜题｜技｜巧 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 【例18】（2024春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结、，，根据切线的定理得，，再根据直角三角形的性质可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连结、、，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵，分别切于，点， ∴，， ∴，平分， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：．    【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质定理，切线长定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式18-1】（2024春·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：作于H， ∵直径于H， ∴， ∵分别切于C，B， ∴直径， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出CH的长． 【变式18-2】（2024春·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用切线的性质得到，则利用互余计算出的度数，再根据切线长定理得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数； (2)连接，根据切线的性质得到，，推出是等边三角形，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）∵是⊙O的切线， ∴，即． ∴． ∵，是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴． （2）连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴，． ∵为直径， ∴， 在中， 由勾股定理：，可得， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 题型十九 切线长定理的综合应用 解｜题｜技｜巧 切线长定理的综合应用重在“建模”和“转化”. 第一步：识别模型——看到“圆外一点+两条切线”，立即想到切线长相等与角平分； 第二步：添加辅助线——必连“圆心与切点”、“圆心与外点”； 第三步：建立关系——用相等线段设元列方程，或利用角度关系推导； 第四步：结合背景——与三角形、四边形性质联动，使用面积法、勾股定理等工具. 【例19】（2024春·全国·九年级统考期末）如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°. 【分析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC； （2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数． 【详解】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM， ∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM， ∴AB+DC=AD+BC （2）连OE、ON、OM、OF， ∵OE=ON，AE=AN，OA=OA， ∴△OAE≌△OAN， ∴∠OAE=∠OAN． 同理，∠ODN=∠ODF． ∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE． 又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°， ∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°， ∴∠AOD=180°﹣90°=90°． 【点睛】本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形． 【变式19-1】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 【分析】（1）根据切线长定理和三角形的周长可解答； （2）①先根据三角形内角和定理可得∠PCD+∠PDC＝140°，由平角的定义得∠ACD+∠BDE＝220°，由切线长定理：圆外一点与圆心的连线平分切线所成的夹角可得∠ACO＝∠DCO∠ACD，∠BDO＝∠EDO∠BDE，从而可以解答； ②根据平角的定义和三角形的内角和定理可解答． 【详解】解：（1）∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴PA＝PB，AC＝CE，ED＝BD， ∵△PCD的周长为10， ∴PC+CD+PD＝10， ∴PC+CE+DE+PD＝PC+AC+PD+BD＝PA+PB＝2PA＝10， ∴PA＝5； （2）①∵∠P＝40°， ∴∠PCD+∠PDC＝180°﹣40°＝140°， ∴∠ACD+∠BDE＝360°﹣140°＝220°， ∵PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点， ∴∠ACO＝∠DCO∠ACD，∠BDO＝∠EDO∠BDE， ∴∠OCD+∠ODC220°＝110°， ∴∠COD＝180°﹣110°＝70°； ②∠AEB＝180°﹣∠AEC﹣∠BED ＝180° ＝180°﹣90°∠ACD﹣90°∠BDE 220° ＝110°． 【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形内角和定理，掌握切线长定理是解题的关键． 【变式19-2】（2024春·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【答案】（1）⊙O的半径为4.8；（2）见解析. 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径； （2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G， ∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB， 又∵AB∥CD， ∴∠GCF+∠EBF=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°；， 连接OF，则OF⊥BC， 由（1）知，△BOC是直角三角形， ∴BC==10， ∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF， ∴6×8=10×OF， ∴OF=4.8， ∴⊙O的半径为4.8； （2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G， ∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°， ∵MN∥OB， ∴∠NMC=∠BOC=90°， 即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径， ∴MN是⊙O的切线， ∴MN=NG． 【点睛】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角． 题型二十 三角形内切圆的计算 解｜题｜技｜巧 三角形的内切圆是指与三角形三条边都相切的圆，其圆心称为内心，位于三角形内部。内心是三个内角角平分线的交点，到三边的距离相等，这个距离就是内切圆半径。 【例20】（2024春·天津西青·九年级统考期末）如图，在中，，，若与的三边分别相切于点D，E，F，且的周长为32，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据切线长定理可得：，，，再证明是等边三角形即可作答， 【详解】∵内切于， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了切线长定理以及等边三角形的判定与性质，掌握切线长定理是解答本题的关键． 【变式20-1】（2024春·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ． 【答案】1 【分析】根据内切圆的性质先证明四边形是矩形，可得，再由切线长定理可得，设，可得，，可得到关于r的方程，即可求解． 【详解】解：∵圆O是的内切圆， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵圆O是的内切圆， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆，切线长定理，勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆的性质，切线长定理是解题的关键． 【变式20-2】（2024春·天津河西·九年级校考期末）如图，是直角的内切圆，切点为D、E、F，若，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】根据切线长定理得出，，，设，根据勾股定理得出的值，再利用三角形的面积公式求得的面积即可． 【详解】解：是直角的内切圆，且，， ，，， ， 设，则，， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， ， ，， 的面积为， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理是解题的关键． 题型二十一 三角形内切圆的综合应用 解｜题｜技｜巧 三角形内切圆的综合应用主要围绕其半径计算、内心性质、面积关系及与特殊三角形（如直角、等边）结合展开，常用于求长度、角度、面积和解决动点与最值问题. 【例21】（2024·全国·九年级专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（　　） A．5 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得到，过点D作于F，连接，可得四边形为平行四边形，可得，即可求出IE的长． 【详解】解：连接，如图， ∵I为的内心， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点D作于F，连接， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵点E为弦的中点 ∴为的中位线， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 故选C． 【点睛】本题是三角形外接圆和内切圆综合，考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，内心等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 【变式21-1】（2024•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC． （1）求证：l是⊙O的切线； （2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长． 【分析】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形可得AB∥OE，再利用平行线的性质说明OE⊥l，即可证明结论； （2）利用垂径定理和勾股定理可得CGAC＝2，OGAB，在Rt△CEG中，利用勾股定理可得CE的长． 【详解】（1）证明：连接OE， ∵点D是Rt△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵OB＝OE， ∴∠EBC＝∠OEB， ∴∠ABE＝∠OEB， ∴AB∥OE， ∴∠BAC＝∠OGC＝90°， ∵l∥AC， ∴OE⊥l， ∴OE为半径， ∴l是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC5， ∴OC， ∵OG⊥AC， ∴CGAC＝2，OGAB， ∴EG1， 在Rt△CEG中，由勾股定理得， CE． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，圆的切线的证明等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 【变式21-2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝　 　；∠AEB＝　 ． （2）求证：DE＝CD； （3）求证：DG是⊙O的切线． 【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB＝∠ADB＝70°，由三角形的内心的性质可得∠AEB＝130°； （2）由三角形的内心的性质可得AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，可得∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE，由外角的性质可得∠BED＝∠DBE，可证DE＝CD； （3）由垂径定理可得OD⊥BC，由平行线的性质可得OD⊥DG，可得结论． 【详解】（1）解：如图，连接OD， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB＝80°， ∴∠ABC+∠BAC＝100°， ∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAE+∠ABE＝50°， ∴∠AEB＝130°， 故答案为：80°，130°； （2）证明：∵∠BAE＝∠CAE， ∴，∴BD＝CD， ∵∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE， ∴∠BED＝∠BAE+∠ABE＝∠CBD+∠CBE＝∠DBE， ∴BD＝DE， ∴DE＝CD； （3）证明：∵， ∴OD⊥BC， ∵DG∥BC， ∴OD⊥DG， 又∵OD是半径， ∴DG是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，圆的有关性质，切线的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 题型二十二 与正多边形有关的计算 解｜题｜技｜巧 ①正多边形的每个内角=. ②正多边形的中心角= ③正多边形的每个外角= 【例22】如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键．连接，，设的半径为，由正六边形内接于，可知 是等边三角形，由的面积是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接，，设的半径为， ∵正六边形内接于， 是等边三角形， ∴ ∵的面积是， ∴ 故选：D． 【变式22-1】如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式22-2】如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是 ． 【答案】18 【分析】此题主要考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质；根据题意构造出是等边三角形是解题关键． 如图，正六边形的半径是，由正六边形的性质构造证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，交点为， 由正多边形的性质得，点为正六边形的中心 点是正六边形的中心，正六边形的半径是， ， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长为：， 故答案为：18． 【变式22-3】如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；连接，由正六边形的性质得及圆周角定理得，由勾股定理得 ，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，可求出圆的半径，即可求解；掌握正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 是的直径， ， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴， ， 即的半径为2， ∴的面积为． 题型二十三 弧长的计算 解｜题｜技｜巧 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 【例23】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，解题的关键是熟记弧长公式． 连接，圆周角定理得到，再由勾股定理求出半径，然后由弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是：， 故选：D． 【变式23-1】机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，由图可知“莱洛三角形”的周长等于三段弧长，弧对应的圆心角是等边三角形的顶角为，半径是等边三角形的边长为2，直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：该“莱洛三角形”的周长． 故答案为：． 【变式23-2】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 【变式23-3】如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质． 根据题意得出翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可． 【详解】解：如图所示：    ∵，，， ∴， ∴翻滚一周时点A经过的路线长是：． 故选：C． 题型二十四 求某点的弧形运动路径长度 解｜题｜技｜巧 求某点的弧形运动路径长度，本质是计算一段圆弧的长度，关键在于确定该点运动轨迹所在圆的半径和其转过的圆心角，再代入弧长公式计算即可解答. 【例24】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ， 的长为， 因为， 所以， 则． 在中， 因为， 所以， 所以， 所以圆心O经过的路径长是：． 故选：D． 【变式24-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 于点，于点， 四边形是矩形， 又点为的中点， 点为的中点， 则， 点走过的路径长． 故选：A． 【变式24-2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是解题关键． O经过的路线是两个半径是m，圆心角为的弧，平移的距离是半径长是 m，圆心角是的弧长，二者的和就是所求的路线长． 【详解】解：O经过的路线是两个半径是（m）， ， ∵， ∴， ∴， O旋转的长度是：（m）， O移动的距离是（m）， ∴圆心O所经过的路线长是：（m）， 故选：B． 题型二十五 扇形面积的计算 解｜题｜技｜巧 设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【例26】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（　　） A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2 【答案】B． 【分析】直接利用扇形的面积公式求得即可． 【详解】解：扇形AOB的面积为：30π（m2）． 故选：B． 【点评】此题考查了扇形面积的计算，知道熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【变式25-1】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴S扇形EBC12π（cm2）， 故选：C． 【变式25-2】如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形的内角和，扇形的面积． 由多边形的内角和可得的度数，根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 【变式25-3】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．75° 【答案】A． 【分析】根据扇形和圆的面积公式列出等式计算． 【详解】解：设圆的半径为r，扇形圆心角为n°． 则扇形的半径为2r， 利用面积公式可得：， 解得n＝45． 故选：A． 题型二十六 求图形旋转后扫过的面积 解｜题｜技｜巧 判断一个图形旋转时扫过的面积可以通过将不规则图形转化为规则图形的面积和差、利用圆的面积公式和勾股定理、以及计算扇形面积和图形的面积等方法. 【例26】 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 【变式26-1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 【变式26-2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 题型二十七 求阴影部分的面积 解｜题｜技｜巧 解决这类问题的核心思想是：将复杂图形转化为已知图形的面积之和或差。常用方法包括直接法、割补法、平移旋转法、整体减空白法等. 【例27】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D ，E 分别在上，点 C 在上．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是扇形面积、30度直角三角形的性质、勾股定理等知识点，根据勾股定理求得的长是解题的关键． 连接，过点作，垂足为点．根据菱形性质可得，，在中，可求，，然后利用在中可求得，最后由阴影部分的面积扇形的面积求解即可． 【详解】解：连接，过点作，垂足为点． ∵在菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴，扇形的面积， ∴， ， ∵在菱形，， ∴，解得：， ∴， 阴影部分的面积扇形的面积 ． 故选：A． 【变式27-1】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形旋转及扇形的面积公式等知识点，掌握扇形的面积公式，推导出所求面积即为两扇形面积之差是解答本题的关键． 先推导出边扫过的部分（即阴影部分）面积为，分别求两扇形面积相减即可． 【详解】解：在中，，，， ∵， ∴直角三角形，， ∵， ∴， 由旋转可知，， 由题意得，由图形可知， 边扫过的部分（即阴影部分）面积为 , ∴边扫过的部分（即阴影部分）面积为 故选：B． 【变式27-2】（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求弓形的面积，连接，利用扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可． 【详解】解：连接，作，则：， ∴, ∵，直线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故选A． 【变式27-3】（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）①根据勾股定理，以及直角三角形的性质求出，，根据圆周角定理可知，再根据勾股定理，以及直角三角形的性质即可求出直径； ②先判定是等边三角形，利用勾股定理得出，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线； （2）解：①在中，， ∴，， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 题型二十八 与圆锥有关的计算 解｜题｜技｜巧 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 【例28】（2024·广东清远·二模）如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算，解题的关键是掌握圆锥侧面积公式． 先根据圆锥底面直径求出底面周长，再结合圆锥母线长，利用圆锥侧面积公式计算侧面积． 【详解】解：已知圆锥底面直径为6cm，则底面半径，底面周长． 圆锥母线长， 圆锥的侧面积公式为， 故选：B． 【变式28-1】（2024·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形与圆锥之间的关系，勾股定理，弧长公式；理解扇形与圆锥之间的关系是解题的关键．由弧长公式得圆锥的底面圆的周长为，再由圆锥的底面圆的半径、高、母线之间的关系，即可求解． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为（）， 故选：C． 【变式28-2】（25-26九年级上·河南漯河·期中）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，求出圆锥底面半径是解答的关键．根据圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，据此求出底面半径，再计算底面积． 【详解】解：扇形的弧长为， 设圆锥底面半径为，则，解得． 因此，圆锥的底面积为． 故答案为：． 【变式28-3】（2024春·全国·九年级专题练习）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径 ，母线长 ． (1)求这种加工材料的顶角的大小． (2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据圆锥侧面展开图的扇形面积公式，即可求解； （2）分别求得和扇形的面积，进而即可求解． 【详解】（1）解：设，依题意， ∴， ∴； （2）解：设加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积为， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∴ 【点睛】本题考查了圆锥侧面积公式，扇形面积公式，掌握扇形面积公式是解题的关键． 题型二十九 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 解决圆中最值问题的关键是结合几何性质与最短路径原理，通过构造辅助线或利用对称性将复杂问题转化为简单模型. 【例29】（2024九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值，故可求解． 此题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到取得最小值时P的位置． 【详解】连接，∵，∴，∵，∴， 要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，交于点，当P位于位置时，取得最小值， 过点M作轴于点Q， 则， ∴ ， 又， ∴， ∴， 故选D． 【变式29-1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，由四边形是矩形，则有，所以，则，得，点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，，又，从而得当三点共线时，最小，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以为直径的圆上运动，如图，连接，， ∵， ∴当三点共线时，最小，如图， 由勾股定理得，， ∴， 故选：． 【变式29-2】如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了动点的轨迹问题，由题意可推出点在以E为圆心为半径的圆上运动，可得当D、、E共线时，的值最小，据此即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∴， ∴点在以E为圆心为半径的圆上运动，如图所示： 故：当D、、E共线时，的值最小， ∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式29-3】（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，即， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 题型三十 圆的综合题 解｜题｜技｜巧 第一问常为证明切线或角相等，使用切线判定定理或圆周角定理； 第二问多涉及相似三角形，用于建立比例关系； 第三问求线段长或面积最值，结合方程思想或函数建模。 【例30】（2024·四川乐山·三模）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径； (3)若是中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）连接，证明即可得证； （2）先解直角三角形，求出、，然后证明，得出，即，然后求解即可； （3）由直角三角形的性质得出，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵与边相切于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是切线； （2）解：∵， 设，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， 即半径为． （3）证明：是中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质与判断，直角三角形斜边上中线的性质，证明是解题的关键． 【变式30-1】（2024·江苏南京·二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． (1)如图①，若， （Ⅰ）连接，求证：； （Ⅱ）的长为______． (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） (2) 【分析】本题考查了圆的综合证明与计算，并结合等腰三角形的性质与判定、相似等知识，熟练掌握圆的性质是解题关键． （1）（Ⅰ）利用垂径定理推论得，证明即可； （Ⅱ）连接，判定是等腰直角三角形即可求解； （2）连接，，作于点，作于点，证明，利用相似性质求，再利用勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）解：（Ⅰ）如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，连接， ∵是直径，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）连接，，作于点，作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式30-2】 四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC=AB：AD． （1）如图1，求证：BC=CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）首先利用已知得出CL=CK，再结合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），进而得出答案； （2）首先得出△OBC是等边三角形，进而得出答案； （3）利用已知首先得出△AMD是等边三角形，进而得出BG，EF的长，再利用S△OEF=OF•EF进而得出答案． 【详解】（1）证明：过C作CK⊥AB于点K，过C作CL⊥AD于点L， ∴S△ABC=AB•CK，S△ADC=AD•CL， ∵S△ABC：S△ADC=AB：AD． ∴CL=CK， ∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°， ∴∠B=∠CDL， ∵∠CKB=∠L=90°， 在△CKB和△CLD中 ， ∴△CKB≌△CLD（AAS）， ∴BC=CD． （2）证明：如图2，连接OB、OD， ∵BC=CD， ∴∠BOC=∠DOC ∵OB=OD， ∴OE⊥BD， ∵∠BAD=60°， ∴∠BOC=∠DOC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∴OE=EC； （3）如图3，延长DF交AB于点M，连接OB， ∵∠BAD=60°， ∴∠BAC=∠CAD=30°， ∵AF⊥DF， ∴∠AFM=∠AFD=90°， ∴∠AMD=∠ADM=60°， ∴△AMD是等边三角形， 设MG=a，则MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=a， ∴AG=BG=3a，∴BM=2a ∵E、F分别是BD、MD中点，∴EF=a，EF∥AB 过B作BN⊥MD，则MN=a，BN=a，∴DN=5a， ∵BD=OC， ∴BD=3 在Rt△BND中，（a）2+（5a）2=（3）2 解得a=， ∴BG=，EF=， 在Rt△OGB中，OG=， ∴OF=， ∵EF∥AB， ∴∠EFO=∠AGF=90° ∴S△OEF=OF•EF=××= ∵OE=EC， ∴S△OFC=2 S△OEF=． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·北京·期中）下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．三点可以确定一个圆 C．直径是圆中最长的弦 D．相等的两条弦所对的弧相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，熟练掌握圆的弦、直径、确定圆的条件等相关性质是解题的关键．根据圆的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故A错误； B、三点可以确定一个圆，但三点必须不共线，否则不能确定圆，故B错误； C、直径是圆中最长的弦，故C正确； D、相等的两条弦所对的弧不一定相等，故D错误． 故选：C． 2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理构造方程求解． 由垂径定理可知，；设的半径为，则；在中，根据勾股定理列方程求解半径． 【详解】解： 是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中， ， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，F，P是上一点，则∠EPF的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】C． 【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OE，OF． ∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点， ∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠OEB＝∠OFB＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠EOF＝120°， ∴∠EPF∠EOF＝60°， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则 ． 【答案】57 【分析】本题考查的是圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形及三角形外角的性质求解是解答此题的关键．连接，由可得出，故可得出的度数，根据三角形外角的性质求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：连接， ，， ， ． 是的外角， ． ， ， ， ． 故答案为：57． 8．（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形， 先画出图形，可知，再作，即可求出，然后根据勾股定理求出，进而求出答案. 【详解】解：设正六边形的中心O，一边是，则，作于点G， 可知是等边三角形，且正六边形是由6个等边三角形组成. 如图，在中，， ∴， ∴， 所以这个正六边形的面积. 故选：C. 9．（2024春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为 . 【答案】2． 【分析】由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODB＝∠C＝90°，所以OD∥AC，则∠ODA＝∠CAD，由OA＝OD，得∠ODA＝∠BAD，所以∠CAD＝∠BAD，因为AD＝BD，所以∠BAD＝∠B，则∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，所以OB＝2OD＝8，则AD＝BD4，所以CDAD＝2，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵⊙O与边BC相切于点D，∠C＝90°， ∴BC⊥OD， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B， ∵∠CAD+∠BAD+∠B＝∠CAB+∠B＝90°， ∴∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°， ∴OB＝2OD＝2×4＝8， ∴AD＝BD4， ∴CDAD42， 故答案为：2． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，求得∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°是解题的关键． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ，由勾股定理得： ， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质．由，知点在以为直径的上，当三点共线时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵， ∴点Q在以为直径的上， ∴当三点共线时，取得最小值，如图， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（22-23九年级下·江苏淮安·月考）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用， （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． （2）设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）连接，证即可； （2）先证，，结合即可证得． 【详解】（1）证明：连接， 在中，， ， 在菱形中，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， 为弧中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，圆的相关性质：圆的半径相等、在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造辅助线，利用圆的相关性质是解题的关键． 14．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①4；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）①根据勾股定理，以及直角三角形的性质求出，，根据圆周角定理可知，再根据勾股定理，以及直角三角形的性质即可求出直径； ②先判定是等边三角形，利用勾股定理得出，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ， 平分， ， ， ． ， ． 是半径， 是的切线； （2）解：①在中，， ∴，， 是的直径， ， 在中，，， ，即直径为4； ②， ， ， 是等边三角形， 的高为：， ． 【点睛】本题考查切线的判定和性质，角平分线性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理以及扇形面积的计算，掌握切线的判定和性质，角平分线，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出，再利用线段垂直平分线的性质得出； （2）利用圆内接四边形的性质得出，进而得出，即可得出答案； （3）根据得出的长，即可求出的长，再判断，求出的值． 【详解】（1）证明：是的直径， ，即， ， 垂直平分， ； （2）解：四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ； （3）解：连接， ， ， 在中， ， 是的中点， ， ， 是的中点， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出，的长是解题关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 1. 圆的有关概念（圆心、半径、直径、弧、弦、圆心角、圆周角等） 能准确区分圆的各类概念，明确概念间的从属与关联关系. 多以选择题、填空题形式考查，侧重基础概念辨析，难度较低，属于必得分点. 2. 垂径定理及其推论 掌握垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧”，能运用定理进行弦长、半径、圆心到弦的距离的计算. 高频考点，选择题、填空题、解答题均有涉及，常结合勾股定理进行线段长度计算. 3. 圆周角定理及其推论（同弧或等弧所对的圆周角相等、圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角是直角等） 熟练运用圆周角与圆心角的数量关系解题，能识别直径所对的直角三角形. 必考知识点，常与三角形、四边形知识结合，出现在几何综合题中，难度中等. 4. 圆的内接多边形 掌握圆内接四边形的性质（对角互补），能结合多边形知识解决几何问题. 多以填空题、选择题考查，偶尔出现在解答题的辅助条件中. 5. 点与圆、直线与圆的位置关系 会根据点到圆心的距离、圆心到直线的距离判断位置关系；掌握切线的判定与性质. 切线的判定与性质是重点，解答题中常作为证明或计算的核心环节，难度中等偏上. 6. 切线长定理 理解从圆外一点引圆的两条切线的长度关系，能结合全等三角形进行相关证明与计算. 多在填空题、解答题中考查，常与切线性质综合运用 7. 圆与正多边形 掌握圆与正多边形的关系(正多边形的外接圆、中心、中心角、边心距)，学会求正多边形的边长、中心角、面积. 中档题，填空题、选择题为主，易混淆圆心角与内角的计算公式. 8. 弧长公式、扇形面积公式 牢记弧长 、扇形面积 ，能进行弧长、扇形面积及阴影部分面积的计算. 高频考点，选择题、填空题、解答题均有出现，常结合几何图形的割补法求面积 9. 圆锥的侧面积和全面积 理解圆锥的侧面展开图是扇形，明确扇形的弧长等于底面圆的周长；牢记圆锥侧面积公式，会进行侧面积和全面积的计算. 高频考点，多以选择题、填空题为主. 知识点01 圆的认识 ★1、圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转 一周 ，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做 圆心 ，线段OA叫做 半径 ．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“ 圆O ”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． ★2、确定一个圆的两个要素：一是圆心，二是半径；圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. ★3、与圆有关的概念 弦：连接圆上任意两点的线段叫弦； 直径：经过圆心的 弦 叫直径,是圆中最长的弦； 弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧； 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆 ； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示，如图中 叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示，如图中 叫做劣弧； 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆； 等弧：能够互相重合的弧叫做等弧； 【注意】 1、半圆是弧，但弧不一定是半圆.弧包括优弧、劣弧和半圆.半圆既不是优弧也不是劣弧. 2、等弧只能出现在同圆或等圆中. 知识点02点和圆的位置关系 ★点和圆的位置关系： 1、点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ；②点P在圆上⇔d＝r ；③点P在圆内⇔d＜r . 2、 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 知识点03弧、弦、圆心角的关系 ★1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ★2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 知识点04垂径定理 ★1.圆的轴对称性 圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，它的对称中心是圆心. ◆2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的依据是圆的轴对称的性质. ◆3、垂径定理的用法： （1）连接圆心与弦的一端，与过圆心且垂直与弦的线段和弦的一半构成直角三角形（即垂径定理三角形），利用勾股定理列式求值. （2）如图弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： （3）r ,a，d，h，已知其中任意两个量，即可求出另外两个量. ◆4、垂径定理的推论： （1）垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）垂径定理及其推论：一条直线满足：①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”） 知识点05圆周角和圆心角的关系 一、圆周角的概念 ★1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 二、圆周角定理及推论 ◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. ★2、圆周角定理的推论 推论1：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：相等的圆周角所对的弧也相等. 知识点06圆的确定 ◆1、确定圆的条件：圆心的位置和半径的大小，只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才 唯一确定； ◆2、过已知点作圆的个数： （1）过一点可以作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； （3）过不在同一条直线的三个点可以作一个圆. ◆3、不在同一条直线上的三点确定一个圆. 知识点07 三角形的外接圆 ◆1、三角形的外接圆与外心 （1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接 三角形. （2）三角形的外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个圆心叫做三角形的外心． （3）三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等. （4）三角形外心的位置： 锐角三角形：外心在三角形的内部； 直角三角形：外心在三角形的外部; 钝角三角形：外心是直角三角形斜边的中点. ◆2、外接圆的作法： 分别作出三角形两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为该三角形的外接圆圆心，以交点为圆心，以圆心到任一顶点的距离为半径作圆，即可得到三角形的外接圆. 知识点08 圆内接四边形及其性质 ★1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ★2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 知识点09 直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r 知识点10圆的切线的判定定理 ◆1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆2、几何语言表示：（如右图） ∵OA为☉O的半径，BC⊥OA于A， ∴直线l是☉O的切线 ◆3、判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： （1）定义法：（如图1）直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线； （2）数量关系法：（如图2）圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切； （3）判定定理：（如图3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ◆4、常见证切线作辅助线的方法： （1）有交点，连半径，证垂直； （2）无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 知识点11圆的切线的性质定理 ◆1、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ◆2、几何语言表示： ∵直线l是☉O的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 知识点12切线长及切线长定理 ◆1、切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长． 【注意】 ①切线是直线，不能度量．②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． ◆2、切线长定理: 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 知识点13三角形的内切圆 ◆1、三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆. ◆2、三角形的内心:三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ◆3、三角形内心的性质：三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 知识点14 正多边形与圆 ●一、正多边形的相关概念 ★1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. ★2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. ★3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. ●二、正多边形的相关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点15 弧长与扇形的面积 一、 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 二、 扇形及扇形的面积公式 ◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【注意】 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点16 圆锥的侧面积 一、圆锥的相关概念 ◆1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. ◆2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． ◆3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． ◆4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 二、圆锥的侧面积和全面积 ◆1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 ◆2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l ◆3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型一 与圆有关的概念 解｜题｜技｜巧 与圆有关的概念有弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 【例1】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，弧不一定是半圆；④优弧一定大于劣弧；⑤直径是圆中最长的弦．其中正确的说法为（    ） A．①③④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．③④⑤ 【变式1-1】下列判断结论正确的有（　　） （1）直径是圆中最大的弦． （2）长度相等的两条弧一定是等弧． （3）面积相等的两个圆是等圆． （4）圆上任意两点间的部分是圆的弦． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 点和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ；②点P在圆上⇔d＝r ；③点P在圆内⇔d＜r . 【例2】（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知⊙O的半径为，，是的中点，则点与⊙O的位置关系是点在 ．（填圆内、圆外或圆上） 【变式2-2】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 题型三 与圆心角关的计算 解｜题｜技｜巧 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点． 【例3】如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在以为圆心的半圆中，是直径，点是弧的中点，连接，平分交于点，连接，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，且，点P在上，连接，若 ，则（   ） A． B． C． D． 题型四 与圆心角关的证明 解｜题｜技｜巧 解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用. 【例4】如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为的中点，M，N分别是OA，OB的中点， 求证：MC＝NC． 【变式4-1】如图，中，弦，相交于点，．求证： (1)； (2)． 【变式4-2】如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E． 求证：(1) (2)． 题型五 利用垂径定理求线段长 解｜题｜技｜巧 利用垂径定理求线段的长的问题通常是作弦的垂线并连接圆心与弦的一个端点，构造“垂径定理三角形”，利用勾股定理求解． 【例4】如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-2】如图，是的直径，点，在上，，，垂足分别为点．若，则的长为 ． 题型六 垂径定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用垂径定理建模解决实际问题，先把实际问题转化为几何图形（圆或半圆），巧用弦的一半、圆的半径和过圆心的垂线段组成直角三角形，然后借助勾股定理，列出方程求解. 【例6】如图1是广东四大名园之一清晖园内的一座圆形拱门．小明同学只用了一把一米长的直尺就测出了圆形拱门的直径．图2为小明测量方案的示意图，他先将直尺水平放在圆形拱门内，即米，取的中点，再测出点到圆的最低点的距离为米．则圆形拱门的直径是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式6-1】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（    ） A．4cm B． C． D． 【变式6-2】如图，一个隧道的横截面是以为圆心的圆的一部分，路面，高，则此圆的半径长为 ． 【变式6-3】只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 题型七 与圆周角有关的计算 解｜题｜技｜巧 利用圆周角的定理及其推论，结合其它知识来求解．当有直径时，常用直径所对的圆周角是90°，构造直角三角形来进行解题. 【例7】如图， 是半圆的直径， 点， 在半圆上，且， 点在上，若，则 (    ) A． B． C． D． 【变式7-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，A，C，B，D四点都在上，是的直径，圆的半径为3，，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 4 【变式7-3】如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 题型八 与圆周角有关的证明 解｜题｜技｜巧 主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理等知识点，熟练掌握它们是解题的关键． 【例8】如图，已知△ABC中，AB为半圆O的直径，AC、BC分别交半圆O于点E、D，且BD＝DE． （1）求证：点D是BC的中点． （2）若点E是AC的中点，判断△ABC的形状，并说明理由． 【变式8-1】如图，点A、B、C在⊙O上，BC是直径，∠ABC的角平分线BD与⊙O交于点D，与AC交于点M，且BM＝MD，连接OD，交AC于点N． （1）证明：OD⊥AC； （2）试猜想AB与OD之间的数量关系，并证明． 【变式8-2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O， 连接MB． （1）若∠M＝∠D，求证：； （2）若CD＝6，BE＝2，求⊙O的半径． 题型九 三角形外接圆的计算 解｜题｜技｜巧 主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【例9】（2024九年级·全国·竞赛）在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024•宝鸡模拟）如图，△ABC内接于⊙O，E是的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，则∠OEB的度数为（　　） A．70° B．65° C．60° D．55° 【变式9-2】（2024•雁塔区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，连接OC，若∠COD＝2∠B，AC＝8，则OA的长为（　　） A．4 B．1 C．2 D． 题型十 三角形外接圆的综合应用 解｜题｜技｜巧 本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键，同时还利用全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【例10】（2024秋•东莞市期末）如图，△ABC为圆O的内接三角形，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点M． （1）求证：AM⊥BC； （2）若BC＝6，，求⊙O的半径． 【变式10-1】如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D，直径AE平分∠BAD交BC于点F，连接BE． （1）证明：∠AEB＝∠AFD； （2）若AB＝10，BF＝5，求AF的长． 【变式10-2】（2024•湖北模拟）已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 题型十一 圆内接四边形的计算 解｜题｜技｜巧 主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数. 【例11】如图，四边形是的内接四边形，若，则所对的圆心角为（   ）      A． B． C． D． 【变式11-1】如图，已知是的直径，B，C，E是上的三个点，连接，，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，是的外接圆，，弦平分并交于点，弦，连接，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 题型十二 圆内接四边形的证明 解｜题｜技｜巧 利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【例12】如图，在的内接四边形中，，为上一点． (1)若，求的度数． (2)若，求证：为等边三角形． 【变式12-1】如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式12-2】如图，在圆内接四边形中，、是对角线，，，在的延长线上取点E，使，在的延长线上取点F，连接，使． (1)若，是圆的直径，求的度数； (2)求证：． 题型十三 直线和圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． ①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离． 【例13】（2024春·全国·九年级专题练习）已知的直径为12，点O到直线l上一点的距离为，则直线l与的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式13-1】（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知的半径为，若圆心O到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．在圆内 【变式13-2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）已知的半径为，点P是直线l上一点，的长为，则直线l与的位置关系是（　　） A． 相交 B．相切 C．相离 D．以上三种都有可能 B． 题型十四 由直线和圆的位置关系确定取值范围 解｜题｜技｜巧 解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可． 【例14】（2024春·九年级课前预习）在平面直角坐标系中，以点为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】在直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，1为半径，若直线与有公共点，则a的取值范围是 ． 题型十五 切线的判定 解｜题｜技｜巧 直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于 90°等.直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用角平分线上的点到角的两边的距离相等. 【例15】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．求证：是的切线． 【变式15-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的直径，过点作直线，点在圆上，连接，与交于点，且， (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径． 题型十六 切线的性质的应用 解｜题｜技｜巧 已知切线，通常需连接过切点的半径，利用切线的性质可得到直角，然后结合圆周角定理及其推论，找到要求的角与已知角之间的联系，从而求出角度.利用切线的性质求线段长度时，通常利用切线的性质构造直角三角形，抓住题目中的已知条件，在直角三角形中利用勾股定理找出等量关系求解.当题目中含有特殊角时，可以含30°或45°的直角三角形的性质求解. 【例16】（2024春·重庆南岸·九年级重庆市珊瑚初级中学校校考期中）如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式16-1】（2024秋•栖霞市期末）如图，OA交⊙O于点B，AC切⊙O于点C，D点在⊙O上． 若∠D＝25°，则∠A为（　　） A．25° B．40° C．50° D．65° 【变式16-2】（2024•开州区校级模拟）如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 【变式16-3】（2024春·河南驻马店·九年级统考期中）如图所示，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接试证明： (1)是的角平分线； (2)． 题型十七 切线的判定和性质的综合应用 解｜题｜技｜巧 切线的判定与性质的综合运用问题主要里结合利用了垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握它们的性质是解题的关键． 【例17】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知是⊙的直径，射线交⊙于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是⊙的切线； (2)若的面积为，，求的长． 【变式17-1】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，为的直径，点在上，过点的直线与的延长线相交于点，与的延长线交于点，与相交于点，，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【变式17-2】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求圆的半径长． 题型十八 切线长定理的计算 解｜题｜技｜巧 切线长定理，过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 【例18】（2024春·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点是半径为的外一点，，分别切于，点，若是边长为的等边三角形，则（  ）    A． B． C． D． 【变式18-1】（2024春·江苏南京·九年级统考期末）如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点．若，则长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式18-2】（2024春·天津河西·九年级统考期末）如图，，是⊙O的切线，，为切点，是⊙O的直径． (1)若，求的度数； (2)若，，求⊙O的半径． 题型十九 切线长定理的综合应用 解｜题｜技｜巧 切线长定理的综合应用重在“建模”和“转化”. 第一步：识别模型——看到“圆外一点+两条切线”，立即想到切线长相等与角平分； 第二步：添加辅助线——必连“圆心与切点”、“圆心与外点”； 第三步：建立关系——用相等线段设元列方程，或利用角度关系推导； 第四步：结合背景——与三角形、四边形性质联动，使用面积法、勾股定理等工具. 【例19】（2024春·全国·九年级统考期末）如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【变式19-1】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点． （1）如果△PCD的周长为10，求PA的长； （2）如果∠P＝40°， ①求∠COD； ②连AE，BE，求∠AEB． 【变式19-2】（2024春·江苏南通·九年级校联考期中）如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 题型二十 三角形内切圆的计算 解｜题｜技｜巧 三角形的内切圆是指与三角形三条边都相切的圆，其圆心称为内心，位于三角形内部。内心是三个内角角平分线的交点，到三边的距离相等，这个距离就是内切圆半径。 【例20】（2024春·天津西青·九年级统考期末）如图，在中，，，若与的三边分别相切于点D，E，F，且的周长为32，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式20-1】（2024春·山东淄博·九年级统考期末）如图，中，，圆O是的内切圆，D，E，F是切点．若，则 ． 【变式20-2】（2024春·天津河西·九年级校考期末）如图，是直角的内切圆，切点为D、E、F，若，，则的面积为 ． 题型二十一 三角形内切圆的综合应用 解｜题｜技｜巧 三角形内切圆的综合应用主要围绕其半径计算、内心性质、面积关系及与特殊三角形（如直角、等边）结合展开，常用于求长度、角度、面积和解决动点与最值问题. 【例21】（2024·全国·九年级专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（　　） A．5 B． C．4 D． 【变式21-1】（2024•庐阳区校级一模）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC． （1）求证：l是⊙O的切线； （2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长． 【变式21-2】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC． （1）若∠ACB＝80°，则∠ADB＝　 　；∠AEB＝　 ． （2）求证：DE＝CD； （3）求证：DG是⊙O的切线． 题型二十二 与正多边形有关的计算 解｜题｜技｜巧 ①正多边形的每个内角=. ②正多边形的中心角= ③正多边形的每个外角= 【例22】如图，正六边形内接于，若的面积为，则正六边形的边长为（   ） A． B．3 C．2 D． 【变式22-1】如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【变式22-2】如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是 ． 【变式22-3】如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 题型二十三 弧长的计算 解｜题｜技｜巧 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 【例23】如图，是的外接圆， ，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式23-1】机械学家“莱洛”发明的“莱洛三角形”是分别以正三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形．如图，若等边三角形的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长为 ． 【变式23-2】如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式23-3】如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 题型二十四 求某点的弧形运动路径长度 解｜题｜技｜巧 求某点的弧形运动路径长度，本质是计算一段圆弧的长度，关键在于确定该点运动轨迹所在圆的半径和其转过的圆心角，再代入弧长公式计算即可解答. 【例24】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 【变式24-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【变式24-2】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（    ）m.（结果用含的式子表示） A． B． C． D． B． 题型二十五 扇形面积的计算 解｜题｜技｜巧 设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【例26】如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB，则扇形AOB的面积为（　　） A．15πm2 B．30πm2 C．18πm2 D．12πm2 【变式25-1】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【变式25-2】如图，正五边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式25-3】一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（　　） A．45° B．60° C．90° D．75° 题型二十六 求图形旋转后扫过的面积 解｜题｜技｜巧 判断一个图形旋转时扫过的面积可以通过将不规则图形转化为规则图形的面积和差、利用圆的面积公式和勾股定理、以及计算扇形面积和图形的面积等方法. 【例26】 如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式26-1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【变式26-2】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 题型二十七 求阴影部分的面积 解｜题｜技｜巧 解决这类问题的核心思想是：将复杂图形转化为已知图形的面积之和或差。常用方法包括直接法、割补法、平移旋转法、整体减空白法等. 【例27】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D ，E 分别在上，点 C 在上．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式27-1】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，，将绕点旋转至使得，，共线，则边扫过的部分（即阴影部分）面积为（   ） A． B． C． D． 【变式27-2】（23-24九年级下·四川眉山·阶段练习）如下图，点A、B、C在圆O上，，直线．点O在上，若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式27-3】（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 题型二十八 与圆锥有关的计算 解｜题｜技｜巧 1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l 3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 【例28】（2024·广东清远·二模）如题图，某品牌冰淇淋甜筒的形状是圆锥，则一个甜筒的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式28-1】（2024·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（   ） A． B． C． D． 【变式28-2】（25-26九年级上·河南漯河·期中）用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面积为 ． 【变式28-3】（2024春·全国·九年级专题练习）图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装雷要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，，将扇形EAF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，已知圆锥的底面圆直径 ，母线长 ． (1)求这种加工材料的顶角的大小． (2)求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 题型二十九 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 解决圆中最值问题的关键是结合几何性质与最短路径原理，通过构造辅助线或利用对称性将复杂问题转化为简单模型. 【例29】（2024九年级·全国·专题练习）如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式29-1】（25-26九年级上·安徽铜陵·期中）如图，在矩形中，，，点是矩形内部的一个动点，且，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式29-2】如图，在矩形中，是边的中点，F是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是 ． 【变式29-3】（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．    题型三十 圆的综合题 解｜题｜技｜巧 第一问常为证明切线或角相等，使用切线判定定理或圆周角定理； 第二问多涉及相似三角形，用于建立比例关系； 第三问求线段长或面积最值，结合方程思想或函数建模。 【例30】（2024·四川乐山·三模）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是切线； (2)若，，求半径； (3)若是中点，求证：． 【变式30-1】（2024·江苏南京·二模）如图，在半径为的中，是直径，点在上，且，弦（非直径）交于点． (1)如图①，若， （Ⅰ）连接，求证：； （Ⅱ）的长为______． (2)如图②，若，求的长． 【变式30-2】四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC=AB：AD． （1）如图1，求证：BC=CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面积． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·北京·期中）下列命题中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于这条弦 B．三点可以确定一个圆 C．直径是圆中最长的弦 D．相等的两条弦所对的弧相等 2．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）图2是从正面看到的一个“老碗”（图1）的形状示意图是的一部分，D是的中点，连接，与弦交于点C，连接，．已知，碗深，则的半径为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·北京·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠B＝50°，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AC，AB，BC于点D，E，F，P是上一点，则∠EPF的度数为（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 7．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，是直径，是弦，延长相交于点，且，，则 ． 8．（2025·宁夏银川·一模）如图，正六边形螺帽的边长为4，则这个螺帽的面积是（   ） A． B．6 C．24 D．12 9．（2024春•铜梁区校级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB边上一点，以O为圆心，OA为半径作圆，⊙O恰好与边BC相切于点D，连接AD，若AD＝BD，⊙O的半径为4，则CD的长度为 . 10．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为 ． 11．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形中，，．点沿折线运动，在上总有点满足，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 12．（22-23九年级下·江苏淮安·月考）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接．若，求的长． 13．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． (1)求证：； (2)当E为弧中点时，求证：． 14．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，是的直径，C是上的一点，直线经过点C，过点A作直线的垂线，垂足为点D，且平分． (1)求证：直线是的切线； (2)若，， ①求的直径； ②求阴影部分的面积． 15．（2024·浙江杭州·一模）如图，是的直径，为上位于异侧的两点，使得，连接交于点． (1)证明：； (2)若，求的度数； (3)设交于点，若，，是的中点，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $