专题04 投影与视图（期末复习讲义，7知识点+19题型）九年级数学上学期鲁教版五四制

该初中数学讲义通过核心考点表格与知识框架图系统构建投影与视图的复习体系，涵盖投影概念（平行投影与中心投影对比）、三视图画法（长对正等法则）、几何体还原及实际应用，用表格对比突出概念差异，步骤分解明晰三视图绘制逻辑，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于19类分层题型设计，如“投影测高”用相似三角形模型（典例含路灯影长计算），“由三视图还原几何体”采用俯视图填数法，培养空间观念与推理意识。基础通关、重难突破等分层练习适配不同学生，解题技巧与易错点提示助力自主复习，教师可据此实施精准教学。

投影与视图 （期末复习讲义） 核心考点 对应复习目标 对应考情规律 1. 投影的相关概念 能区分平行投影和中心投影，理解正投影的含义，能识别不同投影的形成条件 选择题、填空题基础考点，常结合生活场景（如太阳光、灯光下的影子）考查区分，难度低. 2. 物体的三视图 能准确判断简单几何体（正方体、圆柱、圆锥等）的三视图，掌握三视图的绘制规则 选择题、填空题高频考点，偶尔会出现简单的作图题，难度中等. 3. 由三视图还原几何体 能根据三视图还原常见几何体，能结合数据计算几何体的棱长、表面积和体积 选择题、填空题、解答题均有涉及，常与正方体的展开图、几何体的体积计算结合，难度中等偏上. 4. 投影与视图的实际应用 能运用投影知识解决实际测高问题，能根据三视图判断物体的实际形状和摆放情况 选择题、填空题偶考，联系生活实际场景，难度中等. 知识点01投影、投射线、投影面的概念 ◆1、物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 知识点02 中心投影 ◆中心投影的定义：若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　 （2）)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 知识点03 平行投影 ◆1.平行投影的定义：由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. ◆2.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　 （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. ◆3.物高与影长的关系 在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　【注意】利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. ◆4.平行投影与中心投影的区别与联系 平行投影 中心投影 区 别 光源 太阳等 点光源（灯泡等） 投射线 投射线是平行的 投射线是从一点发出的，不是平行的 投影 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向. 影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向. 联 系 （1）都是物体在投射线下形成的投影； （2）若投射线一定，投影随着物体位置的变化而变化； （3）影子的长度与物体的高度（长度）有关； （4）当物体与投影面平行时，物体和投影的形状相同. ◆5.平行投影与图形的相似紧密相关；中心投影与图形的位似紧密相关. 知识点04 正投影 ◆1.正投影：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影.如图所示.（正投影只要求投射线与投影面是垂直的，与物体的位置无关），正投影是特殊的平行投影. 知识点05三视图的概念 ◆1.三视图：分别是主视图、俯视图、左视图. （1）主视图：物体在正投影面上的正投影叫做主视图（产生主视图的投射线方向也叫做主视方向）； （2）俯视图：物体在水平投影面上的正投影叫做俯视图； （3）左视图：物体在侧投影面上的正投影叫做左视图. 知识点06三视图的画法 ◆1. “长对正、高平齐、宽相等”是画三视图必须遵守的法则.在画三视图时，我们一般先选择主视方向，画出主视图，再把左视图画在主视图的右边，把俯视图画在主视图的下方. ◆2. 画三视图的具体步骤如下： （1）确定主视图的位置,画出主视图；（主视图反映物体的长和高） （2）在主视图的正下方画出俯视图,注意与主视图“长对正”；（俯视图反映物体的长和宽） （3）在主视图的正右方画出左视图,注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”.（左视图反映物体的高和宽） 【注意】 轮廓线需要在三视图中体现，看得见的画成实线，看不见的画成虚线. 知识点07 由三视图描述几何体 由三视图描述几何体（或实物模型），一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体（或实物模型）的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 题型一 中心投影的概念及特点 解｜题｜技｜巧 当涉及影长计算时，通常构造两个相似三角形：三角形1：光源、物体顶部、物体底部;三角形2：光源、影子顶端、物体底部 【典例1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影的定义，解题的关键是理解中心投影的形成光源是灯光．利用中心投影和平行投影的定义判断即可． 【详解】解：中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光与月光， 在各选项中只有C选项得到的投影为平行投影． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯．晚上欢欢站在位置的影子和站在位置的影子相比（　　） A．在位置的影子长些 B．在位置的影子长些 C．在位置和的影子一样长 D．在位置和的影子谁长无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影，同一物体，离光源越远，影子越长，据此求解即可． 【详解】解：由图可知，点A距离路灯的距离小于点B距离路灯的距离， ∴在位置的影子长些， 故选；B． 【变式2】（24-25九年级上·河北衡水·期末）如图．在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（  ）    A．1.8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查中心投影，一次函数的应用，坐标确定位置，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长分别交x轴于点．求出的坐标可得结论． 【详解】解：延长分别交x轴于点．    设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 同法可得， ∴， ∴木杆在x轴上的投影长． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 【答案】(1)先变短后变长； (2)见解析 (3)路灯的高度是米． 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据光是沿直线传播的道理分析即可； （2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子； （3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长， 故答案为：先变短后变长； （2）解：如图，线段即为所求作影子； （3）解：如图，连接并延长交直线于点， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， 即路灯的高度是米． 题型二 平行投影的概念及特点 解｜题｜技｜巧 平行投影是在平行光线照射下形成的影子，其核心特点是同一时刻物高与影长成正比，且影子方向一致。掌握这一规律是解题的关键. 【典例1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义； 根据平行的投影的定义可知，在同一时刻，物体的高度与其影长之比是定值，并且方向一致，据此判定即可， 【详解】A．影子的方向相同，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项符合题意； B．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； C．影子的方向不相同，故本选项不符合题意； D．树高与影子长度不成正比，故本选项不符合题意． 故选A． 【变式1】（24-25九年级上·河南焦作·期末）同一时刻的太阳光下，身高1.6米的小颖同学在地面上的影长为0.4米，学校的科技楼在同一水平地面上的影长为4米，科技楼的实际高度为（　　）米 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：设科技楼的实际高度为米，由题意，得：， 解得：； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行投影性质和位似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的位似性质、位似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键．与是位似图形，求出相似比，再根据面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】由平行投影可知，与是位似图形， ， 与的位似比为， ， ， ， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·广东清远·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2)已知小军的身高为米，求建筑物的高． 【答案】(1)①平行；②； (2)建筑物的高为15米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用-平行投影问题． （1）①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影，物体在灯光的照射下形成的影子是中心投影； ②太阳光是平行光线，则； （2）证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】（1）解：①物体在太阳光的照射下形成的影子是平行投影． 故答案为：平行； ②太阳光是平行光线，则． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴建筑物的高为15米． 题型三 正投影的概念及特点 解｜题｜技｜巧 正投影是平行且垂直于投影面的光线所形成的投影，其最大特点是能真实反映物体形状与尺寸． 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【分析】本题考查正投影，根据正投影的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意； 故选B． 【变式1】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正投影即投影线垂直于顶面产生的投影，据此直接选择即可． 【详解】光线由上向下照射，此正五棱柱的正投影是 故选：B． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键此五棱柱的正投影与顶面的形状大小完全相同． 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正投影，解直角三角形，过B作于点C，利用锐角三角函数求出的长即可． 【详解】解：过点B作于点C， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 题型四 视点、视角与盲区 解｜题｜技｜巧 解决视点、视角与盲区类问题的关键是：构造相似三角形模型，利用几何关系求解未知量。 【典例1】如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 【变式1】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 【变式2】某一时刻，高15 m的甲物体在太阳光下的影长为30 m，离甲物体10 m远有一乙物体(在甲物体影子方向上)．若看不到乙物体的影子，则乙物体的高度(    ) A．等于10 m B．小于10 m C．大于或等于10 m D．小于或等于10 m 【答案】D 【分析】若甲刚好看不到乙物体的影子，则甲的顶端、乙的顶端和乙影子的顶端在一条直线上，此时两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例即可得到结论． 【详解】若甲刚好看不到乙物体的影子，则甲的顶端、乙的顶端和乙影子的顶端在一条直线上．如图，设甲物体为AB，乙物体为CD．由题意可得：AB=15，BD=10．设CD=x，则DE=2x． ∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴AB：BE=CD：DE，∴15：BE=x：2x，解得：BE=30． ∵BE=BD+DE，∴30=10+2x，解得：x=10．故乙物体的最大高度为10m． 故选D． 【点睛】本题考查了视角和盲区以及相似三角形的判定与性质的应用．解题的关键是确定甲刚好看不到乙物体的影子，则甲的顶端、乙的顶端和乙影子的顶端在一条直线上． 题型五 判断简单几何体的三视图 解｜题｜技｜巧 由三视图判断几何体时，应先根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，再综合整体结构进行还原. 【典例1】（24-25九年级上·广东·期末）如图所示，几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图．根据几何体，俯视图为矩形中间有一条实线，找出对应选项即可． 【详解】解：由几何体可知，俯视图为矩形中间有一条实线， 只有选项B符合题意， 故选：B． 【变式1】榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的左视图为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三视图．根据左视图的定义，结合图形判断即可，实物中存在的线条，视图中无法看到的用虚线表示． 【详解】 解：卯的左视图为． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，下列立体图形中，主视图与左视图不相同的是（   ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据几何体的三视图逐项判断解答． 【详解】解：∵长方体的主视图和左视图都是长方形，但形状不同，∴A符合题意； ∵正方体的左视图与主视图均为以正方体棱长为边长的正方形，∴B不符合题意； ∵圆柱体左视图和主视图为相同的矩形，∴C不符合题意； ∵球的左视图与主视图均为以球半径为半径的圆，∴D不符合题意； 故选：A． 题型六 判断简单组合体的三视图 解｜题｜技｜巧 牢记三视图投影口诀： 主视图与俯视图——长对正；主视图与左（侧）视图——高平齐；俯视图与左（侧）视图——宽相等． 【典例1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：B． 【变式1】笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体上面看到的图形即可解答，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：从物体上面看到的图形是： 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，下列不是该几何体的三视图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据该几何体的三视图逐一判断即可． 此题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是能正确区分几何体的三视图． 【详解】解：A、该图是左视图，故此选项不合题意； B、该图不是几何体的三视图，故此选项符合题意； C、该图是主视图，故此选项不合题意； D、该图是俯视图，故此选项不合题意； 故选：B． 题型七 判断非实心几何体的三视图 解｜题｜技｜巧 判断非实心几何体的三视图，关键是结合“长对正、高平齐、宽相等”的三视图规律，并准确识别被遮挡部分用虚线表示的结构特征． 【典例1】（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．根据从左面看到的图形是左视图可得答案． 【详解】解：该几何体的左视图为一个长方形，长方形的中间有2条横向的虚线． 故选：D． 【变式1】如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线． 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 【变式2】一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示．则此圆柱体钢块的主视图可能是下列选项中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形．几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 【详解】解：此圆柱体钢块的主视图可能是：    故选：C． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，画三视图时注意“长对正，宽相等，高平齐”，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线． 题型八 已知已知一中或两种视图，判断其它视图 解｜题｜技｜巧  已知一种或两种视图时，可通过空间想象 + 投影对应 + 线面分析法准确判断其他视图，关键在于抓住“形状特征视图”和“位置特征视图”，并利用辅助线框定位结构. 【典例1】某几何体的主视图如图所示，它的左视图不可能的是(        ) 主视图 A．B． C． D． 【答案】A 【分析】从主视图左边看即可大概估计左视图． 【详解】从主视图左边看，左视图至少有一列有两行，故它的左视图不可能的是A． 故选：A． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 【变式1】如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体的主视图和俯视图，再结合选项中左视图判断正方体的个数，即可得出结论． 【详解】解：∵俯视图中有5个正方形， ∴最底层有5个正方体， A、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有2个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； B、由主视图和左视图可得，第2层有2个正方体，第3层有1个正方体，故共有（个）正方体，故此选项不可能是几何体的左视图，符合题意； C、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； D、由主视图和左视图可得，第2层最多有4个正方体，第3层有1个正方体，故可能共有（个）正方体，故此选项可能是几何体的左视图，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图是一个正五棱柱的主视图和左视图，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据主左视图，画出俯视图，判断即可． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选A． 题型九 画简单几何体的三视图 解｜题｜技｜巧 画简单几何体的三视图的方法主要掌握正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球等简单几何体的三视图． 【典例1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个几何体如图水平放置，画出它的三视图． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据几何体画出三视图即可，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：画三视图如下： 【变式1】2023年9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行．在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．      【答案】见解析 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图，据此作答即可． 【详解】解：如图所示，即为所求．    【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了作几何体的三视图，通过从正面、侧面和上方三个不同角度观察几何体，绘制相应的视图即可 【详解】解：三视图如图所示： 题型十 画简单组合体的三视图 解｜题｜技｜巧 画简单组合体的三视图主要有拼接和挖去两种形式，并明确三视图之间的关系，如几何体的长对应正视图、俯视图的长；几何体的宽对应俯视图的高、侧视图的长；几何体的高对应正视图、侧视图的高（可记住主俯定长，俯左定宽，主左定高的小口诀）． 【典例1】（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）画出如图所示组合体的三视图 【答案】画图见解析． 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据三视图的定义即可求解，熟练掌握三视图的定义，会看得出三视图是解题的关键． 【详解】如图， 【变式1】画出图中几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了组合几何体（圆锥与圆柱组合）三视图的画法，解题的关键是掌握圆柱、圆锥的三视图特征，以及组合体中两几何体视图的对齐关系（底面重合时视图对应边相等且对齐）．根据圆锥与圆柱的组合体特征作三视图即可． 【详解】解：该几何体由下方圆柱、上方圆锥（底面与圆柱上底面重合）组成，其三视图画法如下：   【变式2】图中的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，画出图中几何体的三种视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”． 根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形即可． 【详解】解：该几何体的主视图、左视图和俯视图，如图所示： 题型十一 画小立方体堆砌图形的三视图 解｜题｜技｜巧 画小立方体堆砌图形的三视图 关键在于掌握“主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等”9，并通过俯视图定位、主视图定高、左视图校验的方法综合分析，尤其在还原或计数问题中需结合多视图信息进行交叉验证． 【典例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．根据三视图的作法，画图即可． 【详解】解：这个组合体的三视图如图所示： 【变式1】如图是由8个小正方体搭成的几何体．请在对应网格中画出从正面、左面和上面看该几何体得到的形状图． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了作图-三视图，用到的知识点为：主视图，左视图与俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．主视图从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1；左视图从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；俯视图从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1；依此画出图形即可． 【详解】解：如图所示． 【变式2】如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)图中有 块小正方体； (2)请在方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图． 【答案】(1)6 (2)见解析 【分析】（1）根据图形中所摆放的情况可以得出小立方体的个数； （2）按照三视图的画法，分别画出从正面、左面、上面看所得到的图形即可． 本题考查了简单组合体的三视图和组合几何体的构成，熟练掌握知识点并发挥空间想象能力是解题的关键． 【详解】（1）解：图中有6块小正方体； （2）如图所示： 题型十二 由三视图还原几何体 解｜题｜技｜巧 (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 【典例1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三视图还原几何体，掌握三视图的定义成为解题的关键． 根据三视图进行判断即可． 【详解】解：由三视图可知：几何体的下部分是圆柱体，上部分是圆锥体，且圆柱和圆锥的底面直径相等． 故选D． 【变式1】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，根据几何体的三视图判断即可，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】 解：由几何体的三视图可知，这个几何体是 故选：． 【变式2】如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【详解】此题考查了简单几何体的三视图，根据三视图还原几何体的形状即可． 解：这个几何体是： ． 故选：B． 题型十三 由三视图求边长 解｜题｜技｜巧 由三视图求边长的关键是利用“长对正、高平齐、宽相等”的投影关系，结合几何体结构特征（如垂直、对称）还原立体图形，再通过勾股定理或三角函数计算未知边长． 【典例1】如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先画出俯视图，利用主视图与左视图，求出边长AB，构造三角形ABC与三角形ABE，利用三角函数解直角三角形即可 【详解】由正六棱柱的主视图和左视图，得俯视图如图，标注字母如图， 由主视图可得到正六棱柱的最长的对角线长BD是6，BF==3，则边长AB为3， 连AC交BD于E，则AC⊥BD， 由左视图得AE=CE=x， 在△ABC中，AB=BC=3，∠ABC=120°， ∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=3， ∴BE=，AE=AB•cos30°=， 即x=． 故选择：D. 【点睛】本题考查了正六棱柱的三视图，掌握三视图中俯视图的画法，利用主视图与左视图画出准确的俯视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，可将其转化到直角三角形中解答．培养了学生的空间想象能力． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了已知三视图求边长，解直角三角形的相关计算等知识点，根据题意得出是解题的关键． 根据三视图的对应情况可以得出，中上的高即为的长，进而通过解直角三角形即可求出． 【详解】解：如图，过点E作于点Q， 由题意可知：， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．从顶点作出高线，标注各点，即为水面所在圆的半径，根据水面与容器底面平等，利用相似三角形对应边成比例求出的长即可． 【详解】解：标注主视图各点为A、B、C，作于点D，交水面线段于点E，水面线段交于点F，如图，由题意得，， ∵是圆锥容器的主视图， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是的垂直平分线，cm， ∵水面与容器底面平等，即， ∴， ∴，即为水面所在圆的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即上水面所在圆的直径长为6cm， 故选：A． 题型十四 已知三视图求侧面积或表面积 解｜题｜技｜巧 几何体的表面积，解题的关键从几何体哪几个面来计算出表面积. 【典例1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图①是一个几何体，图②是小星所画的这个几何体的三视图，但左视图和俯视图不完整． (1)请帮小星补全三视图； (2)按图中所标出的数据，求出该几何体的底面积． 【答案】(1)见解析； (2)该几何体的底面积为28． 【分析】本题考查三视图、几何体的侧面展开图等知识，理解三视图的定义是解答的关键． （1）根据三视图，看得见的棱画实线即可解决问题； （2）根据俯视图，求出长方形的面积即可． 【详解】（1）解：补全三视图如图， （2）解：由题意得，俯视图如图， ∴该几何体的底面积为． 【变式1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图是一个几何体的三种视图． (1)这个几何体的名称是________； (2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及圆柱的侧面积公式． （1）根据俯视图和左视图可以判断出该几何体是柱体，根据主视图判断为圆柱； （2）根据圆柱的底面直径和高，再利用圆柱的侧面积公式计算即可； 【详解】（1）解：根据三视图即可得出该几何体是圆柱， 故答案为：圆柱． （2）解：由图可知，圆柱的底面圆的直径是4，高为6， 则圆柱的侧面积为：． ∴这个几何体的侧面积为． 【变式2】某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ (2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； (3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 【答案】(1)正六棱柱 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识； （1）根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱； （2）根据正六棱柱的特征在图2中补全它的表面展开图； （3）根据其表面积是六个面的面积加上两个底的面积，从而得出答案． 【详解】（1）解：根据该几何体的三视图知道它是一个正六棱柱． 故答案为：正六棱柱． （2）六棱柱的表面展开图如 （3）由图中数据可知：六棱柱的高为，底面边长为， 六棱柱的侧面积为． 如图，设圆心为，连接，，作于点， ； ∴ ∴密封纸盒的底面面积为：， 六棱柱的表面积为． 题型十五 求小立方体堆砌图形的表面积 解｜题｜技｜巧 小立方体堆砌图形是由若干个相同大小的小正方体（通常边长为1）按照一定规则堆叠而成的立体图形。这类问题常见于小学或初中数学的空间几何题中，目标是求整个组合体的表面积。关键在于：不能简单地将所有小立方体的表面积相加，因为相邻的小立方体之间会有面被“隐藏”或“粘合”，这些面不计入总表面积。 【典例1】下图是由大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别画出这个几何体的主视图与左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)见详解 (2)它的体积为，它的表面积为． 【分析】本题主要考查了画主视图与左视图，以及求几何体的体积和表面积． （1）根据从正面看和从左面看分别画出主视图与左视图即可． （2）先算出小立方块的数量，即可得出几何体的体积，再计算出体积和表面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：从正面看和从左面看的图如下所示： （2）解：一共有小立方块数为：个， ∴该几何体的体积为， 该几何体的表面积为： 【变式1】如图所示的几何体，由4个大小相同的小正方体构成． (1)下面五个平面图形中有三个是从三个方向看到的图形，把看到的图形与正确的观测位置连接起来； (2)已知小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平面图形，以及求几何体的表面积，掌握主视图、左视图、俯视图是从哪个角度所得到的图形是解题的关键． （1）根据从物体不同方向看图的定义求解； （2）几何体的表面积为三视图图形面积和的2倍求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积是：． 【变式2】如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积（包括底部）为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，求几何体的表面积； （1）根据三视图的画法直接画图即可． （2）根据几何体的形状得出其表面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， （2）这个几何体的表面积为． 故答案为：. 题型十六 已知三视图求体积 解｜题｜技｜巧 已知三视图求体积的关键技巧是结合空间想象与简化公式，优先判断几何体类型（如柱体、锥体），再选用还原法、切割法或直接套用面积×高公式快速求解. 【典例1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图是一个长方体的三视图（单位：），这个长方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可．根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，然后根据其体积公式进行计算即可． 【详解】解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体， 依题意可求出该几何体的体积为． 答：这个长方体的体积是． 故选择：C． 【变式1】已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三视图确定圆锥的底面半径和高，然后利用圆锥的体积计算公式求得答案即可． 【详解】解：观察三视图得：圆锥的底面半径为，高为， 所以圆锥的体积为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆锥的三视图，圆的面积公式，根据主视图与左视图得到圆锥的底面直径是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图1是一个几何体，图是该几何体的不完整的三视图． (1)请将三视图补画完整； (2)根据该几何体三视图中标注的数据，计算该几何体的体积． 【答案】(1)画图见解析 (2) 【分析】（）根据几何体补画三视图即可； （）结合三视图求出几何体的体积即可； 本题考查了几何体的三视图，几何体的体积，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：补画三视图如下： （2）解：该几何体的体积为：． 题型十七 求几何体视图的面积 解｜题｜技｜巧 根据“长对正、高平齐、宽相等”的原则，从三视图中提取出几何体各部分的长、宽、高、半径等关键数据. 【典例1】（23-24九年级上·山西运城·期末）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是（   ）    A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提． 根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为，设，由求出的值，进而确定，即可解答． 【详解】解：过点A作，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为，设，    ， ∵，， 解得， ∴， 则 ∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2． 故选：D． 【变式1】（22-23九年级上·河北廊坊·期末）一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：），则其俯视图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据主视图与左视图可得此长方体的俯视图是长宽分别为和的长方形，即可求出其面积． 【详解】解：根据主视图与左视图可得，此长方体的俯视图是长宽分别为和的长方形， 俯视图的面积， 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，根据题意得出俯视图的长与宽是解题关键． 【变式2】由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查三视图，根据左视图的定义画出左视图即可． 【详解】解：组合体的左视图为： 左视图的面积为， 故选：C． 题型十八 由三视图，判断小立方体的个数 解｜题｜技｜巧 正视图（从前向后看）：显示物体的高度和长度； 俯视图（从上向下看）：显示物体的长度和宽度； 左视图或侧视图（从左向右看）：显示物体的高度和宽度。 通过这三个视图的信息，可以还原出立体图形的大致结构，从而推断组成该立体图形的小立方体个数． 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）如图是由若干个相同的小立方体搭成的物体的三视图，则组成这个物体的小立方体的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是由三视图判断几何体的个数的知识．由主视图知有3列，再根据左视图和俯视图确定每个位置的个数． 【详解】解：如图所示： 所以小正方体的个数为：个． 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．根据从左面看得到的图形是左视图，可得从左面看左边是2层小正方形，右边是3层小正方形，即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，该几何体的左视图是： 故选：B． 【变式2】如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，请你画出它的主视图和左视图． 【答案】见解析 【分析】主视图有有4列，每列小正方形的数目分别是1，2 ，3，2，左视图有两列，每列小正方形的个数分别是3，2，根据此画出图形即可． 【详解】 解：如图所示：． 【点睛】本题考查了三视图的知识，解题关键在于画几何体的三视图时应注意小正方体的数目及位置． 题型十九 已知由三视图求最多或最少的小立方块的个数 解｜题｜技｜巧 由三视图确定小立方体个数时，关键是利用“俯视图填数法”：以俯视图为地基，结合主视图和左视图标注每格可能的高度，再根据“取大为多、取小为少”的原则计算最值. 【典例1】（23-24九年级上·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，在俯视图小正方形上标记主视图两列的个数，再分析即可． 【详解】解：综合俯视图和主视图，可得下图： ∴这个几何体的右边一列有3个小正方体，左边一列两层都是2个小正方体时，组成这个几何体的小正方块最多， 所以组成这个几何体的小正方块最多有块． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数最少为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形，得底层最少有3个小立方体，第二层最少有2个小立方体． 【详解】解：综合主视图和俯视图，底层最少有3个小立方体，第二层最少有2个小立方体， 因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个． 故选：C． 【变式2】如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查从三个方向看几何体． （1）根据从三个方向看到的图形的画法画出相应的图形即可； （2）在从左面看的图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【详解】（1）解：如图： （2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 故答案为：1． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】本题考查平行投影，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，且平行物体的投影仍旧平行，即可得出结果． 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴投影后，矩形的影子的两组对应边仍然平行， ∵题中没说明阳光是从哪个角度射入， ∴影子为平行四边形； 故选A． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）某商场的休息椅如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图的识别，熟练掌握和运用三视图的识别方法是解决本题的关键．根据从正面看到的图形，即可判定． 【详解】 解：从正面观察这个休息椅，看到的形状为， 故选：D． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期末）深圳本土某乳制品品牌的“屋型”牛奶盒子如图所示，该立体图形的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何体的三视图．掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应体现在三视图中． 左视图是从物体的左边看，所得的图形．据此即可解答． 【详解】 解：根据题意可得：该立体图形的左视图是： 故选：C． 4．下面是由若干个小立方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则它的左视图不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．根据几何体的主视图与俯视图判断即可． 【详解】解：从主视图看，原来的几何体有2列，由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层最多有2个立方体，最少有1个立方体，则左视图可以有如选项A、C、D的三种情况． ∴它的左视图不可能是， 故选：B． 5．如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案． 【详解】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2， 则大圆面积为：，小圆面积为：， 故这个几何体的体积为：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确判断出几何体的形状是解题关键． 6．如图所示，是由8个完全相同的小正方体搭成的几何体．若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积是（    ） A．16 B．30 C．32 D．34 【答案】D 【分析】首先要数清这个组合体的表面是由几个正方形组成的，再乘以1个正方形的面积即可得到表面积． 【详解】解：这个组合几何体的表面积为：（5×2+5+6×2+2）×=34 故选：D． 【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 7．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原图形，求几何体的体积，由三视图知该几何体是圆柱与圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】解：由三视图可知原图为圆锥和圆柱的组合体， ∴体积是， 故选C． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的表面积，能用a，b，c表示出三个图中几何体的表面积及巧用整体思想是解题的关键．根据图1和图2的表面积，可得出关于a，b，c的两个等式，再用a，b，c表示出图3的表面积，利用整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知，设图1中，相邻三个面面积分别为a，b，c， 因为图1的表面积为， 所以， 则①． 因为图2的表面积为， 所以， 则②． 由①②得， ． 又因为图3的表面积可表示为， 则． 故选：C． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25九年级上·广东深圳·期末）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 【答案】3 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 10．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，平行线的性质，证明是解题的关键．根据平行投影得，可得，易证，最后根据相似三角行的性质可知即可求解． 【详解】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 米 故答案为：12． 11．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多是 　 . A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】7． 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．根据三视图的知识，俯视图是由4个小正方形组成，而左视图是由3个小正方形组成，故这个几何体的底层有4个小正方体，第2层最多有3个小正方体． 【详解】解：根据左视图和俯视图，这个几何体的底层有个小正方体， 第二层最多有个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有个． 如图， 故答案为7． 12．如图是由10个大小相同的小立方块搭成的几何体，在保持从正面看和从左面看得到的平面图形不变的情况下，最多可以拿掉 　 个小立方块． 【答案】1． 【分析】保持从正面看和从左面看到的形状图不变，可在第二列前面的几何体中拿掉一个小正方体． 【详解】解：如图所示： 在保持从正面看和从左面看到的形状图不变的情况下，最多可以拿掉1个小立方块． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了三视图，正确掌握不同视图的观察角度是解题关键． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量．如图，她在地面上的点处竖立一根长为4.5米的标杆，此时发现标杆与塔在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，已知、、三点在一条直线上，，，用测距仪测得米． (1)请在图中画出标杆与塔在太阳光下的影子末端； (2)若测得此刻米，请你求出信号塔的高度． 【答案】(1)见解析 (2)45米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质． （1）利用中心投影的性质画出图形； （2）证明得，再代值计算即可得的值． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求， （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 答：信号塔的高度的长为45米． 14．下图是由大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别画出这个几何体的主视图与左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)见详解 (2)它的体积为，它的表面积为． 【分析】本题主要考查了画主视图与左视图，以及求几何体的体积和表面积． （1）根据从正面看和从左面看分别画出主视图与左视图即可． （2）先算出小立方块的数量，即可得出几何体的体积，再计算出体积和表面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：从正面看和从左面看的图如下所示： （2）解：一共有小立方块数为：个， ∴该几何体的体积为， 该几何体的表面积为： 15．如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型最确切的名称是____________； (2)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 【答案】(1)直三棱柱 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解题的关键是理解立体图形和平面图形之间的关系． （1）根据展开图即可得出结果； （2）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图； （3）根据俯视图和主视图即可求的值，进而可求该几何体的表面积； 【详解】（1）解：该几何体展开图的上下底面都是三角形，侧面都是矩形， 该几何体是直三棱柱； （2）如图所示，图中的左视图即为所求； （3）解：根据俯视图和主视图可知：， ∴， ∴， ∴， ∴表面积为()， 答：该几何体的表面积为 ． 16．如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三视图． (2)堆成该几何体需要__________块小正方体． (3)该几何体的表面积（含下底面）为__________． 【答案】(1)画图见解析 (2)10 (3)38 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是解题的关键． （1）根据几何体的三视图画法，即可求解， （2）将每层的三列小正方体数量相加，再求和，即可求解 （3）先求出每个小正方体的表面积，再减掉小正方体相互接触的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：一层小正方体数量：， 二层小正方体数量：， 三层小正方体数量：， 全部小正方体数量：， 故答案为：10， （3）解：一个小正方体的表面积：， 全部小正方体的表面积：， 图中小正方体相互接触的面积：， 该几何体的表面积：， 故答案为：38． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 投影与视图 （期末复习讲义） 核心考点 对应复习目标 对应考情规律 1. 投影的相关概念 能区分平行投影和中心投影，理解正投影的含义，能识别不同投影的形成条件 选择题、填空题基础考点，常结合生活场景（如太阳光、灯光下的影子）考查区分，难度低. 2. 物体的三视图 能准确判断简单几何体（正方体、圆柱、圆锥等）的三视图，掌握三视图的绘制规则 选择题、填空题高频考点，偶尔会出现简单的作图题，难度中等. 3. 由三视图还原几何体 能根据三视图还原常见几何体，能结合数据计算几何体的棱长、表面积和体积 选择题、填空题、解答题均有涉及，常与正方体的展开图、几何体的体积计算结合，难度中等偏上. 4. 投影与视图的实际应用 能运用投影知识解决实际测高问题，能根据三视图判断物体的实际形状和摆放情况 选择题、填空题偶考，联系生活实际场景，难度中等. 知识点01投影、投射线、投影面的概念 ◆1、物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影.这时，光线叫做投射线，投影所在的平面叫做投影面. 知识点02 中心投影 ◆中心投影的定义：若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　 （2）)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 知识点03 平行投影 ◆1.平行投影的定义：由平行的投射线所形成的投影叫做平行投影. ◆2.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： （1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　 （2）等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. ◆3.物高与影长的关系 在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　【注意】利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. ◆4.平行投影与中心投影的区别与联系 平行投影 中心投影 区 别 光源 太阳等 点光源（灯泡等） 投射线 投射线是平行的 投射线是从一点发出的，不是平行的 投影 同一时刻、同一地点，影子的长度与物体的高度成比例，所有物体的投影在同一方向. 影子的长度与物体的高度不一定成比例，不同物体的投影可能在同一方向，也可能在不同方向. 联 系 （1）都是物体在投射线下形成的投影； （2）若投射线一定，投影随着物体位置的变化而变化； （3）影子的长度与物体的高度（长度）有关； （4）当物体与投影面平行时，物体和投影的形状相同. ◆5.平行投影与图形的相似紧密相关；中心投影与图形的位似紧密相关. 知识点04 正投影 ◆1.正投影：在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影就称为正投影.如图所示.（正投影只要求投射线与投影面是垂直的，与物体的位置无关），正投影是特殊的平行投影. 知识点05三视图的概念 ◆1.三视图：分别是主视图、俯视图、左视图. （1）主视图：物体在正投影面上的正投影叫做主视图（产生主视图的投射线方向也叫做主视方向）； （2）俯视图：物体在水平投影面上的正投影叫做俯视图； （3）左视图：物体在侧投影面上的正投影叫做左视图. 知识点06三视图的画法 ◆1. “长对正、高平齐、宽相等”是画三视图必须遵守的法则.在画三视图时，我们一般先选择主视方向，画出主视图，再把左视图画在主视图的右边，把俯视图画在主视图的下方. ◆2. 画三视图的具体步骤如下： （1）确定主视图的位置,画出主视图；（主视图反映物体的长和高） （2）在主视图的正下方画出俯视图,注意与主视图“长对正”；（俯视图反映物体的长和宽） （3）在主视图的正右方画出左视图,注意与主视图“高平齐”,与俯视图“宽相等”.（左视图反映物体的高和宽） 【注意】 轮廓线需要在三视图中体现，看得见的画成实线，看不见的画成虚线. 知识点07 由三视图描述几何体 由三视图描述几何体（或实物模型），一般先根据各视图想象从各个方向看到的几何体形状，然后综合起来确定几何体（或实物模型）的形状，再根据三个视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置以及各个方向的尺寸. 题型一 中心投影的概念及特点 解｜题｜技｜巧 当涉及影长计算时，通常构造两个相似三角形：三角形1：光源、物体顶部、物体底部;三角形2：光源、影子顶端、物体底部 【典例1】（24-25九年级下·湖南长沙·期末）下列光源所形成的投影不是中心投影的是（    ） A．手电筒 B．蜡烛 C．太阳 D．台灯 【变式1】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，笔直的水平公路上有一盏10米高的路灯．晚上欢欢站在位置的影子和站在位置的影子相比（　　） A．在位置的影子长些 B．在位置的影子长些 C．在位置和的影子一样长 D．在位置和的影子谁长无法确定 【变式2】（24-25九年级上·河北衡水·期末）如图．在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（  ）    A．1.8 B．6 C．5 D．4 【变式3】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 题型二 平行投影的概念及特点 解｜题｜技｜巧 平行投影是在平行光线照射下形成的影子，其核心特点是同一时刻物高与影长成正比，且影子方向一致。掌握这一规律是解题的关键. 【典例1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）下列四幅图形中，表示同一时刻、同一地点的两棵小树在阳光下的影子的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·河南焦作·期末）同一时刻的太阳光下，身高1.6米的小颖同学在地面上的影长为0.4米，学校的科技楼在同一水平地面上的影长为4米，科技楼的实际高度为（　　）米 A．13 B．14 C．15 D．16 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广东清远·期末）小军和小文利用阳光下的影子来测量一建筑物的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为20米，小军的影长为米，其中O、C、F、G四点在同一直线上，且，． (1)①图中阳光下的影子属于______投影； ②线段与线段之间的位置关系为______． (2) 已知小军的身高为米，求建筑物的高． 题型三 正投影的概念及特点 解｜题｜技｜巧 正投影是平行且垂直于投影面的光线所形成的投影，其最大特点是能真实反映物体形状与尺寸． 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【变式1】一个正五棱柱如下图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，是线段在投影面上的正投影，已知，，则投影的长为（   ） A． B． C． D． 题型四 视点、视角与盲区 解｜题｜技｜巧 解决视点、视角与盲区类问题的关键是：构造相似三角形模型，利用几何关系求解未知量。 【典例1】如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【变式2】某一时刻，高15 m的甲物体在太阳光下的影长为30 m，离甲物体10 m远有一乙物体(在甲物体影子方向上)．若看不到乙物体的影子，则乙物体的高度(    ) A．等于10 m B．小于10 m C．大于或等于10 m D．小于或等于10 m 题型五 判断简单几何体的三视图 解｜题｜技｜巧 由三视图判断几何体时，应先根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，再综合整体结构进行还原. 【典例1】（24-25九年级上·广东·期末）如图所示，几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【变式1】榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的左视图为（　　）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·全国·期末）如图，下列立体图形中，主视图与左视图不相同的是（   ） A．长方体 B．正方体 C．圆柱 D．球 题型六 判断简单组合体的三视图 解｜题｜技｜巧 牢记三视图投影口诀： 主视图与俯视图——长对正；主视图与左（侧）视图——高平齐；俯视图与左（侧）视图——宽相等． 【典例1】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【变式1】笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东临沂·期末）一个由圆柱和长方体组成的几何体如图水平放置，下列不是该几何体的三视图的是（   ） A． B． C． D． 题型七 判断非实心几何体的三视图 解｜题｜技｜巧 判断非实心几何体的三视图，关键是结合“长对正、高平齐、宽相等”的三视图规律，并准确识别被遮挡部分用虚线表示的结构特征． 【典例1】（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，将一个长方体内部挖去一个圆柱，这个几何体的主视图是（    ） A．B． C． D． 【变式2】一个圆柱体钢块，正中央被挖去了一个长方体孔，其俯视图如图所示．则此圆柱体钢块的主视图可能是下列选项中的（    ）    A．   B．   C．   D．   题型八 已知已知一中或两种视图，判断其它视图 解｜题｜技｜巧  已知一种或两种视图时，可通过空间想象 + 投影对应 + 线面分析法准确判断其他视图，关键在于抓住“形状特征视图”和“位置特征视图”，并利用辅助线框定位结构. 【典例1】某几何体的主视图如图所示，它的左视图不可能的是(        ) 主视图 A．B． C． D． 【变式1】如图，是由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体的左视图不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一个正五棱柱的主视图和左视图，该几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 题型九 画简单几何体的三视图 解｜题｜技｜巧 画简单几何体的三视图的方法主要掌握正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球等简单几何体的三视图． 【典例1】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）一个几何体如图水平放置，画出它的三视图． 【变式1】2023年9月23日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行．在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．      【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图． 题型十 画简单组合体的三视图 解｜题｜技｜巧 画简单组合体的三视图主要有拼接和挖去两种形式，并明确三视图之间的关系，如几何体的长对应正视图、俯视图的长；几何体的宽对应俯视图的高、侧视图的长；几何体的高对应正视图、侧视图的高（可记住主俯定长，俯左定宽，主左定高的小口诀）． 【典例1】（23-24九年级上·辽宁阜新·期末）画出如图所示组合体的三视图 【变式1】画出图中几何体的三视图． 【变式2】图中的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，画出图中几何体的三种视图． 题型十一 画小立方体堆砌图形的三视图 解｜题｜技｜巧 画小立方体堆砌图形的三视图 关键在于掌握“主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等”9，并通过俯视图定位、主视图定高、左视图校验的方法综合分析，尤其在还原或计数问题中需结合多视图信息进行交叉验证． 【典例1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图是由7个相同的小正方体组成的几何体．请在网格中画出图示几何体的三视图． 【变式1】如图是由8个小正方体搭成的几何体．请在对应网格中画出从正面、左面和上面看该几何体得到的形状图． 【变式2】如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体． (1)图中有 块小正方体； (2)请在方格纸中分别画出它的主视图，左视图和俯视图． 题型十二 由三视图还原几何体 解｜题｜技｜巧 (1)正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. (2)左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. (3)上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 【典例1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的形状为（　　） A． B． C． D． 【变式1】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图是一个几何体的三种视图，选项中箭头方向为主视方向，则这个几何体是（　　） A．B． C． D． 题型十三 由三视图求边长 解｜题｜技｜巧 由三视图求边长的关键是利用“长对正、高平齐、宽相等”的投影关系，结合几何体结构特征（如垂直、对称）还原立体图形，再通过勾股定理或三角函数计算未知边长． 【典例1】如图，是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中x的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东威海·期末）一个棱柱的三视图如图所示，若，．则的长为 ． 【变式2】（23-24九年级上·河北石家庄·期末）一个圆锥体容器的主视图如图1所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图2所示，则图2中，上水面所在圆的直径长为（   ） A．6cm B．3cm C．2cm D．1cm 题型十四 已知三视图求侧面积或表面积 解｜题｜技｜巧 几何体的表面积，解题的关键从几何体哪几个面来计算出表面积. 【典例1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期末）如图①是一个几何体，图②是小星所画的这个几何体的三视图，但左视图和俯视图不完整． (1)请帮小星补全三视图； (2)按图中所标出的数据，求出该几何体的底面积． 【变式1】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图是一个几何体的三种视图． (1)这个几何体的名称是________； (2)根据图中尺寸，计算这个几何体的侧面积．（结果保留） 【变式2】某工厂要加工一批上下底密封纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图1． (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ (2)根据该几何体的三视图，在图2中补全它的表面展开图； (3)请你根据图1中数据，计算这个密封纸盒的表面积．（结果保留根号） 题型十五 求小立方体堆砌图形的表面积 解｜题｜技｜巧 小立方体堆砌图形是由若干个相同大小的小正方体（通常边长为1）按照一定规则堆叠而成的立体图形。这类问题常见于小学或初中数学的空间几何题中，目标是求整个组合体的表面积。关键在于：不能简单地将所有小立方体的表面积相加，因为相邻的小立方体之间会有面被“隐藏”或“粘合”，这些面不计入总表面积。 【典例1】下图是由大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别画出这个几何体的主视图与左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，求该几何体的体积和表面积． 【变式1】如图所示的几何体，由4个大小相同的小正方体构成． (1)下面五个平面图形中有三个是从三个方向看到的图形，把看到的图形与正确的观测位置连接起来； (2)已知小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 【变式2】如图，是由几个大小相同的小正方体搭建的几何体． (1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图； (2)若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积（包括底部）为______． 题型十六 已知三视图求体积 解｜题｜技｜巧 已知三视图求体积的关键技巧是结合空间想象与简化公式，优先判断几何体类型（如柱体、锥体），再选用还原法、切割法或直接套用面积×高公式快速求解. 【典例1】（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图是一个长方体的三视图（单位：），这个长方体的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知一个圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·贵州毕节·期末）如图1是一个几何体，图是该几何体的不完整的三视图． (1)请将三视图补画完整； (2)根据该几何体三视图中标注的数据，计算该几何体的体积． 题型十七 求几何体视图的面积 解｜题｜技｜巧 根据“长对正、高平齐、宽相等”的原则，从三视图中提取出几何体各部分的长、宽、高、半径等关键数据. 【典例1】（23-24九年级上·山西运城·期末）某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是（   ）    A． B． C．4 D．2 【变式1】（22-23九年级上·河北廊坊·期末）一个长方体的主视图和左视图如图所示（单位：），则其俯视图的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】由若干个棱长都为的小正方体组合而成的几何体如图所示，其左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十八 由三视图，判断小立方体的个数 解｜题｜技｜巧 正视图（从前向后看）：显示物体的高度和长度； 俯视图（从上向下看）：显示物体的长度和宽度； 左视图或侧视图（从左向右看）：显示物体的高度和宽度。 通过这三个视图的信息，可以还原出立体图形的大致结构，从而推断组成该立体图形的小立方体个数． 【典例1】（24-25九年级下·全国·期末）如图是由若干个相同的小立方体搭成的物体的三视图，则组成这个物体的小立方体的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（23-24九年级上·四川成都·期末）如图是由几块小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图是由一些相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，请你画出它的主视图和左视图． 题型十九 已知由三视图求最多或最少的小立方块的个数 解｜题｜技｜巧 由三视图确定小立方体个数时，关键是利用“俯视图填数法”：以俯视图为地基，结合主视图和左视图标注每格可能的高度，再根据“取大为多、取小为少”的原则计算最值. 【典例1】（23-24九年级上·河北衡水·期末）一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与主视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数最少为（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，在太阳光照射下，矩形窗框（矩形窗框所在平面与地面垂直）在地面上的影子常常是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）某商场的休息椅如图所示，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期末）深圳本土某乳制品品牌的“屋型”牛奶盒子如图所示，该立体图形的左视图是（    ） A． B． C． D． 4．下面是由若干个小立方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则它的左视图不可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是一个由铁铸灌成的几何体的三视图，根据图中所标数据，铸灌这个几何体需要的铁的体积为（    ） A．B． C．D． 6．如图所示，是由8个完全相同的小正方体搭成的几何体．若小正方体的棱长为1，则该几何体的表面积是（    ） A．16 B．30 C．32 D．34 7．某几何体的三视图如图所示，则其体积是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）小鑫正对相同的长方体快递盒进行包装，如图1单个盒子的表面积为，如图2三个盒子叠一起的表面积为，则如图3四个盒子叠一起的表面积是（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（24-25九年级上·广东深圳·期末）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 10．某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则 米． 11．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多是 　 . A．7 B．6 C．5 D．4 12．如图是由10个大小相同的小立方块搭成的几何体，在保持从正面看和从左面看得到的平面图形不变的情况下，最多可以拿掉 　 个小立方块． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方，于是她决定利用太阳光线来进行测量．如图，她在地面上的点处竖立一根长为4.5米的标杆，此时发现标杆与塔在太阳光下的影子末端恰好重合于地面上的点处，已知、、三点在一条直线上，，，用测距仪测得米． (1)请在图中画出标杆与塔在太阳光下的影子末端； (2)若测得此刻米，请你求出信号塔的高度． 14．下图是由大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请分别画出这个几何体的主视图与左视图； (2)若每个小立方块的棱长为，求该几何体的体积和表面积． 15．如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型． (1)这个几何体模型最确切的名称是____________； (2)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图； (3)在（2）的条件下，已知，求该几何体的表面积． 16．如图是由一些棱长为单位1的相同的小正方体堆成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三视图． (2)堆成该几何体需要__________块小正方体． (3)该几何体的表面积（含下底面）为__________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $