16章 乘法公式（完全平方公式变形专项练习） 2025-2026学年人教版八年级上册数学

完全平方公式变形专练 题型 1：已知 x + y 和 xy ，求 x - y 或 1.已知 x + y = 5 ， xy = 6 ，求：（1） ；（2） x - y 的值。 2.已知 x + y = -3 ， xy = 2 ，求：（1） ；（2） (x - 的值。 3.已知 x + y = 2 ， xy = -15 ，求：（1） (x - ；（2） 的值 4.已知 x + y = -5 ， xy = -3 ，求：（1） ；（2） (x - 的值。 5.已知 x + y = 10 ， xy = 21 ，求：（1） ；（2） (x - 的值。 题型 2：已知 x - y 和 xy ，求 x + y 或 1.已知 x - y = 2 ， xy = 3 ，求：（1） ；（2） x + y 的值。 2.已知 x - y = -4 ， xy = 5 ，求：（1） ；（2） (x + 的值。 3.已知 x - y = 5， xy = 4，求：（1） (x + ；（2） xy 的值。 4.已知 x - y =6， xy = ，求：（1） ；（2） (x + 的值。 5.已知 x - y = 6 ， xy = 16 ，求：（1） ；（2） x + y 的值 题型 3：已知 和 xy ，求 x + y 或 x - y 1.已知 ， xy = 6 ，求：（1） x + y ；（2） x - y 的值。 2.已知 ， xy = 12 ，求：（1） (x + ；（2） x - y 的值。 3.已知 ， xy = -8 ，求：（1） x + y ；（2） (x - 的值。 4.已知 ， xy = -15 ，求：（1） x + y ；（2） x - y 的值。 5.已知 ， xy = -2 ，求：（1） (x + ；（2） x + y 的值。 6.已知 ， xy = 8 ，求：（1） x + y ；（2） 的值 题型 4：拓展题型（含分式、字母系数等） 1.已知 a + ，求：（1） ；（2） a - 的值。 2.已知 b - ，求：（1） ；（2） b + 的值。 3.已知 m + ，求：（1） ；（2） 的值。 4.已知 2x + ，求：（1） ；（2） x - 的值 5.已知 （ x ），求：（1） x + ；（2） ；（3） x - 的值 2 学科网（北京）股份有限公司 完全平方公式变形专练（解析版） 核心公式回顾 完全平方公式核心变形（解题基础，必须熟记）： 2.(x - 3.(x + 4.分式变形： 题型 1：已知 x + y 和 xy，求 x - y 或 第 1 题（1）13；（2） 解析： 求 ：用变形公式 代入 x + y = 5，xy = 6： 求 x - y：先算 (x - ，再开方（x - 开方得 x - y = 易错点：求 x - y 时漏写正负号（平方数开方有两个互为相反数的结果）。 第 2 题（1）5；（2）1 解析： 求 ： 求 (x - ：直接用变形公式 (x - 易错点：负数平方计算错误 而非 -9）。 第 3 题（1）64；（2） 解析： 求 (x - ：（x - 求 ：先分解因式 ，由（1）知 x - y = ，故 易错点：忘记 的因式分解，直接硬算导致复杂出错；漏写 x - y 的正负号。 第4题（1）31；（2）31 解析： 求 ： 求 (x - ：化简式子 (x - ，直接用（1）的结果得 31 易错点：未发现式子可化简，直接计算 (x - 再加 2xy，增加计算量且易出错。 第 5 题（1）58；（2）-84 解析： 求 ： 求 (x - ：展开化简 ，代入 xy = 21 得 -4 易错点：展开式子时符号错误（如漏减 2xy 或误加 ）；未化简直接计算平方导致数值过大出错。 题型 2：已知 x - y 和 xy，求 x + y 或 第 1 题（1）10；（2） 解析： 求 ：用变形公式 求 x + y：先算 (x + ，开方得 x + y = 易错点：混淆公式误将 用 (x + 计算，导致无法直接代入）。 第 2 题（1）26；（2）36 解析： 求 ： 求 (x + ：（x + 易错点：负数平方计算错误 而非 -16）。 第 3 题（1）41；（2） 解析： 求 (x + ×4 = 25+ 16 = 41; xy==25+4=29 易错点：未检验数据合理性，直接开方导致错误；负号运算失误。 第 4 题（1）；（2） 解析： 求 ：× （2） (x + ² + y² - xy = 50-7=43 易错点：未发现式子化简规律，硬算 (x + 导致分数运算出错。 第5 题（1）1；（2）19 解析： 求 ：， 求 x + ：（x + ，故 x + =0. 题型 3：已知 和 xy，求 x + y 或 x - y 第 1 题（1）；（2） 解析： 求 x + y：用变形公式 (x + ×6 = 25，开方得 x + y = 求 x - y：（x - ×6 = 1，开方得 x - y = 易错点：混淆 “加 2xy” 和 “减 2xy” 的公式（求 x + y 需加 2xy，求 x - y 需减 2xy，易颠倒）。 第 2 题（1）49；（2） 解析： 求 (x + ：（x + ×12 = 49 求 x - y：（x - ×12 = 1，故 x - y = 易错点：直接用 xy 计算，未用标准变形公式。 第 3 题（1）；（2）33 解析： 求 x + y：（x + ×(-8) = 17 - 16 = 1，故 x + y = 求 (x - ：(x - ×(-8) = 17 + 16 = 33 易错点：负号运算失误（2×(-8) = -16，加这个数即 17 + (-16) = 1 易误算为 33）。 第 4 题（1）；（2） 解析： 求 x + y：（x + ×(-15) = 34 - 30 = 4，故 x + y = 求 x - y：(x - ×(-15) = 34 + 30 = 64，故 x - y = 易错点：多个负号叠加时计算混乱如 2×(-15) = -30，34 - (-30) = 64 易误算为 4）。 第 5 题（1）-8；（2） 解析： 求 (x + ：展开化简 (x² + 2xy + y²) - (x² - 2xy + y²) = 4xy，代入 xy = -2 得 4×(-2) = -8 求 x + y：(x + ×(-2) = 4，故 x + y = 易错点：展开式子时符号错误（漏减 2xy 导致结果为 0）；未化简直接计算平方。 第 6 题（1）；（2） 解析： az.求 x + y：（x + ×8 = 36，故 x + y = ba.求 x² - y²：分解因式 x² - y² = (x + y)(x - y），先算 (x - ×8 = 4 → x - y = ，故 x² - y² = 易错点：未先求 x - y，直接硬算 x² - y²；符号组合错误(+6)(+2)=12，(-6)(-2)=12，(+6)(-2)=-12，(-6)(+2)=-12，结果为 ）。 题型 4：拓展题型（含分式、字母系数等） 第 1 题（1）14；（2） 解析： 求 a² + ：用分式变形公式 a² + ，代入 a + :4² - 2 = 16 - 2 = 14 求 a - ：先算 ² - 2 + ，开方得 a - 易错点：忘记分式变形公式，直接通分计算导致复杂出错；根号化简不彻底。 第 2 题（1）11；（2） 解析： 求 b² + ：b² + 求 b + ：² + 2 + → b + 易错点：负数平方计算错误 而非 -9）。 第 3 题（1）23；（2）21 解析： 求 m² + ：m² + ² - 2 = 25 - 2 = 23 求 ： 易错点：混淆 “加 2” 和 “减 2”（分式平方展开后中间项是 ，易颠倒）。 第 4 题（1）2；（2） 解析： 先化简已知条件：2x + → 两边除以 2 得 x + 求 x² + ：x² + ² - 2 = 9 - 2 = 7，→ x - 易错点：未化简已知条件，直接代入 2x + 计算，导致式子复杂出错。 第 5 题（1）3；（2）7；（3） 解析： 求 x + ：已知 x² - 3x + 1 = 0（x� 0），两边除以 x 得 x - 3 + → 移项得 x + 求 x² + ：x² + ² - 2 = 9 - 2 = 7 求 x - ：→ 开方得 x - 易错点：想不到两边除以 x 构造 x + 的形式；移项时符号错误（x - 3 + 易误移为 x + ）。 整体易错点总结 1.公式混淆：核心变形公式中 “” 的符号易颠倒求 x² + y² 时，(x + 减 2xy，(x - 加 2xy）。 2.正负号失误：平方数开方漏写正负号；负数平方、负号运算时混淆规则。 3.计算错误：分数运算（平方、通分）、大数乘法 / 加法失误；分式中间项系数（如 t - 展开中间项为 -4）易误算。 4.化简遗漏：未发现式子可化简如 (x - ² + y²），硬算导致复杂出错。 5.思路局限：拓展题型中想不到 “两边除以 x” 构造分式形式，或忘记因式分解如 x² - y² = (x + y)(x - y)）。 解决建议：牢记核心变形公式，计算时分步书写，关键步骤标注公式依据；遇到分式或复杂式子先尝试化简，再代入计算。 $