专题4.2 等差等比数列的基本公式及性质（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2等差等比数列的基本公式及性质（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列基本公式 掌握等差数列定义、等差中项、通项公 基础必考点，常考小题中，或作为大题的基 式、求和公式 础知识部分。 等差数列的常用性 掌握等差数列的一些常用的基本性质。 高频必考点，常考小题中，或数列大题中第 质 问。 等比数列基本公式 掌握等比数列定义、等比中项、通项公 基础必考点，常考小题中，或作为大题的基 式、求和公式 础知识部分。 等比数列的常用性 掌握等比数列的一些常用的基本性质 高频必考点，常考小题中，或数列大题中第 质 问。 记·必备知识 等差数列的概念及公式 等差数列的常用性质 等差数列 等差数列的判定 等差数列的单调性 等差等比数列的基本性质与性质 等比数列的概念及公式 等比数列的常用性质 等比数列 等比数列的判定 等比数列的单调性 局知识点01等差数列的概念及公式 1、等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an-an-1=d(常数)(nEN',n≥ 2). 2、等差中项 若三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A=a十. 2 3、通项公式 an al (n-1)d 4、前n项和公式 n(n-1),(a1+an) Sn=na+ 2d= 2 2 受知识点2等差数列的常用性质 1、通项公式的推广 an=am+(n-m)d(n,mEN*) 2、当m+n=p+q时，am+an=ap+ag(m,n,p,qeN). 特别地，若m+n=2t,则am+an=2ar(m,n,tEN),at是am,anb的等差中项。 3、数列中序号为等差数列的项ak,ak+m,ak+2m,.仍是等差数列，公差为md(k,m∈N) 4、若{an},{bn}是等差数列，则{pan+qbn(p,q是常数)也是等差数列. 5、数列{kan+b(k,b是常数)是公差为kd的等差数列 6、Sn为等差数列前n项和，则SmS2m一SnS3n一S2w…是等差数列，公差为n2d 7、若{a,是公差为d等差数列，则}也成等差数列，首项=a1,公差为。 8、若a与b}为等差数列，且前n项和为5与T,哈= 、若项数为偶数2n,则S2m=na1十a)=na十am41:S%-5音=nd,:爱=品 10、若项数为奇数2m-1,则52-1=(2n-1a:5资-5=a:最=合 局知识点03等差数列的判定 1、定义法 由an+1-an=d得{an}为等差数列(neN门 2、等差中项法 由2an+1=an+an+2得{an为等差数列(neN) 3、通项公式法 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由am=kn+b得{a}为等差数列(k,b为常数) 4、前n项和公式 由Sm=kn2+bn得{an}为等差数列(k,b为常数) 受知识点04等差数列的函数性质 由通项公式an=a1+(n-1)d,求和公式Sn=n2+(a1-n,可得以下性质 1、公差d>0台{an}为递增等差数列，Sn有最小值； 2、公差d<0-{an}为递减等差数列，Sn有最大值； 3、公差d=0台{an}为常数列. 局知识点05等比数列的概念及公式 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等 比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母9表示，定义的表达式为。=q(q≠0) 2、等比中项 若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项，且有A2=ab 注意：Q,A,b这三项均不能为0，若给出a,b,其等比中项可求出两个互为相反的数。 3、通项公式 an=a1qn-1(a1,q≠0) 4、前n项和公式 na1(q=1) Sn= a(1-q") a1-anq 1-9 1-9(9≠1,9≠0) 同知识点06等比数列an的常用性质 l、通项公式的推广an=am·q-m(n,m∈N*) 2、若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N,则am·an=a·ag=ak2.a是am,an的等比中项。 3、数列中序号为等差数列的项ak,ak+m,ak+2m’.仍是等比数列，公比为gm(k,m∈N) 4、{an}为等比数列，则{an}(1为非零常数)，an},{a}仍为等比数列，但logc an(c>0,c≠1)为等差 数列. 5、若{an},bn是等比数列，则{an·bn,仍是等比数列. 6、公比不为-1的等比数列{an的前n项和为Sm,则Sm,S2m一Sm,S3m-S2n仍成等比数列，其公比为 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 q". 7、a,}为等比数列，若前n项积为1a2-T:则T,产产，成等比数列. 8、若{an}既是等差数列又是等比数列台{an)是非零常数列. 圆知识点07等比数列的判定 1、定义法 由2=q(q≠0)得{a}为等比数列(nEN) 2、等比中项法 由a品+1=an·an+2(an≠0)得{an}为等比数列(neN) 3、通项公式法 由am=kgn-1(q≠0，k≠0)得{an}为等比数列(nEN) 知识点08等比数列的函数性质 1、当侣侣1时，a为递塔数列： 2、当8，”1或侣0时，o为递减数列. 破·重难题型 它题型一 利用等差数列概念的求项 解题|技|巧 !直接利用等差数列的概念求首项跟公差，在用通项公式求得数列中的项。 1 【典例1】(24-25高二上·云南大理期末)已知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，则a,=() an 1 A: 1 1 1 B. 19 C.22 D.25 【典例2】(24-25高二上江苏南京期末)在无穷等差数列{an}中，若a。=2g,a,=2p,且p≠9，则 apta= 【变式1】(25-26高二上·湖南长沙期中)已知等差数列-2,1,4,7,10，…，现在其每相邻两项之间插入一个 数，使之成为一个新的等差数列{an}，则数列{a}的第23项为 4/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式2】(25-26高二上·福建莆田·期中)己知数列{an}满足2am+1=an+an+2,a45-a3=2,若S=2,则 a15= 它题型二 判定是否为等差数列 解|题|技|巧 !等差数列的判定可以通过1、定义法2、等差中项3、通项公式4、求和公式 ·注意一些细节问题，如规则是否覆盖到每一项，首项是否也满足条件。 【典例1】(24-25高三上福建福州期末)设{a}是无穷数列，A,=an+a+1(neN),则{a}是等差数列 是“{A}是等差数列”的() A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 【典例2】（多选）(25-26高二上湖南长沙期中)若数列{am}是等差数列，则下列数列中一定为等差数 列的有() A.{an+3} B.{a} C.{a+1-a} D.2a 【变式1】（多选）(24-25高二下·广西北海·期末)已知数列{am}是等差数列，则下列一定是等差数列的 是() A.a B.aa C.an+2a D.{a} 式2】(2425高三下广西桂林月考)在数列Q,中，则“a,-4是“数列a,}为等差数列的( 条件 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 巴题型三等差中项的性质 解|题|技|巧 1通项公式的推广：当m+n=p+q时，am+an=ap+ag(m,n,p,q∈N).若m+n=2t,则am+an=2! at(m,n,t∈N).at是aman的等差中项。 【典例1】(24-25高二上广东深圳期末)己知等差数列{an}满足a,+a,+a=6,则4，等于() A.1 B.2 C.3 D.4 5/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例2】（24-25高二上·安微期末)己知等差数列{an}满足a+a4+a6=6,则a4=() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1】(24-25高二上河南安阳·期末)设等差数列{an}的公差为d,若a+a1o=16,a6ao=96,则d= () A.4 B.3 C.2 D.1 【变式2】(24-25高二上湖北武汉期末)在等差数列{an}中，若a+a4+a。+a+ao=150,则4+a.的 值为() A.30 B.40 C.50 D.60 匚题型四构造等差数列 1 解|题|技巧 常见的有构造)，{an+1-an}等差数列 【典例1】(2025高二全国.专题练习)已知数列{an}满足a1=1,a-1-a=2a-1an(n≥2)，则数列{an}的 通项公式an= 【典例2】(25-26高二上重庆期中)在数列{an}中，41=0，a=4,且an+2=2an+1-an+2. (1)证明：{a1-a}是等差数列； (2)求{an}的通项公式。 8*1,若6=1 【变式1】(25-26高二上吉林长春期中)己知数列{a,}满足a=141=8 a (1)求证：{b}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式 【变式2】(25-26高三上·河南商丘·开学考试)已知数列{an}满足a=0,2a+1-an·a+1=1,neN，则 0026=() 2024 2025 2025 2026 A. B. D. 2025 C. 2024 2026 2025 题型五等差数列的绝对值的前n项和 6/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 厂一 解|题|技|巧 1、若{an}为等差数列，若求前n项和，则使用求和公式Sn=na1+ma,d=na+a】 1 2 2 1 !2、求川a}的前n项和，则要考虑负项，从负项开始，分开求和 【典例1】（多选）(24-25高二上陕西榆林期末)已知数列{an}的前n项和S。=-n2+31n,则下列说法 正确的是() A.an=32-2n B.Sn取得最大值时，n=15 C.a1+a2+…+a6=240 D.a1+a2+…+ao=465 【典例2】(24-25高二上·湖北武汉期末)设{an}是公差不为零的等差数列，a+a=ai+a,S,=7. (1)求an和Sn; (2)求{a.}的前n项和T 【变式1】(24-25高二上浙江杭州期末)已知数列{a}、{bn}的各项均不为零，若{b,}是单调递增数列， 且2an=bn·bn1,an+an+1=b+1,a1=b2,a=b6 (1)求b及数列{b}的通项公式： (2)设cn9-bnl,求数列{cn}的前n项和T 【变式2】(2025高三上河南洛阳·专题练习)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a=5,S4=16,则 数列{1a}的前12项和为() A.108 B.28 C.62 D.80 它题型六两个等差数列前n项和之比 解|题|技巧 若a,与b为等差数列，且前n暖和为5，与T,则呢= 【典例1】(24-25高二上·湖北武汉期末)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sm,Tn，若 7/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 S,2n+1 T,3n-1 2的值为() 19 B. 27 c D. 27 A. 26 26 38 S-n+1 【典例2】(2425高二下重庆月考)已知等差数列{a,},,}的前n项和分别为S，工，若元= 2n+3' 则哈() 7 A13 D 13 B. 17 23 【变式1】(25-26高二上·黑龙江哈尔滨期中)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和T, 且》=5”-，则使得骨为整数的正整数口的个数是、 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式2】(25-26高二上陕西咸阳期中)已知Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和，且 S=4n+1 2粉2则哈（) A. 61 3 43 B. 2 D. 43 61 题型七等差数列前n项和的性质 解|题|技|巧 11、 若{a}是公差为d等差数列，则也成等差数列，首项=a1,公差为d 12、Sn为等差数列前n项和，则SmwS2m一SnS3m一S2m…是等差数列，公差为n2d 【典例1】（多选）(25-26高二上·重庆沙坪坝期中)若Sn为数列{an}的前n项和，则下列说法正确的是 () A.常数列是等差数列 B.若Sn=n+2n+1,则{an}是等差数列 C.若{an}是等差数列，则数列 . 为等差数列 D.若{an}是等差数列，m+n=p+q(m,n,p,9eN,则am+an=a。+ag 【典例2】（25-26高三上·河北月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6-S3=-3,S,-S。=9,则S1= () 8/17 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.12 B.14 C.16 D.18 【变式1】(25-26高二上重庆期中)已知数列{an}的前n项和为Sn, 是以1为公差，4为 n 首项的等差数列，则通项公式a,= 【变式2】（多选）(2025高二上山西临汾.专题练习)记Sn为等差数列{an}的前n项和，则（) A.S3,S6-S3,S,-S成等差数列 B.S=2S6-S3 C.S,=3(S6+S3) D. ，S6 3’6 成等差数列 9 题型八等差数列前项和的单调性与最值 解|题|技|巧 !1、公差d>0-{an}为递增等差数列，Sn有最小值，注意a是从哪项开始是正数； !2、公差d<0台{an}为递减等差数列，Sn有最大值，注意an是从哪项开始是负数； 1 13、公差d=0台{a}为常数列. 【典例1】（24-25高二上·海南期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a,>0,a6+a1<0,则Sn取 得最小值时n的值为」 【典例2】（多选)(24-25高二上海南期末)设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.已知a=5, S4>0,S5<0,则() 551 A.a2>0 B.d的取值范围是 11’12 C.Sn的最大值为S D. 的最小值为 S a 【变式1】（多选）(2025高二·全国.专题练习)己知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3>0,S4<0, 则下列结论正确的是() A.数列{an}是递减数列 B.413>0 C.当Sn取得最大值时，n=12 D.a3>a2 【变式2】（多选）(25-26高三上河北期中)设{an}是公差d不为0的等差数列，其前n项和Sn存在最 小值，且S2o9=So6,则下列结论正确的是() A.a1<0 B.d>0 C.a2019=0 D.S4035=0 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ☑题型九等比数列的求项 解|题|技|巧 1、 利用通项公式求项a=q(q≠0)，am=am·g”m(m,mEN) 2、若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N),则am·an=apag=ak2.a是am,an的等比中项。 利用等比中项求等比数列中的项。 【典例1】(25-26高二上湖南长沙期中)在等比数列{an}中，4+a+a=1,a+a+a。=5,则 a3+a5+a1= 【典例2】(25-26高三上湖南·月考)在正项等比数列{an}中，若a1+a2+a4=14,a5+a6+a,=224,则 a10= 【变式1】(24-25高二上·福建漳州期末)已知数列{an}满足a4=1且2an+a+1=0,则aa,aa4a的值为 () A.32 B.16 C.2 D.-32 【变式2】(25-26高二上·贵州期末)已知等比数列{a,}的各项均为正数，且 log34+1og3a2+log3a3+..+log3a1o=10,则a,a.的值为() A.3 B.6 C.9 D.18 ☑题型十判断是否为等比数列 解|题技巧 等比数列的判定可以通过1、定义法2、等比中项3、通项公式 ·注意一些细节问题，如规则是否覆盖到每一项，首项是否也满足条件。 【典例1】（多选）25-26高二上·甘肃兰州期中)设{an}是等比数列，则() A.{a}是等比数列 B.{an+an+1}是等比数列 C. 是等比数列 D,lgan}是等差数列 a 【典例2】(25-26高二上·江苏苏州期中)设{an},{b}是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一 10/17 专题4.2 等差等比数列的基本公式及性质（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 等差数列基本公式 掌握等差数列定义、等差中项、通项公式、求和公式 基础必考点，常考小题中，或作为大题的基础知识部分。 等差数列的常用性质 掌握等差数列的一些常用的基本性质。 高频必考点，常考小题中，或数列大题中第一问。 等比数列基本公式 掌握等比数列定义、等比中项、通项公式、求和公式 基础必考点，常考小题中，或作为大题的基础知识部分。 等比数列的常用性质 掌握等比数列的一些常用的基本性质 高频必考点，常考小题中，或数列大题中第一问。 知识点01 等差数列的概念及公式 1、 等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）． 2、 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 3、 通项公式 4、 前n项和公式 知识点02 等差数列的常用性质 1、 通项公式的推广 2、 当时，． 特别地，若，则．是的等差中项。 3、 数列中序号为等差数列的项，…仍是等差数列，公差为 4、 若，是等差数列，则也是等差数列． 5、 数列是公差为的等差数列 6、 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 7、 若是公差为d等差数列，则也成等差数列，首项，公差为． 8、 若与为等差数列，且前项和为与，则． 9、 若项数为偶数，则；；． 10、 若项数为奇数，则；；． 知识点03 等差数列的判定 1、 定义法 由得为等差数列) 2、 等差中项法 由得为等差数列) 3、 通项公式法 由得为等差数列) 4、前项和公式 由得为等差数列) 知识点04 等差数列的函数性质 由通项公式，求和公式，可得以下性质 1、公差为递增等差数列，有最小值； 2、公差为递减等差数列，有最大值； 3、公差为常数列． 知识点05 等比数列的概念及公式 1、 等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 2、 等比中项 若，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，且有 注意：，，这三项均不能为0，若给出其等比中项可求出两个互为相反的数。 3、 通项公式 4、 前n项和公式 知识点06 等比数列的常用性质 1、 通项公式的推广 2、 若，则．是的等比中项。 3、 数列中序号为等差数列的项，…仍是等比数列，公比为 4、 为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列，但为等差数列． 5、 若，是等比数列，则，仍是等比数列． 6、 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 7、 为等比数列，若前项积为，则成等比数列． 8、 若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 知识点07等比数列的判定 1、 定义法 由得为等比数列) 2、 等比中项法 由得为等比数列) 3、 通项公式法 由得为等比数列) 知识点08 等比数列的函数性质 1、当或时，为递增数列； 2、当或时，为递减数列． 题型一 利用等差数列概念的求项 解｜题｜技｜巧 直接利用等差数列的概念求首项跟公差，在用通项公式求得数列中的项。 【典例1】（24-25高二上·云南大理·期末）已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义，写出通项公式，结合题意，可得答案. 【详解】由题得， 即，则， 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·江苏南京·期末）在无穷等差数列中，若，且，则 ． 【答案】0 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的通项公式求出，进而求出答案. 【详解】设等差数列的公差为， 所以， 故. 故答案为：0. 【变式1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 【答案】 【分析】先计算出原等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，得到新数列的第项. 【详解】在相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列， 则等差数列的公差为原等差数列公差的． 设等差数列为，公差为， 易知，则， 则的公差为， 则． 所以． 故答案为:. 【变式2】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，，若，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得数列是等差数列，再求出公差及首项即可. 【详解】由数列满足，得数列是等差数列， 由，得公差，由，得，解得， 所以. 故答案为： 题型二 判定是否为等差数列 解｜题｜技｜巧 等差数列的判定可以通过1、定义法 2、等差中项 3、通项公式 4、求和公式 注意一些细节问题，如规则是否覆盖到每一项，首项是否也满足条件。 【典例1】（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义，判断出是等差数列则也是等差数列，而也是等差数列不一定是等差数列，可得答案. 【详解】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 【典例2】（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 【变式1】（多选）（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. 【变式2】（24-25高二下·广西桂林·月考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 题型三 等差中项的性质 解｜题｜技｜巧 通项公式的推广：当时，．若，则．是的等差中项。 【典例1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等差数列满足，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，可得答案. 【详解】因为，解得. 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由等差数列的性质即可求解； 【详解】根据题意，因为，又因为数列为等差数列， 所以，，可得，所以． 故选：B 【变式1】（24-25高二上·河南安阳·期末）设等差数列的公差为，若，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】由等差数列通项公式的性质求得，进而求得，再根据等差数列通项公式求公差即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，故公差. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）在等差数列中，若，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】利用等差数列下标和的性质得，进而可求. 【详解】由，得，即，所以 故选：D 题型四 构造等差数列 解｜题｜技｜巧 常见的有构造, 等差数列 【典例1】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】根据递推式得，结合等差数列的定义写出通项公式即可. 【详解】因为， 所以，可得， 从而， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 所以，即． 故答案为： 【典例2】（25-26高二上·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 【变式1】（25-26高二上·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题设易得，即可得到，结合等差数列的定义即可求证； （2）结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 【变式2】（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：分析可知数列是首项为，公差为1的等差数列，结合等差数列运算求解；方法二：根据递推公式求，发现规律，结合选项可得结果. 【详解】方法一：由题意可得：，则， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，即，所以； 方法二：因为，， 可得，，， 据此可以发现规律，所以． 故选：C． 题型五 等差数列的绝对值的前n项和 解｜题｜技｜巧 1、若为等差数列，若求前n项和，则使用求和公式 2、求的前n项和，则要考虑负项，从负项开始，分开求和 【典例1】（多选）（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最大值时， C． D． 【答案】AC 【分析】利用和与项的关系，分和分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A；根据数列的项的正负情况可以否定B；根据前16项都是非负值可计算判定C；由可计算后否定D. 【详解】因为数列的前项和， 则， ， 当时也成立，所以，故A正确； 由，得，当时，当时，， 所以取得最大值时，或，故B错误； 因为当时，，当时， 所以，故C正确； 因为 ，故D错误. 故选：AC. 【典例2】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设是公差不为零的等差数列，，. (1)求和； (2)求的前项和. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据可得，结合列方程组可求得，由此可得和. （2）讨论和可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∵，∴，即， 由等差数列的性质得，， 由得，，即，   由得，， 联立方程可得，，    ∴，. （2）由得，时，，时，. 当时，，     当时，， ∴. 【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，. (1)求及数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）变形得到，故为等差数列，利用求出，根据，其中，，得到，求出公差，得到通项公式； （2），设的前项和为，分和，两种情况，得到的前项和. 【详解】（1），， 故，即， 的各项均不为零，故， 所以为等差数列，且公差大于0， 中，令得， 又，故， 中，令得， 其中，，故， 即，解得或0（舍去）， 故； （2）， 故当时，，当时，， 设的前项和为， 当时，， 当时，， 综上，. 【变式2】（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知为等差数列的前项和，且，，则数列的前项和为（  ） A．108 B．28 C．62 D．80 【答案】D 【分析】利用等差数列前n项和及其性质求基本量，进而得到，再确定的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，最后由的前12项和求结果. 【详解】由，可得， 所以，故数列的公差，且， 所以，令，， 所以的前4项为正数项，从第5项开始均为负数项，且， 所以的前12项和. 故选：D 题型六 两个等差数列前n项和之比 解｜题｜技｜巧 若与为等差数列，且前项和为与，则 【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可设，，结合与的关系可得. 【详解】因数列，均为等差数列， 故由，可设，， 则， ， 则 故选：B 【典例2】（24-25高二下·重庆·月考）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及等差数列前n项和的特征，设，，再由求值即可. 【详解】根据已知及等差数列前n项和，设，， 则. 故选：C 【变式1】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，要使为整数，只需要为的因数即可. 【详解】， 又， ， 当时，，所以使得为整数的正整数的个数是4个. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 题型七 等差数列前n项和的性质 解｜题｜技｜巧 1、 若是公差为d等差数列，则也成等差数列，首项，公差为 2、 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 【典例1】（多选）（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若为数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A．常数列是等差数列 B．若，则是等差数列 C．若是等差数列，则数列为等差数列 D．若是等差数列，，则 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通项公式，以及性质，即可判断选项. 【详解】A.常数列是等差数列，公差为0，故A正确； B.，，，，所以不是等差数列，故B错误； C.若是等差数列，则，，则（常数），所以数列为等差数列，故C正确； D. 若是等差数列，，则，故D正确. 故选：ACD 【典例2】（25-26高三上·河北·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为是等差数列，且，，所以，，所以. 故选：A. 【变式1】（25-26高二上·重庆·期中）已知数列 的前 项和为 ， 是以1为公差，4 为首项的等差数列，则通项公式 【答案】 【分析】首先根据等差数列的定义写出的通项公式，然后再根据和的关系即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 当时，， 当时，，符合上式，因此. 故答案为： 【变式2】（多选）（2025高二上·山西临汾·专题练习）记为等差数列的前n项和，则（    ） A．，，成等差数列 B． C． D．，，成等差数列 【答案】AD 【分析】由等差数列前n项和公式对4个选项依次判断即可． 【详解】设等差数列的公差为， 则，， . 对于A，由， ， 则， 所以，，成等差数列，故A正确； 对于B，， 而，且的值不确定， 则与不一定相等，故B错误； 对于C，， 而，且的值不确定， 则与不一定相等，故C错误； 对于D，由，，， 所以，即， 则，，成等差数列，故D正确. 故选：AD． 题型八 等差数列前n项和的单调性与最值 解｜题｜技｜巧 1、公差为递增等差数列，有最小值，注意是从哪项开始是正数； 2、公差为递减等差数列，有最大值，注意是从哪项开始是负数； 3、公差为常数列． 【典例1】（24-25高二上·海南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 【答案】8 【分析】由等差数列的性质得到，公差，为递增数列，从而得到当时，取得最小值 【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以， 所以，数列为递增数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 【典例2】（多选）（24-25高二上·海南·期末）设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，的最小值为，D对. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可. 【变式1】（多选）（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】ACD 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】对于ABD选项，设的公差为， ，故， ，故，所以， 由于，故，，即是递减数列，A正确，B错误，D正确； C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：ACD. 【变式2】（多选）（25-26高三上·河北·期中）设是公差d不为0的等差数列，其前n项和存在最小值，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的前项和的性质和等差中项的性质，结合已知条件，分析出数列的首项、公差以及特定项的值，逐一分析各选项即可. 【详解】对于AB：因为存在最小值，且，所以，，故AB正确； 对于C：因为， 所以，所以，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：ABD. 题型九 等比数列的求项 解｜题｜技｜巧 1、 利用通项公式求项 2、 若，则．是的等比中项。 利用等比中项求等比数列中的项。 【典例1】（25-26高二上·湖南长沙·期中）在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题目信息及等比数列的性质求出公比，再计算的值. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 又，所以， 则. 故答案为：. 【典例2】（25-26高三上·湖南·月考）在正项等比数列中，若，，则 . 【答案】1024/ 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·福建漳州·期末）已知数列满足且，则的值为（    ） A．32 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得数列是公比为的等比数列，再利用等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列满足，， 则，即数列是公比为的等比数列， 又由，则， 则. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·贵州·期末）已知等比数列的各项均为正数，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由对数的运算性质可得，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】解：等比数列的各项均为正数，且， ， ． 故选：． 题型十 判断是否为等比数列 解｜题｜技｜巧 等比数列的判定可以通过1、定义法 2、等比中项 3、通项公式 注意一些细节问题，如规则是否覆盖到每一项，首项是否也满足条件。 【典例1】（多选）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设是等比数列，则（   ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等比数列 D．是等差数列 【答案】AC 【分析】利用等比数列定义可判断A、C，令，可判断B，取等比数列为，可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即． 因为，所以是等比数列，所以A选项正确； 因为，所以是等比数列，所以C选项正确； 当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误； 不妨设等比数列为，当时，不存在， 所以不是等差数列，所以D选项错误. 故选：AC 【典例2】（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，是两个公比不相等的等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据等比数列的定义与等比中项逐一判断即可. 【详解】设等比数列，是两个公比分别为，且 对于A，因为， ， 因,则，故不是等比数列，即A错误； 对于B，因为， ， 与A同理，，故不是等比数列，即B错误； 对于C，因为， ，是一个常数，所以是等比数列，故C正确. 对于D，因为，，是一个常数， 所以是等比数列，故D正确. 故选：CD. 【变式1】（25-26高三上·全国·期中）已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的定义验证充分性与必要性即可得结论. 【详解】已知为非常数数列， 若为等比数列，设公比为，则，且，即， ，因为常数，故为等差数列； 又若为等差数列，设公差为，则，且， ，即，为常数，所以为等比数列； 故“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C. 【变式2】（25-26高二上·江苏镇江·期中）设是等比数列，有下列四个命题： ①是等比数列；        ②是等比数列； ③是等比数列；        ④是等比数列. 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用等比数列的定义判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，则， ∵，∴是等比数列，①正确； ∵，∴是等比数列，②正确； ∵，∴是等比数列，③正确；         ∵，∴是等比数列，④正确. 故选：D. 题型十一 求等比数列的前n项和 解｜题｜技｜巧 根据等比数列的求和公式求n项和。 【典例1】（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知有，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）得的通项公式，应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，. （2）因为，所以， 所以. 【典例2】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知等比数列，，，则数列的前项和等于 ． 【答案】 【分析】先根据等比数列计算得出，，再求和计算. 【详解】由等比数列，，， 得，，所以，， 所以的前项和等于． 故答案为：63. 【变式1】（2025高三上·广东广州·专题练习）已知等比数列满足，且与的等差中项为5，为其前项和，则等于 . 【答案】 【分析】通过等比数列项的运算关系与等差中项的性质，建立首项与公比的方程，求解得首项和公比后，代入等比数列前项和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 由，得，化简得. 由与的等差中项为5，得，即. 将代入上式，得，故. 联立，两式相除得，解得. 代入，得. 前5项和. 故答案为：31 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【详解】（1）由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； （2）对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 题型十二 等比数列的前n项和的性质 解｜题｜技｜巧 1、 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 2、 等比数列有2n项，则所有的奇数项的和与所有偶数项的和的比值为公比 【典例1】（24-25高二下�安徽合肥�期末）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的公比为， 因为，且， ，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得， 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 【变式1】（25-26高三上�江苏盐城�期中）设等比数列的前项和为，若公比，则 . 【答案】64 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 【变式2】（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 题型十三 等比数列有关的单调性与最值 解｜题｜技｜巧 讨论单调性跟最值时，根据表达式来判断。主要根据首项跟公比的正负来决定。 【典例1】（多选）（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大项为 【答案】ACD 【分析】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 【典例2】（多选）（25-26高二上·福建宁德·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比为，其前和项和为，前项积为，且满足条件，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大项为 D． 【答案】AC 【分析】根据题意得，，，进而再根据等比数列的性质依次判断各选项即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，公比为，所以， 因为， 所以，即或， 当时，由于，故，即； 当时，由于，故，又因为，此时等比数列恒成立，与矛盾， 所以，，，故A选项正确； 对于B，由得，即得，故B选项错误； 对于C，由于，，， 所以，， 所以数列中的最大项为，故C选项正确； 对于D，，故D选项错误. 故选：AC 【变式1】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，分别，讨论不合题意，得到；对于BC，借助，得为递减数列，即，结合，得，判断BC；对于D，由BC知当时，，当时，，进而判断D. 【详解】对于A，若，因为，所以，不满足． 若，因为，所以，不满足．显然，所以，故A正确； 对于B，因为，为递减数列，所以，又，所以，故B正确C错误； 对于D，由B，C可得当时，，当时，，所以的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）在等比数列中，公比为q，其前n项积为，并且满足，，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数n等于4046 【答案】C 【分析】分析条件可得数列为递减数列，选项A正确；根据等比数列的性质可得选项B正确；根据可得选项C错误；根据，可得选项D正确. 【详解】∵，∴，∴． ∵，∴，即一个大于1，一个小于1， ∵，∴数列为递减数列，故，即，选项A正确. ，选项B正确. ，选项C错误. ， ，选项D正确. 故选：C． 题型十四 等差与等比数列综合 解｜题｜技｜巧 综合等差数列与等比数列的定义与性质 【典例1】（多选）（25-26高二上�江苏苏州�月考）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 【答案】AB 【分析】对A，利用，求出，再利用等比数列的定义求出的值，即可判断A；对B，根据条件，利用等比数列的性质，即可求解；对C，通过举例即可说明；对D，结合条件，利用等差数列的性质得，进而可得，，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，， ，由，得到，解得，故A正确， 对于B，由，得到，所以，故B正确， 对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，， 此时不成等比数列，故C错误， 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以前项和在时取得最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时，所以D错误. 故选：AB. 【典例2】（多选）（24-25高二下·湖北·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是以2 为公比的等比数列 B．若，则数列是以2为公差的等差数列 C．若，则数列是以1为公差的等差数列 D．若，则数列是以为公差的等差数列 【答案】BC 【分析】本题可根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，已知，当时，； 当时，. 当时，，所以数列不是等比数列，A错误. 对于选项B，由，两边取倒数可得，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确. 对于选项C，由，两边同时除以可得： ，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确. 对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误. 故选：BC . 【变式1】（多选）（24-25高二上·湖北·月考）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列 D．若数列为等差数列，，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为12 【答案】CD 【分析】求出的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出与公差的关系判断D. 【详解】对于A，由，得， 又数列为等比数列，则，解得，经验证符合题意，A正确； 对于B，等比数列中，由，得，则，B正确； 对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误； 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以数列的前6项和有最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时n等于，D错误. 故选：CD 【变式2】（多选）（24-25高二上·云南昭通·期末）数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列的前项和最大 B．若等比数列是单调递减数列，则公比满足 C．已知等差数列的前项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【分析】解不等式，可判断A选项；利用等比数列的单调性可判断B选项；利用等差数列的求和公式可判断C选项；利用等差数列的求和公式以及等差数列的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，由，可得， 又因为，故数列前项的和最大，A对； 对于B选项，当，时，则对任意的，， 则，所以，，此时等比数列也是递减数列，B错； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，若为等差数列，则，， 则（为常数），所以，数列也是等差数列，D对， 故选：ACD. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列出首项和公差的方程组，求解出结果即可求的通项公式； （2）根据求解出的范围，则结果可求. 【详解】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 2. （24-25高二上·天津·月考）若数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)证明是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求解即可； （2）由（1），结合等差数列的定义即可证明. 【详解】（1）， 当时，； 当时，， 又符合上式，所以. （2）由（1）知，则， 所以，又， 所以数列是以2为首项，以2为公差的等差数列. 3．（24-25高二上·天津·期末）等差数列 中， 若 则 的值为 【答案】20 【分析】应用等差数列项的性质计算求解. 【详解】因为数列为等差数列，又因为 即 则 . 故答案为：20. 4．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式求解即可得答案. 【详解】因为是等比数列，所以，所以, 所以，解得， 故选：A. 5．（25-26高二上�福建宁德�期中）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．85 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】根据成等比数列得到方程，求出或，分两种情况进行求解，舍去不符合要求的根，得到答案. 【详解】由题意得成等比数列， 设，则成等比数列，即， 解得或， 若，则，， 设的公比为，则，舍去； 若，则，，， 则，满足要求， 由于成等比数列， 故成等比数列，故，解得， 故选：D 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025高二·全国·专题练习）已知在数列中，，，对于且，有，若（，且，互质，则 ． 【答案】8086 【分析】根据递推关系的结构进行分析，两边取倒数得数列为等差数列，利用等差数列通项公式求得，进而求出，，即可得解． 【详解】对的两边取倒数，得， 即，故数列为等差数列， 其首项为，公差为， 故，所以． 于是，所以． 故答案为：8086 2．（25-26高二上·河北沧州·期中）已知等差数列，的前项和分别为和，若，则满足的正整数有（   ） A．1个 B．2个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和的性质，由，从而可设（），，由通项与前项和的关系利用相减法可得通项，从而可得，结合分式与整式的性质即可得结论. 【详解】因为等差数列,的前n项和分别为和,， 所以可设（），， 所以时，， 又满足上式，所以（）， 时，， 又满足上式，所以,， 则， 因为，所以是63的正因数，63的正因数有1，3，7，9，21，63， 又，则，解得；，解得， 所以，15，即满足的正整数n有2个. 故选：B. 3．（2025高二上·山西临汾·专题练习）已知公差为的等差数列的前项和为，且，，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据条件，利用等差数列的性质和前项和公式，得，，再利用等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，所以，， 又由，，得，即，解得 故答案为：. 4．（多选）（25-26高三上·河南·月考）设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D．数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和的性质，可判断ABC，利用前项和公式来求的通项公式可判断D. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以； 因为，又因为，所以， 又因为，所以，则，故A正确； 且当时，取最大值，且，故B正确，C错误； 因为，所以数列单调递减； 因为，所以， 所以数列也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确． 故选:ABD． 5．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】 【分析】由，可知是等比数列，由等比数列的通项公式求出，然后由求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 当时，， 又不符合上式，所以. 故答案为：. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（多选）（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断正确的有（    ） A．为等比数列 B．为等比数列 C．为等差数列 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用等比数列的定义判断A，举反例判断B，C，利用前项和和通项公式的关系建立方程，求解参数判断D即可. 【详解】设首项为，因为数列是等比数列，公比为， 所以，，则，， 对于A，，则为等比数列，故A正确， 对于B，令，，则，， 即，而， ，， 得到，， 则不为等比数列，故B错误， 对于C，当时，无意义， 则不一定为等差数列，故C错误， 对于D，当时，， 当时，， 故，则，解得，故D正确. 故选：AD 2．（多选）（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 【答案】AD 【分析】对于A，根据条件，利用等比数列的定义，即可求解；对于B，根据选项条件，直接求出，即可求解；对于B，利用，求接求出，再利用等比数列的性，即可求解，对于D，根据通项公式，结合选项条件及指数函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，则，解得， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以， 令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确， 故选：AD. 3．（25-26高三上·广东·月考）记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别讨论是等比数列的条件下，是否是等比数列，以及是等比数列的条件下，是否是等比数列，即可判断. 【详解】先判断充分性： 若是等比数列，设其公比为，首项为，可得： ， ， 当时，，不是等比数列， 当时，，是等比数列， 综上，当是等比数列时，不一定是等比数列， 故充分性不成立； 再判断必要性： 若是等比数列， 可设， 此时，若，， 若，， 即是等比数列，但不是等比数列， 故必要性不成立； 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知一个各项非零的数列满足且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，递推关系可化为，证明，证明数列为等比数列，由此可求数列的通项公式，再分别在，，条件下判断函数的单调性可得结论. 【详解】因为，， 所以， 设，则， 所以 若，则,，矛盾， 所以，故， 所以数列为以为首项，公比为的等比数列， 所以， 故， 若，则， 数列为递增数列，且， 所以数列为递减数列，与已知矛盾； 若，则， 所以数列为递减数列，且， 所以数列为递增数列，满足条件； 当时， ，故， 所以数列为递减数列， 令，可得， 所以当，且时，， 当，且时，， 与条件矛盾， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过对递推式的变形，并设，换元可得，再证明数列为等比数列，由此求出数列的通项公式. 5．（多选）（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知数列，下列命题正确的有（   ） A．若为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B．若为正项等比数列，则为等差数列 C．满足：，则 D．已知为的前项积，若，则 【答案】ABD 【分析】分以及，结合等比数列的求和公式，即可判断A；由等比数列的定义判断B；根据特例判断C；根据等差数列的定义及通项公式判断D. 【详解】对于A，当时，， 显然，，，是以为首项，以为公比的等比数列； 当时，， ， 所以，，则，，，成等比数列，公比为，故A正确； 对于B，设等比数列的公比为，则， 则是个常数，所以为等差数列，故B正确； 对于C，依题意，，它不满足，故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以，且也满足，故D正确； 故选：ABD. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $