专题5.1 一元函数的导数及其应用全章16种题型（期末复习讲义）高二数学上学期人教A版选择性必修第二册

该高中数学复习讲义通过核心考点表格系统整合导数概念、运算、单调性等五大模块，结合定义阐释、公式表、易错点标注等工具梳理知识脉络，清晰呈现各考点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于16类题型的递进式练习设计，如通过曲线“在”与“过”某点切线问题的区分训练，结合含参单调性分类讨论的方法指导，培养数学思维与逻辑推理素养。例题变式覆盖基础到综合难度，助力不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题5.1 一元函数的导数及其应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念及几何意义 1、能准确表述导数的定义，理解导数的瞬时变化率意义； 2、能熟练求解曲线在某点处的切线方程及切线斜率； 3、能结合图像理解导数的几何意义与函数单调性的关联 基础必考点，小题、大题均可能出现；小题多考查切线方程求解，大题常作为导数应用的第一问； 易错点：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”，忽略定义域对切线存在性的影响 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 1、能熟记并准确运用基本初等函数的导数公式； 2、能熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则及复合函数的求导法则； 3、能对含参函数进行正确求导 高频基础考点，贯穿导数相关所有题型；多以隐性考点形式出现（作为后续求解的基础），偶尔单独考查求导运算； 易错点：复合函数求导漏层、含参函数求导忽略参数的常量属性、分式函数求导记错运算法则 利用导数判断函数的单调性 1、能根据导数符号准确判断函数的单调区间； 2、能利用函数单调性求参数的取值范围； 3、能结合单调性解决函数图像的识别问题 核心考点，小题、大题均高频出现；大题常与函数极值、最值综合考查；命题趋势：逐渐倾向于含参函数的单调性讨论（需分类讨论参数取值）； 易错点：单调区间求解后未写成区间形式、分类讨论不全面（遗漏参数临界值）、忽略定义域对单调区间的限制 利用导数求函数的极值与最值 1. 能准确判断函数极值点，求解函数极值；2. 能熟练求解闭区间上函数的最值；3. 能利用极值、最值解决恒成立问题、存在性问题 重难点考点，大题核心考查内容；常与不等式、函数单调性综合命题，分值占比较高； 命题趋势：多结合含参函数考查极值点个数判断、最值与参数的关系； 易错点：将导数为0的点直接当作极值点、求解最值时遗漏区间端点值、处理恒成立问题时未正确转化为最值问题 导数在不等式中的应用（证明不等式、解不等式） 1、能利用导数证明简单的不等式； 2、能结合导数求解与函数单调性相关的不等式； 3、能通过构造函数解决不等式恒成立、存在性问题 难点考点，多出现于大题压轴部分；命题综合性强，需结合函数单调性、极值、最值等知识； 命题趋势：倾向于构造含参函数或多元函数证明不等式，强调转化与化归思想； 易错点：构造函数方向错误、证明过程中未正确利用函数最值、忽略不等式成立的定义域范围 知识点01 导数的概念及其意义 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ·易错点：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”，前者切点固定，后者切点需设元求解，易直接将该点当作切点计算． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． ·易错点：复合函数求导漏层，如求的导数时，只对求导，忘记乘以内层函数 知识点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． ·易错点：含参函数单调性讨论不全面：遗漏参数的临界取值（如极值点恰好落在区间端点、导数恒正/恒负的情况），分类逻辑混乱． 知识点04 导数与函数的极值、最大（小）值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． ·易错点：误将导数为0的点判定为极值点，忽略“极值点需满足该点两侧导数符号相反”的核心条件，直接把f′(x)=0当作极值点判定依据． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． ·易错点：求解闭区间最值遗漏端点，只关注极值点的函数值，忽略区间端点处的函数值． 题型一 平均变化率及其应用 解｜题｜技｜巧 先明确平均变化率的定义式，精准代入区间端点值计算，避免混淆自变量与函数值的对应关系；应用问题中需先建立函数模型，再通过平均变化率分析变量的增减快慢趋势，结合实际情境解读结果意义． 【例题1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【变式1-3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）（多选）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 题型二 导数定义中极限的简单计算 解｜题｜技｜巧 常用瞬时变化率的变形形式 【例题2】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2-2】（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 题型三 导数的运算 易｜错｜点｜拨 1、记准基本初等函数导数公式和和差积商、复合函数求导法则； 2、复合函数求导遵循 “由外到内，逐层求导”，避免漏层； 3、含参、分段函数求导时，参数视为常量，分段点导数需用定义验证． 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）（多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高二下·浙江杭州·期末）（多选）下列导数计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四 曲线“在”某点的切线问题 解｜题｜技｜巧 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【例题4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 【变式4-1】（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 题型五 曲线“过”某点的切线问题 解｜题｜技｜巧 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【例题5】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 题型六 两曲线的公切线问题 解｜题｜技｜巧 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解． 或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．具体步骤如下所示： （1）设公切线与两曲线的切点，分别写出切线方程； （2）根据公切线斜率、截距相等，建立方程组求解切点横坐标； （3）含参问题需分类讨论解的个数，最后验证结果合理性． 【例题6】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）若圆与曲线的公切线经过，求 ． 【变式6-2】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则 ． 【变式6-3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 题型七 原函数与导函数的图象问题 答｜题｜模｜板 1、抓核心关联：导数符号与原函数单调性 导函数对应原函数单调递增，对应原函数单调递减； 导函数的点是原函数的极值点（需验证两侧符号是否变化）． 2、看特殊点：导数的几何意义与原函数切线 导函数在某点的函数值等于原函数在该点的切线斜率；原函数的最值点对应导函数的零点（且两侧符号改变）． 3、析趋势变化：导函数单调性与原函数凹凸性 导函数单调递增，则原函数的切线斜率递增，函数图像呈凹状； 导函数单调递减，则原函数呈凸状． 【例题7】（24-25高二下·天津·期末）设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二下·河北保定·月考）（多选）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型八 利用导数求函数的单调性 解｜题｜技｜巧 含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 易错点：含参函数分类讨论时，遗漏参数的临界取值（如极值点恰好落在区间端点的情况），导致解题不完整． 【例题8】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二下·新疆喀什·期末）（多选）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【变式8-3】（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 题型九 由函数的单调性求参数 解｜题｜技｜巧 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 【例题9】（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【变式9-1】（24-25高二下·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 【变式9-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 【变式9-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 题型十 导数构造法解函数不等式 解｜题｜技｜巧 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 【例题10】（24-25高二下·河南南阳·期末）定义在上的偶函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高二下·四川广元·期中）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型十一 利用导数求函数的极值或极值点 解｜题｜技｜巧 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【例题11】（24-25高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为 ． 【变式11-1】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二下·海南·期末）函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（    ） A． B． C． D． 题型十二 由函数的极值求参数 解｜题｜技｜巧 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【例题12】（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【变式12-1】（24-25高二下·北京房山·期末）已知在处有极大值，则实数的取值范围是 . 【变式12-2】（24-25高二下·河南周口·期末）已知函数在处取得极值0，则b= ． 【变式12-3】（24-25高二下·天津·期末）若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 题型十三 利用导数求函数的最值 解｜题｜技｜巧 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【例题13】（24-25高二下·云南保山·期末）已知，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【变式13-1】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）函数，的最大值为（    ） A．4 B． C． D．5 【变式13-2】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（    ） A．，0 B．， C．， D．0， 【变式13-3】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 题型十四 由函数的最值求参数 解｜题｜技｜巧 1、先对函数求导，分析函数的单调性与极值点，结合定义域画出函数的大致走势，明确最值的可能取点（极值点或区间端点）； 2、分情况讨论参数对函数单调性、极值点位置的影响，列出不同情况下的最值表达式，再根据已知最值建立关于参数的方程或不等式求解； 3、求解后需回代验证，确保所求参数值符合对应的分类讨论前提，避免出现增根． 【例题14】（24-25高二下·福建三明·月考）若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【变式14-1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式14-3】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十五 导数与函数的零点综合 解｜题｜技｜巧 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【例题15】（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 【变式15-1】（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为 ． 【变式15-2】（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 【变式15-3】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 题型十六 导数与不等式综合 解｜题｜技｜巧 1、一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 2、一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【例题16】（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25高二下·海南海口·期末）（多选）若对恒成立，则k的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式16-2】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【变式16-3】（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知． (1)证明：； (2)若在上恒成立，求实数的最小值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东湛江·期末）（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 3．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 2．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 一元函数的导数及其应用（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 导数的概念及几何意义 1、能准确表述导数的定义，理解导数的瞬时变化率意义； 2、能熟练求解曲线在某点处的切线方程及切线斜率； 3、能结合图像理解导数的几何意义与函数单调性的关联 基础必考点，小题、大题均可能出现；小题多考查切线方程求解，大题常作为导数应用的第一问； 易错点：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”，忽略定义域对切线存在性的影响 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 1、能熟记并准确运用基本初等函数的导数公式； 2、能熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则及复合函数的求导法则； 3、能对含参函数进行正确求导 高频基础考点，贯穿导数相关所有题型；多以隐性考点形式出现（作为后续求解的基础），偶尔单独考查求导运算； 易错点：复合函数求导漏层、含参函数求导忽略参数的常量属性、分式函数求导记错运算法则 利用导数判断函数的单调性 1、能根据导数符号准确判断函数的单调区间； 2、能利用函数单调性求参数的取值范围； 3、能结合单调性解决函数图像的识别问题 核心考点，小题、大题均高频出现；大题常与函数极值、最值综合考查；命题趋势：逐渐倾向于含参函数的单调性讨论（需分类讨论参数取值）； 易错点：单调区间求解后未写成区间形式、分类讨论不全面（遗漏参数临界值）、忽略定义域对单调区间的限制 利用导数求函数的极值与最值 1. 能准确判断函数极值点，求解函数极值；2. 能熟练求解闭区间上函数的最值；3. 能利用极值、最值解决恒成立问题、存在性问题 重难点考点，大题核心考查内容；常与不等式、函数单调性综合命题，分值占比较高； 命题趋势：多结合含参函数考查极值点个数判断、最值与参数的关系； 易错点：将导数为0的点直接当作极值点、求解最值时遗漏区间端点值、处理恒成立问题时未正确转化为最值问题 导数在不等式中的应用（证明不等式、解不等式） 1、能利用导数证明简单的不等式； 2、能结合导数求解与函数单调性相关的不等式； 3、能通过构造函数解决不等式恒成立、存在性问题 难点考点，多出现于大题压轴部分；命题综合性强，需结合函数单调性、极值、最值等知识； 命题趋势：倾向于构造含参函数或多元函数证明不等式，强调转化与化归思想； 易错点：构造函数方向错误、证明过程中未正确利用函数最值、忽略不等式成立的定义域范围 知识点01 导数的概念及其意义 1、函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． 2、导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． ·易错点：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”，前者切点固定，后者切点需设元求解，易直接将该点当作切点计算． 3、函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点02 导数的运算 1、基本初等函数的导数公式表 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ 2、导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3、复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． ·易错点：复合函数求导漏层，如求的导数时，只对求导，忘记乘以内层函数 知识点03 导数与函数的单调性 1、导数与函数的单调性的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增； 如果，那么函数在这个区间内单调递减． 【注意】 （1）在某区间内（）是函数在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件； （2）可导函数在上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有（）且在上的任何子区间内都不恒为零． 2、导数法求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． ·易错点：含参函数单调性讨论不全面：遗漏参数的临界取值（如极值点恰好落在区间端点、导数恒正/恒负的情况），分类逻辑混乱． 知识点04 导数与函数的极值、最大（小）值 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． ·易错点：误将导数为0的点判定为极值点，忽略“极值点需满足该点两侧导数符号相反”的核心条件，直接把f′(x)=0当作极值点判定依据． 2、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 3、函数极值与最值的关系 （1）函数的最大值和最小值是比较整个定义域区间上的函数值得到的，是一个整体的概念，与函数的极大（小）值不同，函数的最大（小）值若有，则只有一个． （2）开区间内的可导函数，若有唯一的极值，则这个极值是函数的最值． ·易错点：求解闭区间最值遗漏端点，只关注极值点的函数值，忽略区间端点处的函数值． 题型一 平均变化率及其应用 解｜题｜技｜巧 先明确平均变化率的定义式，精准代入区间端点值计算，避免混淆自变量与函数值的对应关系；应用问题中需先建立函数模型，再通过平均变化率分析变量的增减快慢趋势，结合实际情境解读结果意义． 【例题1】（24-25高二上·江苏镇江·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】函数在区间上的平均变化率为 ．故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·江苏宿迁·期末）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平均变化率定义得，故选：C 【变式1-2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【解析】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】（24-25高二上·江苏连云港·期末）（多选）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【解析】对于A，当时，， 当时，, 所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，， 所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误.故选：ABC. 题型二 导数定义中极限的简单计算 解｜题｜技｜巧 常用瞬时变化率的变形形式 【例题2】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在处可导，则 .故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为，即， 即，则.故选：A. 【变式2-2】（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以，故选：C. 【变式2-3】（24-25高二上·山东泰安·期末）已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 所以. 题型三 导数的运算 易｜错｜点｜拨 1、记准基本初等函数导数公式和和差积商、复合函数求导法则； 2、复合函数求导遵循 “由外到内，逐层求导”，避免漏层； 3、含参、分段函数求导时，参数视为常量，分段点导数需用定义验证． 【例题3】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，令， 则，，令， 则．故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误；故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·浙江杭州·期末）（多选）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； ，故C错误； ， 故D正确，故选：BD. 【变式3-3】（24-25高二下·浙江杭州·期末）（多选）下列导数计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由对数函数的求导法则可得，故选项A正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项B错误； 由基本初等函数的法则可知，故选项C正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项D正确.故选：ACD. 题型四 曲线“在”某点的切线问题 解｜题｜技｜巧 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式． 【例题4】（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题可得，当时，， 即曲线在点处的切线斜率，所以所求切线方程为． 故答案为： 【变式4-1】（24-25高二上·福建三明·期末）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【解析】函数的定义域为，由在点处的切线方程是 得切线斜率为2，，由曲线，得， 故，解得，又因为，故， 所以， 故答案为： 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 则， 所以， 又， 所以的图象在处的切线方程为，即，故选：A. 【变式4-3】（24-25高二下·吉林松原·期中）已知函数的图象在点处的切线的方程为，且点在上，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得.故选：B. 题型五 曲线“过”某点的切线问题 解｜题｜技｜巧 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【例题5】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为.故选：D. 【变式5-1】（24-25高二下·北京通州·期中）过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为.故选：C 【变式5-2】（24-25高三上·安徽·期末）过点作曲线的切线l，则l的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确.故选：C. 【变式5-3】（23-24高二下·云南玉溪·期末）过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（    ） A．不存在 B．-1 C．3 D．3或-1 【答案】D 【解析】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或-1．故选：D 题型六 两曲线的公切线问题 解｜题｜技｜巧 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解． 或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解．具体步骤如下所示： （1）设公切线与两曲线的切点，分别写出切线方程； （2）根据公切线斜率、截距相等，建立方程组求解切点横坐标； （3）含参问题需分类讨论解的个数，最后验证结果合理性． 【例题6】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为.故选：C. 【变式6-1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）若圆与曲线的公切线经过，求 ． 【答案】 【解析】由题知，公切线斜率存在，设公切线方程为， 则到公切线的距离等于半径， 即，解得， 所以公切线方程为， 对于，设切点为， 所以， 则可得，解得. 故答案为： 【变式6-2】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则 ． 【答案】 【解析】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 【变式6-3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 题型七 原函数与导函数的图象问题 答｜题｜模｜板 1、抓核心关联：导数符号与原函数单调性 导函数对应原函数单调递增，对应原函数单调递减； 导函数的点是原函数的极值点（需验证两侧符号是否变化）． 2、看特殊点：导数的几何意义与原函数切线 导函数在某点的函数值等于原函数在该点的切线斜率；原函数的最值点对应导函数的零点（且两侧符号改变）． 3、析趋势变化：导函数单调性与原函数凹凸性 导函数单调递增，则原函数的切线斜率递增，函数图像呈凹状； 导函数单调递减，则原函数呈凸状． 【例题7】（24-25高二下·天津·期末）设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图象知，，的图象为增函数，则，故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误.故选：A 【变式7-1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由导函数图象可知，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， D正确，其他选项不合题意. 故选：D 【变式7-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故函数的图象如图D．故选：D 【变式7-3】（24-25高二下·河北保定·月考）（多选）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【解析】由题意知与轴有三个交点， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减， 在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误．故选：AC． 题型八 利用导数求函数的单调性 解｜题｜技｜巧 含参函数单调性讨论依据 （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论． 易错点：含参函数分类讨论时，遗漏参数的临界取值（如极值点恰好落在区间端点的情况），导致解题不完整． 【例题8】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式8-1】（24-25高二下·新疆喀什·期末）（多选）函数在下列哪个区间单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】函数的定义域为，， 因为，由得或， 因此函数的增区间为、.故选：BD. 【变式8-2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式8-3】（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或；(2)答案见解析 【解析】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型九 由函数的单调性求参数 解｜题｜技｜巧 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 【例题9】（24-25高二下·天津·期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】定义域为，，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为在区间上是单调减函数，所以， 所以，所以，所以实数的取值范围为. 【变式9-1】（24-25高二下·湖北·期末）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】依题意知，当时，，只有两个单调区间，不符合题意， 则当时，， 因函数恰有三个单调区间，即恰有两个极值点，故必有两个不相等的零点， 则，解得且， 故答案为：. 【变式9-2】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型十 导数构造法解函数不等式 解｜题｜技｜巧 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 【例题10】（24-25高二下·河南南阳·期末）定义在上的偶函数的导函数为，当时，恒有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】构造函数，则， 当时，恒有，即在上单调递增. 是偶函数，是偶函数，为偶函数， 在上单调递减. 又，即， ，解得或.故选：C. 【变式10-1】（24-25高二下·四川广元·期中）设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令， ∵函数在上是可导的偶函数， ∴在上也是偶函数 又当时，，∴， ∴， ∴在上是增函数 ∵， 由得，即不等式转化为， ∴x不为0时有， 而x为0时，不等式显然成立，∴不等式的解集为.故选：C. 【变式10-2】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 【变式10-3】（24-25高二下·四川达州·期末）定义在上的函数，且，对，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， 构造， 所以， 所以在上单调递减，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为.故选：B. 题型十一 利用导数求函数的极值或极值点 解｜题｜技｜巧 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【例题11】（24-25高二下·四川绵阳·期末）函数的极小值为 ． 【答案】 【解析】由题意有的定义域为，所以， 令有，由有，有， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为. 【变式11-1】（24-25高二下·青海西宁·期末）函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确.故选：C. 【变式11-2】（24-25高二下·海南·期末）函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题，令， .得在上单调递增，在上单调递减. 则函数的极小值点为.故选：B 【变式11-3】（24-25高二下·广东·期末）函数的极小值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对函数求导得，. 令，则或. 若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极小值点是.故选：C. 题型十二 由函数的极值求参数 解｜题｜技｜巧 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路： 根据函数的极值点个数求解参数范围问题的一般思路先求解出，然后分析的根的个数：①分类讨论法分析的根的个数并求解参数范围；②参变分离法分析的根的个数并求解参数范围；③转化为两个函数的交点个数问题并求解参数范围． 【例题12】（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：.故选：A. 【变式12-1】（24-25高二下·北京房山·期末）已知在处有极大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意， 已知在处有极大值， 所以是的变号零点， 显然， 若，则， ，， 所以此时在单调递增，在单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时，或，， 所以此时在上单调递增，在上单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时， （i）当时，， 或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极大值，故满足题意， （ii）当时，，等号成立当且仅当， 此时在上单调递减， 即此时在处无极大值，故不满足题意， （iii）当时，， 或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极小值，故不满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式12-2】（24-25高二下·河南周口·期末）已知函数在处取得极值0，则b= ． 【答案】 【解析】由题设，则，且， 所以代入，得，则， 所以或， 当，则，有恒成立， 显然是拐点，不是极值点，不符合； 当，则，有， 所以或时，时，易知是一个极值点，符合； 综上，. 【变式12-3】（24-25高二下·天津·期末）若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 要使在上有两个极值点，则在上在上有两个不相等实数根， 令，由，则. 令；故， 由图象如下： 当或时，此时无实数根，不符合题意， 当，函数在时与只有一个交点，对应的值有两个，符合题意； 当时，无变号零点，不合题意； 而，对应的值有1个，故不为0. 故答案为： 题型十三 利用导数求函数的最值 解｜题｜技｜巧 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点． 【例题13】（24-25高二下·云南保山·期末）已知，则有（    ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【解析】设，求导得：， 当时，，所以函数在区间内单调递减． 因此，函数在处取得最大值为.故选：A． 【变式13-1】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）函数，的最大值为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【解析】由题意 ， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数，的最大值为.故选：B. 【变式13-2】（24-25高二下·福建福州·期末）设函数，，则的最小值和最大值分别为（    ） A．，0 B．， C．， D．0， 【答案】C 【解析】,, 时，，此时函数单调递增， 时，，此时函数单调递减. ，， 的最小值和最大值分别为，，故选：C 【变式13-3】（24-25高二下·福建漳州·期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1)的单调递增区间为，；(2). 【解析】（1）因为， 所以， 由，可得或， ，的变化情况如下： 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以函数的单调递增区间为，； （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以为极大值点，为极小值点， 又，，，， 所以在上的值域为. 题型十四 由函数的最值求参数 解｜题｜技｜巧 1、先对函数求导，分析函数的单调性与极值点，结合定义域画出函数的大致走势，明确最值的可能取点（极值点或区间端点）； 2、分情况讨论参数对函数单调性、极值点位置的影响，列出不同情况下的最值表达式，再根据已知最值建立关于参数的方程或不等式求解； 3、求解后需回代验证，确保所求参数值符合对应的分类讨论前提，避免出现增根． 【例题14】（24-25高二下·福建三明·月考）若函数有最大值，则实数的值是（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】，    令，得临界点（因，舍去）， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时无最大值， 当时，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又因为， 所以，满足题意，故选：. 【变式14-1】（24-25高二下·上海·月考）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，，得， 则实数的取值范围是. 故选：B 【变式14-2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即.故选：B． 【变式14-3】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值， 需满足，解得.故选：C 题型十五 导数与函数的零点综合 解｜题｜技｜巧 利用导数确定函数零点的常用方法 1、图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极（最）值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需要使用极限）； 2、利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数． 【例题15】（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 【变式15-1】（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数．若方程有3个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据题意可得，所以． 因为在上单调递增，且，所以， 则．令，则与有三个交点， ， 当-3时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增．当时，， 画出的大致图象，如图所示，所以的取值范围为． 【变式15-2】（24-25高二下·广东茂名·期末）已知函数. (1)求的单调区间及最值； (2)设，讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，的最小值为，没有最大值. (2)答案见解析 【解析】（1），令，解得. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，取最小值为，没有最大值. 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 且的最小值为，没有最大值. （2），由（1），可知在上递增，而，. 根据k的不同取值，分情况讨论： ①当时，对于，由于，则恒成立，故没有零点. ②当时，由的单调性，可知存在唯一，使，故有唯一零点. ③当时，由，即恒成立，故没有零点. 综上，当时，在上没有零点. 当时，在上有1个零点. 【变式15-3】（24-25高二下·内蒙古乌兰察布·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）函数， 则，，解得， 所以的解析式为. （2），， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 题型十六 导数与不等式综合 解｜题｜技｜巧 1、一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）， （2）， （3）， （4）， 2、一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有成立，故． 【例题16】（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由对恒成立， 即对恒成立， 当时，不等式为恒成立， 当时，即为恒成立， 设，，则， 设，， 则， 所以函数在上单调递减，则， 即，所以函数在上单调递减， 而时，，且时，， 则时，， 所以时，，则. 综上所述，实数的取值范围是.故选：C. 【变式16-1】（24-25高二下·海南海口·期末）（多选）若对恒成立，则k的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【解析】由得，所以， 令，则， 令，， 由题意可知恒成立． 设与图象相切且与直线平行的直线为，切点， 所以，，即，切点， 又因为，过点， 由，解得， 由恒成立得，CD正确．故选：CD 【变式16-2】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)0；(2)证明见解析 【解析】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 【变式16-3】（24-25高二下·陕西榆林·期末）已知． (1)证明：； (2)若在上恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）证法1：设，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此，即，故原不等式成立. 证法2：要证，即证. 设，则，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，故原不等式成立. （2）解法1：因为在上恒成立，所以在上恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 因此的最小值为. 解法2：设，则在上恒成立，． 若，与已知矛盾，舍去． 若，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据导数的几何意义，如图， 分别表示在点处切线的斜率，又因为 由图可知故选：B. 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为．故选：B. 3．（24-25高二下·广东湛江·期末）（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【解析】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确．故选：CD． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于， 设此时，，，则此时点处的切线斜率， 因为，所以，解得，，， 综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小， 最小距离为.故选：B. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为 ． 【答案】或 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 3．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值；(2)答案见解析. 【解析】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【解析】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 2．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则 【答案】 【解析】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【解析】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确；故选：ACD. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $