统计与统计案例讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦统计与统计案例高考核心考点，按考向系统整合抽样方法、统计图表、回归分析等内容，构建知识网络。通过核心知识梳理、典例精讲提炼方法、拓展提升分层训练的教学流程，帮助学生突破数据处理与模型应用难点，体现复习系统性与针对性。 资料突出高考实战导向，以数学思维设计真题演练，如回归分析中通过换元转化非线性模型，培养数据观念。分层练习覆盖基础与综合应用，配合详细解析，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

【二轮复习—概率统计】 夯基专题19 统计与统计案例 【核心知识】考向一 统计 考点一：抽样方法 类别 共同点 各自特点 联系 适用范围 简单随机抽样 ①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等； ②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样 从总体中逐个抽取 总体个数较少 分层 抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时，采用简单随机抽样 总体由差异明显的几部分组成 考点二：统计图表 1. 频率分布直方图中的常见结论 (1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． (2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． (3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 2.统计图表问题的解决方法 ⑴首先要准确地识图表，即要明确统计图中纵轴、横轴及折线、区域等所表示的意义，尤其注意数字变化的趋势等； ⑵其次要准确地用图，会根据统计图中的数字计算样本的数字特征，会用统计图估计总体. 考点三：利用样本的数字特征解决优化决策问题 依据：①平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． ②用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 【典例精讲】 例1.(2025·广东省佛山市·月考试卷)在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 例2.(2025·安徽省芜湖市·联考题)在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况如图所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘最小值和上边缘最大值，中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数异常值是明显偏离样本的个别值已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是(    ) A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是 C. 一班有同学的成绩超过分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【拓展提升】 练1-1.(2025·福建省福州市·月考试卷)某运动员在一次训练中共射击次，射击成绩单位：环如下：，，，，，则下列说法正确的是(    ) A. 成绩的极差为 B. 成绩的第百分位数等于成绩的平均数 C. 成绩的中位数为和 D. 若增加一个成绩，则成绩的方差不变 练1-2.(2025·北京市·月考试卷)某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案：方案每日底薪元，每销售一单提成元；方案每日底薪元，销售的前单没有提成，从第单开始，每完成一单提成元该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据分为、、、、、、七组，整理得到如图所示的频率分布直方图． 求直方图中的值； 若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出日工资方案的选择，并说明理由同组中的每个数据用该组区间的中点值代替； 假设该销售员选择了你在中所选的方案，已知公司现有销售员人，他希望自己的收入在公司中处于前名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？ 练1-3.(2025·湖北省·联考题)校和校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取名校学生和名校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为，组数为，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系为组数序号，关于校学生成绩的频率分布直方图如下图所示纵轴为，假定每组组内数据都是均匀分布的． 求的值 若校准备给前名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生 现在设置一个标准来判定某一学生是属于校还是校，将成绩小于的学生判为校，大于的学生判为校，将校学生误判为校学生的概率称为误判率，将校学生误判为校学生的概率称为误判率，误判率与误判率之和称作总误判率，记为若，求总误判率的最小值，以及此时的值． 【核心知识】考向二 统计案例 考点一：回归分析 1.判断两组数据是否具有线性相关关系的方法：散点图，相关系数． 2.相关指数与相关系数在含有一个解释变量的线性回归模型中是等价的量，都是用来判断线性回归模型拟合效果好不好的量． 3.利用图表和数字特征可以对数据做简单的分析，但是用回归直线方程可以对数据的未来值进行预测． 4.利用换元法，可以将一元非线性回归转化为线性回归． 考点二：独立性检验 1.明确两类主体，及明确研究的两个问题. 2. (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式，计算的值； (3)查表比较与临界值的大小关系，作统计判断. 【典例精讲】  例3.(2025·山东省·联考题)北京冬奥会的举办掀起了一阵冰雪运动的热潮．某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”做了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰．若根据独立性检验的方法，有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为(    ) 参考公式：，其中 参考数据： A. B.   C.   D. 例4.(2025·安徽省·月考试卷)（多选）在对具有相关关系的两个变量进行回归分析时，若两个变量不呈线性相关关系，可以建立含两个待定参数的非线性模型，并引入中间变量将其转化为线性关系，再利用最小二乘法进行线性回归分析．下列选项为四个同学根据自己所得数据的散点图建立的非线性模型，且散点图的样本点均位于第一象限，则其中可以根据上述方法进行回归分析的模型有(    ) A. B. C. D. 【拓展提升】 练2-1.(2025·浙江省·月考试卷)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更符合大众所需，现选择名志愿者对其身高和臂展单位：厘米进行测量，图为名志愿者身高与臂展的折线图，图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归直线方程为，以下结论正确的是(    ) A. 名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B. 名志愿者的身高和臂展具有正相关关系 C. 可估计身高为厘米的人臂展大约为厘米 D. 身高相差厘米的两人臂展都相差厘米 练2-2.(2025·山东省济南市·模拟题)某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图． 根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联． 性别 是否喜欢排球运动 总计    是 否 男生 女生 总计 将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为，求使得取得最大值时的值． 附：，其中． 练2-3.(2025·河南省洛阳市·联考题)随着智能网联汽车应用服务的推陈出新，智能网联汽车规模持续上升，下表为中国智能网联汽车应用服务市场的规模及预测表中年的数据为预测规模． 年份 年份代码 市场规模单位：千亿元 小张同学根据上表数据求得关于的经验回归方程为，小王同学利用散点图发现，点的分布更像模型，利用变换，可将转换为线性模型，根据下面提供的数据及公式求出该回归方程； 利用相关系数可以判断两变量间线性相关性的强弱，越大，线性相关性就越强，且当时，则认为经验回归方程有价值，否则无价值用相关系数比较两模型哪一个更有价值？ 参考公式：，，． 参考数据：，，，，其中 【答案解析】 例1.解：中，平均数为， 标准差为， 同理可得中，平均数为，标准差为， 中，平均数为，标准差为， 中，平均数为，标准差为， 故选B． 例2.解：对于选项， 从图可知，一班的箱体高度比二班的箱体高度高，说明二班成绩比一班成绩集中，故A错误； 对于选项，从图可知一班成绩的上四分位数约是，故B错误； 对于选项，从图可知一班有同学的成绩超过分，故C正确； 对于选项，从图可知一班的平均分等于二班的平均分，故D错误． 故选：． 练1-1.解：成绩的极差为，故A错误； 成绩的百分位数为， 成绩的平均数为，故B正确； 中位数为，故C错误； 原成绩的方差为， 若增加一个成绩，则平均数不变， 则方差变为，故D错误． 故选：． 练1-2.解：根据题意可得 ， ； 根据题意可得销售员的每日人均业务量的平均数估计为： 单， 方案的日工资为元； 方案日的工资约为元元， 新聘销售员应选择方案； 公司现有销售员人，又该销售员收入在公司中处于前名， 该销售员的每日的平均业务量应该超过的销售员， 即该销售员的每日的平均业务量应该至少应达分位数， 频率分布直方图中，前几组的频率依次为，，，，，， 分位数在内， 且为， 该销售员每日的平均业务量至少应达单．  练1-3.解：由频率之和为，故之和为，，解得： 根据校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为，则，解得， 所以应该奖励分以上的学生 ，则时，， 时，， 由的单调性知，当，最小，此时，所以总误判率最小为，此时．  例3.解：设男生人数为，则女生人数为，且， 可得列联表如下： 男生 女生 合计 喜欢滑冰   不喜欢滑冰   合计 所以， 因为有的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关， 所以，解得， 所以，结合选项只有C正确． 故选：． 例4.解：对于、可转化为：， 令，则，符合题意，A正确； 对于、， 若，，则可令，即，符合题意，B正确； 对于、由，令，则，即，符合题意，C正确 对于、散点图的样本点均位于第一象限，， 取自然对数可得，令，则，由于的系数确定了，不能用最小二乘法进行回归分析了，故D错误． 故选ABC． 练2-1.解：对于，身高的极差大约为厘米，臂展的极差大约为厘米，故A正确； 对于，由散点图以及回归直线知，身高矮一些，臂展就会短一些，身高高一些，臂展就会长一些，故B正确； 对于，身高为厘米，由回归直线方程得到臂展厘米，大于厘米，故C错误； 对于，由回归直线方程得身高相差厘米的两人臂展的估计值相差厘米，但并不是准确值，回归直线上的点并不都是准确的样本点，故D错误． 故答案为：． 练2-2.解：由等高堆积条形图知喜欢排球运动的男生有， 不喜欢排球运动的男生有， 喜欢排球运动的女生有，不喜欢排球运动的女生有， 所以列联表为 性别 是否喜欢排球运动 总计 是 否 男生 女生 总计 零假设为：性别与喜欢排球运动无关， 根据列联表中的数据得， 所以依据的独立性检验，可以推断不成立， 即性别与喜欢排球运动有关联； 由知，喜欢排球运动的频率为，所以随机变量， 则， 令 解得， 因为，所以当时，取得最大值． 练2-3.解：将两边取对数，得， 令， 由题意得，，， 所以， 则， 所以，即， 故； 当回归直线方程为时， ， 故， 所以， 则该经验回归方程有价值， 当回归直线方程为时， 因为，， 所以， 则经验回归方程有价值， 又，所以模型更有价值．  共10页/第4页 学科网（北京）股份有限公司 $