专题：三角函数的范围、最值问题讲义-2026届高三数学二轮复习

该高中数学讲义聚焦三角函数范围与最值这一高考核心专题，涵盖三角函数式的最值或范围、与性质有关的参数范围、三角形中量的最值或范围三大考点。按“方法储备-典例精讲-拓展提升”逻辑架构，通过考点梳理明确解题策略，典例精讲示范高考真题解法，分层练习巩固方法，帮助学生系统突破难点。 资料突出高考实战导向，以2025年多省市模拟题为例，如扇形内平行四边形面积最值问题，引导学生用数学眼光抽象模型，用数学思维推理参数范围。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合方法总结与易错点提示，高效培养学生解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

【二轮复习—三角函数、平面向量与解三角形】 提高专题8 三角函数的范围、最值问题 【方法储备】探究一 三角函数式的最值或范围 求三角函数式的最值或范围问题 (1)把三角函数式正确地化简成单一函数形式; (2)根据所给自变量的范围正确地确定 x+ 的范围,从而根据三角函数的单调性求范围. 【典例精讲】 例1.(2025 安徽省 期末考试)为了某手工制作活动,需要在半径为,圆心角为的扇形纸片的内部裁剪出一平行四边形,如图所示,则这个平行四边形的面积最大值为 . 解:如图,分别过,作于点,于点, 则四边形为矩形. 设, 由扇形半径为,圆心角为, 得,, 则, 则平行四边形的面积为 , 故当时,, 故答案为. 例2.(2025 山东省日照市 联考题)已知函数的部分图象如图所示.为图象的最高点,为图象与轴的交点,点,且为正三角形. 求函数的解析式及其单调递增区间; 当时,求函数的最值. 解:为图象的最高点,点的纵坐标,即的高为, 为正三角形,, 又,. ,, 则,即, ,.. 令,解得, 函数的单调递增区间为. 当时,, 当,即时,取得最大值; 当,即时,取得最小值. 综上,函数的最大值,最小值. 【拓展提升】 练1-1.(2025 江苏省连云港市 模拟题)函数的最小值为 . 解:由, 所以为函数的一个周期, 当时,则,, 由得, 所以,所以; 当时,则,, 由得, 所以,所以, 综合以上两种情况,函数的值域为, 所以函数的最小值为. 故答案为:. 练1-2.(2025 广东省 联考题)如图,已知函数其中,,的图象与轴交于点,与轴交于点,,,,则函数在上的值域为 . 解:由题意可得:,又, ,, ,,,, ,, 把代入上式可得:,, 解得,可得周期, ,,解得, ,,解得, 函数, 因为时, , 所以, 所以. 故答案为: . 【方法储备】探究二 与三角函数性质有关的参数范围 与三角函数性质有关的参数问题,主要分为三类,其共同的解法是将y=Asin( x+ )中的 x+ 看作一个整体,结合正弦函数的图象与性质(对称性、奇偶性或单调性)进行求解. 考向1:由最值(或值域)求参数的范围 考向2:由单调性求参数的范围 考向3:由对称性求参数的范围 考向4:由函数的零点求参数的范围 【典例精讲】 例3. (2025 湖北省 联考题) 已知函数的一条对称轴为,且在区间上值域为,则实数的最大值为( ) A. B. C. D. 解: 因为的一条对称轴为, 所以,则,因为, 所以.则, 当时, 因为在区间上值域为,则,所以, 则实数的最大值为. 故选D. 例4. (2025 广东省 模拟题) 已知函数在区间上的最大值为,则实数的取值个数最多为( ) A. B. C. D. 解:函数在区间上的最大值为, 当,即时,的最大值为,解得; 当,即时,的最大值为, 令,,作出图象如图所示, 由图象可知,,的图象有两个交点,, 所以方程有两个实根,,又,所以, 所以此时存在一个实数满足题意, 综上所述,存在两个正实数满足题意. 故选:. 例5.(2025 浙江省 模拟题) (多选)设函数 向左平移个单位长度得到函数,若在上恰有个零点,个极值点,则下列说法正确的是( ) A. 在上单调递减 B. 的取值范围为 C. 若的图象关于直线对称,则 D. 在区间上存在最大值 解:由题意, 当,, 在上恰有个零点,个极值点, 则,解得:,故B正确; 当时,若,则,结合正弦函数单调性, 可知函数在上不单调,故A错误; 对于,若的图象关于直线对称, 则,,故,, 又, 当时,,故C正确; 对于, , 令,得, ,, 当时,,而 故在区间上存在最大值, D正确; 故选BCD. 【拓展提升】 练2-1.(2025 海南省 模拟题) 已知,是函数的两个零点,且的最小值为,若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称,则的最大值为( ) A. B. C. D. 解:由题意知函数的最小正周期,则,得, . 将函数的图象向左平移个单位长度, 得到的图象, 要使该图象关于原点对称,则,, 所以,, 又,所以当时,取得最大值,最大值为. 故选:. 练2-2.(2025 山东省 模拟题) 已知函数在区间上单调递增,且在区间上只取得一次最大值,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解:由, 当时,, 由在区间, 上只取得一次最大值, 所以 ,得 , 当时,, 由 ,得 , 在区间上单调递增, 即,解得 综上所述,, 故选B. 练2-3. (2025 河北省 模拟题) (多选)已知函数的最小正周期为,且满足,,,若在上有三个不同的零点,则的取值可以是( ) A. B. C. D. 解:因为,所以,得, 因为,所以为的零点, 即,, 因为,所以为图象的一条对称轴, 即,, 所以,, 即,, 又,所以,当时,, 所以,, 因为,所以,所以, 由题意在上有三个不同的零点,即与在上有三个交点, 由,得, 设,则,,其图象如下, 由图象可知. 故选ABC. 【方法储备】探究三 三角形中有关量的最值或范围 三角形中的最值、范围问题的解题策略: (1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围. (2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式. (3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 【典例精讲】 例6. (2025 浙江省 同步练习)在中,若,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解:由题意得 , 故选B. 例7. (2025 广东省惠州市 月考试卷)在锐角中,角,,的对边分别是,,,且. 求角的大小; 求的取值范围. 解:因为,所以, 因为,所以, 所以, 即, 因为,所以, 所以,即, 因为,所以; 因为,所以,所以, 则, 因为是锐角三角形, 所以,解得, 所以,所以,则, 即的取值范围是. 【拓展提升】 练3-1.(2025 湖北省黄冈市 月考试卷)如图,在边长为的正方形中,,分别为边,上的点不包含端点若的周长为,则的最大值是 . 解:如图,延长到点,使得,连接, 易证,则,,故. 设,,则,,. 因为的周长为, 所以, 所以. 因为,所以. 因为,所以, 所以. 设,则. 因为, 所以,, 则 因为,所以, 所以, 所以, 则的最大值是. 练3-2. (2025 浙江省杭州市 模拟题)(多选)中,是的中点,,则以下结论一定正确的是( ) A. 的最大值是 B. C. 面积的最大值是 D. 的最大值是 解::, ,即的外接圆半径为, 所以的最大值为直径,故A正确; :仅根据已知条件无法确定一定大于等于,故B错误; 如图,以的外接圆圆心为原点, 的垂直平分线为轴建立直角坐标系, , 由图可知,当时,取的最大值, 又是的中点,, 所以面积的最大值是,故C正确; 设, ,, 则 , , 所以当,即时,取得最大值,故D正确; 故选:. 共11页/第11页 学科网(北京)股份有限公司 $