精品解析：黑龙江省哈尔滨市工业大学附属中学2025-2026学年九年级（五四学制）上学期12月考试数学试题

6学科网 命组卷网 九年级数学学科学情检测 考生须知： 1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟. 2.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸上、试题纸上答题无效. 4.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、字迹清楚， 5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀. 第I卷选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1.实数V6的相反数是() A.6 B.6 c.-V6 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数，根据相反数的定义即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键. 【详解】解： 的相反数为V6 故选：C, 2.剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中属于轴对称图形的是() 第1页/共36页 6学科网命组卷网 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知轴对称图形的概念是关键： 根据轴对称图形的定义：将一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图 形就叫做轴对称图形，逐项判断即可： 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意： C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意： 故选：A 3.下列计算正确的是() A.ata=a B.a.a-as c.（a2)）'=a D.a2÷a3=a 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方.需逐一分析 各选项的正确性. 【详解】解：A.口与“不是同类项，无法直接相加，故该选项不符合思意 Ba2a3=a23=a≠a ，原计算错误，故该选项不符合题意： C.(-a2)=(-(c2)=-a,原计算错误，故该选项不符合题意， D42÷心=aP=a原计算正确，故该选项符合思态 故选：D 第2页/共36页 命学科网 命组卷网 4.中国的领水面积约为370000km,将数370000用科学记数法表示为() A.37×104 B.3.7×104 C.0.37×105 D.3.7×10 【答案】D 【解析】 【分析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中l≤a<10,n为整数.确定n的值时，要 看把原数变成ā时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数； 【详解】解：370000=3.7×10 故选D 【点睛】本题考查科学记数法一表示较大的数 5.在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”.将这6张牌背面朝上，从中任意 抽取1张，是“红桃”的概率为() 1 2 A.6 B.3 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算可得. 1 【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为6， 故选A. 【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数所有可能出现的 结果数 △ABC A △AB'C' BB' 6.如图， 为钝角三角形，将 ABC 绕点“逆时针旋转130°得到 ,连 BB,若 AC'∥B ,则CMB 的度数为() 第3页/共36页 命学科网 命组卷网 A.75 B.85° C.959 D.105c 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得∠BAB'=∠CAC'=130°，AB=AB',根据等边对等角和三角形的内角和定理 求出∠AB'B,然后根据平行线的性质即可求出∠CAB',从而求出结论. △ABC △AB'C 【详解】解：将 绕点“逆时针旋转130°得到 .∠BAB'=∠CAC'=130°，AB=AB .∠ABB=∠AB'B=2(180°-∠BAB')=25 .AC'l/BB' ∴.∠C'AB'=∠AB'B=25 .∠CAB'=∠CAC-∠CAB'=105 故选D 【点睛】此题考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握旋转的性质、等腰三角形的 性质和平行线的性质是解决此题的关键. 35,36,38,40,42,42,75 7.有一组数据： ·这组数据的中位数是() 39 A. B40 C41 D42 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义：一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序依次排列处在中间位置的一个数或 最中间两个数据的平均数叫做中位数，即可得出结论 【详解】解：这组数据的中位数是40 故选B. 第4页/共36页 命学科网命组卷网 【点睛】此题考查的是求一组数的中位数，掌握中位数的定义是解决此题的关键， 8.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个 圆点，第④个图中有16个圆点..按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是() ●●●p● ●●●●● ● ● ● ●●● ●0●●●●●●● ① ② ③ ④ A.32 B.28 C.24 D.20 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色 圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入=6计算即可， 解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律. 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第n个图案中有4n个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是4×6=24个， 故选：C 9.如图，点F时平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E,则下列结论错误的 是() D 第5页/共36页 6学科网 组卷网 ED DF DE EF BC BF BF BC A.EA AB B.BC FB C.DE BE D.BE AE 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC,AB∥CD,进而证明△EDF∽△EAB, △EDF∽△BCF ,根据相似三角形的性质即可得到答案， 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB∥CD, .△EDF∽△EAB,△EDF∽△BCF, ED DF EF DE EF .EA AB BE,BCFB,故A、B不符合题意，C符合题意； ,EF=ED·BE EA, DEED·BE BF BC BC FB.EA,即BEAE,故D不符合题意； 故选C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明△EDF∽△EAB, △EDF∽△BCF 是解题的关键. 10,函数一X+2r+6的图象与×轴两个交点的横坐标分别为，，且>1，五-=4，当 1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是() A.l=2b+5 B.=4b+8 C.m=6b+15 D.m=-b2+4 第6页/共36页 学科网 命组卷网 【答案】C 【解析】 【分析】由韦达定理得：=6，而名一=4，求出、的值，函数的对称轴为直线=2 (:+)_V5<3,故当1s3时，函数在x3时，取得最小值，即可求解： 【详解】解：厨数》=子+2+6的图案与轴两个文点的横华标分则为于，王 x为=6龙2-x=4 解得：x=10.2,七-2+V10 .龙+x=-2b b=.V10 函数的对称辅为直线=（伤+x)-3<3 故当1S≤3时，函数在x3时，取得最小值，即y=t+2br+615+6b, 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中根与系数的关系，借助韦达定理计算出方程中的未知系数，再根 据对称轴的位置得出最小值与b的关系， 第Ⅱ卷（非选择题共90分 二、填空题（每小题3分，共计30分） 1.计算v12-V3 的结果是一 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 第7页/共36页 学科网命组卷网 【详解】 12-V3=23-√3=V5 【点睛】考点：二次根式的加减法。 3 y= 12.函数x-6中，自变量x的取值范围为 【答案】x≠6 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据 此求解即可. 3 【详解】解：：少= x-6有意义， .x-6≠0， .x≠6， 故答案为：x≠6」 13把多项式b-a 解因式的结果是 【答案】 a(b+1)(6-1) 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键 根据题意，运用提取公因式法，公式法分解因式即可， 【详解】解：ab-a=a(6-)=a(b+)(b-) 故答案为： a(b+1)(b-1) 14.若一个扇形的圆心角为120°，半径是3，则这个扇形的面积是 (结果保留π) 第8页/共36页 6学科网 6组卷网 【答案】3π 【解析】 nar2 【分析】本题考查了扇形的面积公式，根据扇形的面积公式360°计算即可. 【详解】解：一个扇形的圆心角为120°，半径是3， 120°×32π :.这个扇形的面积是360° =3π 故答案为：3π. 15已知抛物线y=r-x- 与x轴的-个交点为m,0),则代数式m-m+2024的值为 【答案】2025 【解析】 (m,0) 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，代数式求值，首先把点 代入抛物线的解析式，可得 m2-m=1 ,再把 m2-m=1, 代入m2-m+2024 即可求得答案. 【详解】解：起点m,0代入抛物线的解析式y=--】 得m-m=1 .m2-m+2024=1+2024=2025 故答案为：2025 16.某商场对某种商品作调价，按原价8折出售，此时商品的利润率是10%，若商品的进价为1200元，则 商品的原价是 元. 【答案】1650 第9页/共36页 学科网命组卷网 【解析】 【分析】设商品的原价是x元，根据销售价格一进价=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可 得出结论. 【详解】解：设商品的原价是x元， 根据题意得：0.8x-1200=1200×10%. 解得：x=1650. 答：商品的原价是1650元 故答案为：1650 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键。 17.如图，四边形 ABCD ADIBC AB=6 BC=10 中， 下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长 度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于2的长为半径画弧： 两弧相交于点P;③作射线AP交BC于点G,则CG的长为一 【答案】4 【解析】 【详解】解：由作图可知，AG平分∠BAD, .∠BAG=∠DAG ADI BC 第10页/共36页 学科网命组卷网 .∠BGA=∠DAG, .∠BAG=∠BGA, .AB=BG=6. .BC=10. .CG=BC-BG=4. 18某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(P)是气球体积 V(m)的反比例函数.当V=1.2m时，p=20000Pa.则当V=-1.5m时，p= Pa. 【答案】16000 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为 k 24000 P= V,再代入数值求出k=24000,然后把V=1.5m3代入P= V,进行求解计算，即可作答. 【详解】解：“气球内气体的压强P(Pa)是气球体积P(m) 的反比例函数. “设这个反比例函数的解析式为P一立， k 把V=1.2m时，p=20000Pa代入P=7,得2 20000=飞 1.2, 解得k=24000. 24000 .p= 把y=1.5m3代入p=24000 第11页/共36页 6学科网 命组卷网 力 24000 =16000 1.5 故答案为：16000 19如图，AB是O0的直径，M、N是AB(异于A、B)上两点，C是M上一动点，∠ACB的角 ⊙OD∠BA 的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点V时，则C、E两点的 .C N 平分线交 于点， 运动路径长的比是 C M E 0 【答案】V2 【解析】 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，角平分线的定义，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定 理等等，如图，连接EB,连接DM交AE于G,连接DN交BE于F,设OA=r,求出∠ACB=9O°， 证明BE平分∠ABC,求出∠AEB=13S”,再证明∠ADB=90,AD=BD,则4D=V20A=V2r, 得到点B在以D为圆心，D1为半径的弧上运动，运动轨迹是GF,点C的运动轨迹是M, 据此根据弧 长公式求解即可. 【详解】解：如图，连接EB,连接DM交AE于G,连接DN交BE于F 设OA=r, 第12页/供36页 6学科网列组卷网 C M E D AB是直径， :∠ACB=900 :∠ACB 的角平分线交 0于点D,B1C 平分线 交CD于点E, .BE平分∠ABC, :∠EMB=CMB∠BA=∠CA .·∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°， ∴.∠EAB+∠EBA=45°， .∠AEB=135°： :∠ABD=∠ACD=∠ACB=45°∠BAD=∠BCD=∠ACB=45° 2 :∠ADB=90,AD=BD.则AD=V20A=V2r “点5在以D为圆心，D1为半径的弧上运动，运动轨迹是G矿，点C的运动轨迹是M狐 ∠MON=2∠GDF 第13页/供36页 6学科网命组卷网 ∴.设∠GDF=a,则∠MON=2a, 2a元r,a:mv2=2 M的长：GF的长=180180 故答案为： 20.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP=45°，点F 在射线DP上，且AB:DF=I:2,连接BF,交CD于点G,港接B、B队BG.下列结论：O sin∠BFE=V2 :@4+CG=BG:@Dr的面积最大值是2，③考4B-号4D 则点G是线 段CD的中点.其中正确结论的序号是 B 【答案】①③④ 【解析】 【分析】过F作FH⊥AD,交AD的延长线于点H,证明△DHF为等腰直角三角形，推出 AE=DH=HF,进而得到AB=EH,证明△BAE≌△EHF,推出△BEF为等腰直角三角形，进而得到 ∠BFE=∠EBF=45P,进而得到sin∠BFE=2 ,判断①；延长DC至点G,使CK=AE,连接 BK,证明 △ABE≌ACBK n△BEG≌BKG EG=KG=CG+CK=CG+AE ,再证明 ,得到 ,判断②； 第14页/供36页 6学科网列组卷网 设AE=x,则：DE=AD-AE=4-x,FH=AE=x,将△DEF的面积转化为二次函数求最值，判 DG=CD-CG=4-a,EG=CG+ME=a+3,在RUAEDG中，由勾股定理， 。4 断③：设CG=a,得 求出a的值，判断④即可. 【详解】解：过F作FH⊥AD,交AD的延长线于点H,则：∠FHD=9O°， :正方形ABCD,边长为4， :.∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°，AB=AD=BC=CD=4. .∠CDH=90°， .∠CDP=45°， .∠PDH=45°， .△DHF为等腰直角三角形， :DH=HF,DF=DH=HF AE:DF=1: DF =AE .AE=DH=HF, .AE+ED=DE+DH,即：AD=EH, .AB=EH, ∠A=∠H=90,AE=FH ∴.△BAE≌△EHF. 、∠ABE=∠FEH,BE=EF .∠ABE+∠AEB=∠FEH+∠AEB=90°，即：∠BEF=90°， 第15页/供36页 6学科网 组卷网 .∠BFE=∠EBF=45°， :sin∠BFE= 2 2，故①正确： 延长DC至点K,使CK=AE,连接BK, K :AB=BC,∠BCK=180°-∠BCD=90°=∠A, .△ABE≌aCBK, ∴.BE=BK,∠ABE=∠CBK, :.∠ABE+∠CBG=∠CBG+∠CBK=∠ABC-∠EBF=45° .∠GBK=45°=∠EBG, 又：BG=BG .△BEG≌ABKG, ..EG=KG=CG+CK=CG+AE. :EG=(CG+AE,故②错误： 设AE=x,则：DE=AD-AE=4-x,FH=AE=x, 第16页/供36页 6学科网6组卷网 ∴.△DEF的面积2 E阳=(4-=-2+2 ∴当x=2时，△DEF的面积最大为2；故③正确： 4 3, DE=AD-AE=8 3, 设CG=a,则： DG-CD-CG=4-a,EG-CG+AE=a+4 在RtAEDG中，由勾股定理， 得： (a*=4-r 解得：a=2, :CG=2-1CD 2 ∴点G是线段CD的中点；故④正确： 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直 角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键。 三、解答题（其中2122题各7分，23~24题各8分，2527题各10分，共计60分） 的值，其中x=2sin45°+cos60° 【答案】 1 √2 2x-1,4 第17页/供36页 6学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查“分式的化简求值”，特殊角三角函数的混合运算；熟练掌握分式的运算法则和特殊角 的三角函数是解题关键， 通过分式的化简法则化简式子，代入特殊角的三角函数值得到x的值，再代入x的值即可. 【124） 2x+1.4x2-1_2x+1x xxx（2x+1)(2x-1）2x-1, t=2sin45°+c0s60°=2xV2+1_2V2+1 22 2， 1V2 代入，得原式 2W2+1 2x 2W2+1-1224, 2 22.如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点均 在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中作图，作图过程用虚线，作图结果用实线，按照下列步骤完 成作图： D B (1)将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AE:画出线段AE； (2)点P在格点上，连接BP交CD于点M,满足PB⊥CD, (3)过点M作线段MN,满足MN∥BC,且MN=BC. 【答案】(1) 如图所示，线段AE即为所求； 第18页/共36页 命学科网命组卷网 D (2) B 如图所示，点P即为所求，满足PB⊥CD (3) 如图所示，线段MN即为所求，满足MN∥BC,且MN=BC. E D P P M 【解析】 【分析】本题考查格点作图，旋转的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌 握以上知识点是解题的关键。 (1)根据旋转的性质直接作图即可： (2)根据全等三角形的判定及性质，即可解答； (3)根据平行四边形的判定及性质，即可解答。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第19页/共36页 命学科网 6组卷网 略 【小问3详解】 略 23.某中学以小元同学所在班级为例，对该班学生最喜爱的各类运动项目的情况进行了调查统计（最喜爱 的项目只能选一项)，并把调查的结果绘制成了如下图所示的两种不完全统计图，请你根据信息回答下列 问题： 人数 30------- 3 8 20 篮球 跳绳 15 15 乒乓球 40% 10 10 5 其它 跳绳篮球乒乓球其它 运动项目 (1)小元所在的班级共有多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图： (3)如果该中学总计有1200名学生，请你估计全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有多少人. 【答案】(1)50 (2) 补全图形如下 人数 30 25 20 20 15 15 10 (3) 10 OL 跳绳篮球乒乓球其它 运动项目 600 【解析】 【分析】此题考查的是条形统计图和扇形统计图，结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息是解决此题 的关键。 (1)利用喜欢跳绳的人数除以其所占班级总人数的百分比即可求出结论： 第20页/供36页 命学科网组卷网 (2)利用班级总人数减去喜欢跳绳、乒乓球和其它的人数即可求出喜欢篮球的人数，然后补全条形统计 图即可； (3)先求出最喜欢参加篮球和最喜欢乒乓球所占百分比再乘1200即可. 【小问1详解】 解：20÷40%=50（名） 答：小元所在的班级共有50名学生 【小问2详解】 解：50-20-10-15=5（名） ∴.喜欢篮球运动的有5名学生. 【小问3详解】 5+20 1200× =600 解： 50 (人) 答：全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有600人. 24.【问题呈现】如图①，等边△ABC,AB=3,点MN分别在边AC、BC上，连接AN、BM交于 点D,连接MN,∠ADM=6O°，探究线段MN长度的最小值. 【问题分析】小刚通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运 动路径，进而解决上述几何问题， 【问题解决】如图②，过点C、M分别作MN、BC的平行线，并交于点P,作射线AP. 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： D 图① 图② 第21页/共36页 6学科网命组卷网 (1)如图①，求证：AM=CN: (2)如图②，请你求出线段MN长度的最小值. 【答案】(1) 证明：：△ABC为等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠C=60°， .∠ADM=60°， .∠ABM+∠BAD=60°， .'∠BAD+∠CAN=60°， .∠ABM=∠CAN, 在△ABM和△CAN中， ∠ABM=∠CAN AB=AC ∠BAM=∠C :.△ABM≌aCAW(SAS) .AM=CN 3 (2)2 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟 练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键， (1)根据等边三角形边的性质得到AB=AC，∠BAC=LC=60°，再由三角形外角和可推出 第22页/供36页 6学科网命组卷网 ∠ABM=∠CAN ABM≌ACAN ,即可证 ,从而得到结论： (2)由题可得四边形MNCP是平行四边形，再由结合(1)中结论得到∠CAP=∠MPA=30°，所以当 2AC3 CP= CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小，在Rt△ACP中，利用直角三角形的性质可解得2 02, 即可得到MN最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 MPI∥BC,CP∥MN 解：过点C、M分别作 :.四边形MNCP是平行四边形， :在等边△ABC中，AB=AC=3,∠C=60, :.∠PMC=∠C=60° 由(1)知，AM=CWN, .∠CAP=∠MPA=30°， 当CP⊥AP时，CP最小，此时MN最小， 在RtAACP中，AC=3,∠CAP=30°， 第23页/供36页 6学科网命组卷网 CP=AC=1x3=3 1 2, 3 ∴线段MN长度的最小值为2. 25.某公司购买了一批A型芯片和B型芯片，A型芯片单价比B型芯片单价少9元，已知该公司用6240元 购买A型芯片的个数与用8400元购买B型芯片的个数相等， (1)求该公司购买的A型芯片、B型芯片的单价各是多少元？ (2)若该公司购买A型芯片与B型芯片共计200个，且购买两种芯片的总费用不超过6010元，求该公司 至少购买多少个A型芯片？ 【答案】(1)A型芯片的单价为26元/个，B型芯片的单价为35元/个 (2)该公司至少购买110个A型芯片 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键， ①)设B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为K-9)元，根据该公司用6240元购买A型芯片的个 数与用8400元购买B型芯片的个数相等，列出分式方程，解方程即可： (②)设该公司购买a个A型芯片，则购买(200-a)个B型芯片，根据总价=单价×数量即可得出关于口的 一元一次不等式，解之即可得出结论： 【小问1详解】 解：设B型芯片的单价为x元，则4型芯片的单价为(x-9)元。 62408400 根据题意得：x-9x, 解得x=35, 经检验，x=35是原方程的解，且符合题意， ∴.x-9=26. 答：A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元： 第24页/供36页 6学科网命组卷网 【小问2详解】 设该公司购买a个A型芯片，则购买(20-a)个B型芯片， 26a+35(200-a)≤6010 根据题意得： 解得：a≥110. 答：该公司至少购买110个A型芯片 26已知点A、B、C均在O0上，AB=AC,点D为AB上一点，连接CD,过点A作4E∥CD,交 AC于点E,连接BE交CD于点F Q E D D ●O B 图1 图2 图3 (1)如图1，弦CD不经过圆心O,求证：AE=DF; (2如图2，弦CD为o0的直径，连接4C,0G1MC于点G,求证：BF=2,0C CD.⊙O (3)如图3，在(2)的条件下，延长OG交CE于点P,连接BA并延长至点P,连接P9,若 CF:0G=4:V5,半径为6N2,∠Q+∠4CB=90°，求线段P的长 【答案】(1) 证明：连接AD, 第25页/供36页 命学科网命组卷网 ●O B-Ac .∠AEB=∠ADC, :AE∥CD, .∠ADC+∠DAE=180°， .∠AEB+∠DAE=180°， AD∥EF, ∴四边形ADFE是平行四边形， .AE=DF (2) 证明：连接AD, A ---- D 0 ,DC为直径，O为圆心， .O为DC中点， OG⊥AC, ..AG=GC. .G为AC中点， 第26页/共36页 6学科网 6组卷网 .OG为△DAC的中位线， .AD=20G. 由(1)得四边形ADFE是平行四边形， .AD=EF, ..EF =20G: (3)6V2+2V6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的相关性质（如弧、弦、圆周角之间的关系，垂径定理）、平行线的性质、全 等三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角函数的应用等相关知识 (1)通过圆周角性质，结合平行线性质.证出四边形ADFE是平行四边形，即可证出. (2)利用垂径定理得到G为AC中点，再根据圆的性质和三角形中位线定理来证明四边形ADFE是平行 四边形，即可证出EF与OG的数量关系」 (3)先根据已知的线段比例关系和圆的半径求出相关线段长度，再利用角度关系找出特殊三角形，最后 PO 通过相似三角形求出的长度， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接MP、BC、OA,过E点作EK LDC于K,过A点作 AL1QP于L, 第27页/供36页 6学科网命组卷网 A :AE∥CD .∠EAC=∠ACD .AD=EC .AD=EC, 由(2)可知四边形ADFE是平行四边形，AD=2OG, .AD=EF EC=20G, :.△EFC为等腰三角形， :EK⊥FC, .KC-FC CF:0G=4:V3 设0G=v3a,CF=4n,则4D=i原=BC=20G=25n.KC-r0=2n 2 ,△EFC为等腰三角形， ∴.∠EFC=∠ECF, ,四边形ADFE是平行四边形， .∠EFC=∠D. 第28页/供36页 6学科网6组卷网 .∠ECK=∠D, :DC为直径，EK⊥DC, .△DACOACKE, AD KC 2n 1 ∴DCEC2V3nV, ”半径为6V2 :DC=122 AD 1 1225, 解得AD=4V6 0G=)4D=26.GP=0p-0G=65-26 在R△DAE中由勾股定理可知4C=VDC2-AD=22-6=8N5 .OG⊥AC. ÷46-4c=45 ,△ABC为等腰三角形， 、.∠ACB+∠CAO=90°，∠BA0=∠CA0, ∠9+∠ACB=90° ∠BAO=∠CAO=∠Q 第29页/供36页 命学科网命组卷网 OA∥P2 .∠OAP=∠LPA, ..OA=OP, .∠OAP=∠OPA, 在△APG和△APL中， ∠ALP=∠AGP=90° ∠APL=∠APG AP=AP :△MPG≌aAPL(AAS) GP=PL=6V2-2/6 ~∠BA0=∠0.∠BA0+∠ABC=90°，∠ABC=∠D∠D+∠ACD=90 ∠ACD=∠Q ·∠AL0=∠DAC=90° 、△ALQP△DAC AD AL ∴.ACLQ, 4V643 即83LQ, 解得L0=4v6 :.P=LP+L0=6W2-2N6+4v6=6N2+2√6 【点睛】解题的关键在于熟练运用圆的性质，找到相等的角和弧，为证明全等和线段关系提供条件.识别 第30页/供36页 命学科网命组卷网 出三角形中位线等几何模型，利用其性质进行线段的转化和计算.利用角度关系构造直角三角形，运用三 角函数求解线段长度 y=2x+6 27.在平面直角坐标系中，直线 交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,经过点B的直线 BC 交x轴正半轴于点C. 图1 图2 图3 (1)如图1，tan∠BCO=2,求直线BC的解析式： (2)如图2，点P为第二象限直线BC上一点，连接PA,点R为PA的中点，设点P的横坐标为t,点R 的横坐标为d,求d与t的函数解析式： (3)如图3，在(2)的条件下，过点C作CE⊥OC,CE=OC,连接OE交BC于点F,过点F作BC 的垂线，交过点B且垂直于CE的直线于点D,连接BD,BD:EF=5N2,过点P作PS10A于点S 分别连接BRRC,RC交PS于点T,BR=2RT,求点P的坐标. 【答案】(1)y=-2x+6 13 2d-21-2 第31页/共36页 6学科网6组卷网 【解析】 【分析】(1)先求出点B的坐标，得到OB的长度，结合三角函数值求出点C的坐标，再用待定系数法， 即可求解， (2)先将点A坐标求出，根据线段中点横坐标等于两端点横坐标之和再除以2，即可求解. (3)设点C的横坐标为m,结合题目中的条件将点E、F、D的坐标用含有m的式子表示出来，运用勾 股定理将线段BD、EF的长度表示出来，根据比例列方程，求出的值，再求出直线BC的函数解析式 为少-2x+6 ,再根据(2)用含有t的式子将点 、R、T 的坐标表示出来，再结合勾股定理用含有t的 式子将线段BR、RT的长度表示出来，根据BR=2RT列方程，求出t的值，即可求解. 【小问1详解】 解：当七=0 y=2x+6=6 时， ∴点B坐标为(0,6)，即OB=6, .tan∠BCO= B-2 O :0C=10B=3 2 即点C坐标为(3,0)， BC y=kx+b 设直线 的函数解析式为 b=6 「k=-2 可得3k+b=0,解得b=6, BC y=-2x+6 故直线 的函数解析式为 【小问2详解】 当=0时，2 2x+6=0 ，解得七-3 第32页/供36页 6学科网6组卷网 六点A的坐标为(-3,0) 点R为PA的中点， -3+t=d 13 d=二t 2 ,化简得“22， 1,3 d=-1- 故d与t的函数解析式为22 【小问3详解】 设0C的长度为m,则点C坐标为(m,0)】 6 y=- -x+6 .直线BC的解析式为 m .CE=OC=m. 点B坐标为(m,m) OE y=x 直线 的解析式为 6 6m x+6=x, X= 联立函数解析式，得 ,解得m+6, 6m6m .点F的坐标为m+6’m+6, 如图，延长DE,过点F作FM⊥DE, 第33页/供36页 6学科网命组卷网 ME 拉D MF∥y 根据题意，可知 轴， ∴.∠OBC=∠BFM 又：DF⊥BC, ∴.∠DFB=∠BOC=90° .∠DFM+∠BFM=90°，∠OBC+∠BCO=90° ∴.∠DFM=∠BCO 又：∠DMF=∠BOC=90°，' ∴.△DFM∽ABCO DM MF BO OC, MF=y-ye=m-6m=m m+6m+6, .DM-BO.MF 6.m =m+6=6m OC mm+6 第34页/供36页 6学科网 组卷网 ∴.xD=xF+DM= 12m m+6 ,yD=yg=m 12m ,m .点D的坐标为m+6 .BD= 12m m+6 +(6-m,EF=V2m2 m+6 BD:EF=5:√2 12m (m+6 +(6-m)}-52.2m 2m+6 解得㎡=9或m=6(不合题意合去)， 又.m>0. .m=3, …直线 C 的解析式为少-2x+6 根据(2)可知点P坐标为6，-21+6) t-3 点的坐标为2,1+3 .BR 2+e或，c-9≥+或 r-克-克c=9++旷。 XC-XR .BR=2RT. 4+旷-2g92(+或。 第35页/共36页 6学科网 命组卷网 化简得16+3}=(9-)2， 3 f=- 解得5或t=-7, 336 故点P的坐标为5'5或者(-7,20) 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和解析式的求法，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角函 数值，掌握用坐标系中点的坐标结合勾股定理表示出线段长度是解题的关键. 第36页/共36页 九年级数学学科学情检测 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是我国传统的民间艺术．下列剪纸作品中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中国的领水面积约为370000km2，将数370000用科学记数法表示为（　　） A. 37×104 B. 3.7×104 C. 0.37×106 D. 3.7×105 5. 在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为钝角三角形，将绕点逆时针旋转130°得到，连接，若，则的度数为（ ） A. 75° B. 85° C. 95° D. 105° 7. 有一组数据：．这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 8. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 9. 如图，点F时平行四边形的边上一点，直线交的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的图象与x轴两个交点的横坐标分别为，，且＞1，，当1≤x≤3时，该函数的最小值m与b的关系式是（　　） A. m=2b+5 B. m=4b+8 C. m=6b+15 D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 计算的结果是______. 12. 函数 中，自变量的取值范围为___________． 13. 把多项式分解因式的结果是___________． 14. 若一个扇形的圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是________．（结果保留） 15. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为_________． 16. 某商场对某种商品作调价，按原价8折出售，此时商品的利润率是，若商品的进价为1200元，则商品的原价是_________元． 17. 如图，四边形中，，，．下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于两点；②分别以点为圆心，大于的长为半径画弧；两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为_____． 18. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 19. 如图，是的直径，、是（异于、）上两点，是上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是___________． 20. 如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是________． 三、解答题（其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中作图，作图过程用虚线，作图结果用实线，按照下列步骤完成作图： （1）将线段绕点A逆时针旋转得到线段；画出线段； （2）点P在格点上，连接交于点M，满足； （3）过点M作线段，满足，且． 23. 某中学以小元同学所在班级为例，对该班学生最喜爱的各类运动项目的情况进行了调查统计（最喜爱的项目只能选一项），并把调查的结果绘制成了如下图所示的两种不完全统计图，请你根据信息回答下列问题： （1）小元所在的班级共有多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）如果该中学总计有名学生，请你估计全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有多少人． 24. 【问题呈现】如图①，等边，，点M、N分别在边、上，连接、交于点D，连接，，探究线段长度的最小值． 【问题分析】小刚通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线． 在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）如图①，求证：； （2）如图②，请你求出线段长度的最小值． 25. 某公司购买了一批A型芯片和B型芯片，A型芯片单价比B型芯片单价少9元，已知该公司用6240元购买A型芯片的个数与用8400元购买B型芯片的个数相等． （1）求该公司购买的A型芯片、B型芯片的单价各是多少元？ （2）若该公司购买A型芯片与B型芯片共计200个，且购买两种芯片的总费用不超过6010元，求该公司至少购买多少个A型芯片？ 26. 已知点、、均在上，，点为上一点，连接，过点作，交于点，连接交于点． （1）如图1，弦不经过圆心，求证：； （2）如图2，弦为的直径，连接，于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接并延长至点，连接，若，半径为，，求线段的长． 27. 在平面直角坐标系中，直线交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，经过点B的直线交x轴正半轴于点C． （1）如图1，，求直线的解析式； （2）如图2，点P为第二象限直线上一点，连接，点R为的中点，设点P的横坐标为t，点R的横坐标为d，求d与t的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作，，连接交于点F，过点F作的垂线，交过点E且垂直于的直线于点D，连接，，过点P作于点S，分别连接，交于点T，，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $