期末复习15 平行线期末冲刺讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学平行线期末复习讲义通过表格对比和分点梳理构建知识体系，系统呈现核心概念、平行公理及推论、三线八角、判定与性质等8大知识点，用“F型、Z型、U型”形状联想表归纳三线八角位置特征，以逻辑关系表区分判定与性质的核心区别，清晰展现知识脉络与重难点联系。 讲义亮点在于“题型分层精讲”，13种常考题型涵盖公理应用、角度计算与推理证明，如“结合平行线判定与性质进行推理证明”题型，通过典例解析和跟踪训练培养推理意识与几何直观。压轴通关题分选择、填空、解答，适配不同层次学生，易错点提醒帮助自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

期末复习15 平行线期末冲刺讲义 期末必备 知识点梳理 1.核心概念与表示 2.平行公理及推论 3.三线八角 4.平行线的判定 5.平行线的性质 6.平行线间的距离 7.判定与性质的核心区别 8.易错点与关键题型 常考题型 精讲精炼 1.平行公理的实际应用 2.平行公理推论的实际应用 3.同位角相等,两直线平行 4.内错角相等,两直线平行 5.同旁内角互补,两直线平行 6.两直线平行,同位角相等 7.两直线平行.内错角相等 8.两直线平行.同旁内角互补 9.利用平行线的性质探究角的数量关系 10.利用平行线的性质求角的度数 11.结合平行线判定与性质求角度 12.结合平行线判定与性质进行推理证明 13.同位角.内错角.同旁内角 期末备考 压轴通关 单选题(5) 填空题(5) 解答题(4) 【知识点01.核心概念与表示】 1. 平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。三要素缺一不可： ①同一平面内；②两条直线；③不相交（永不相交）。 2.表示方法：直线 a 与直线 b 平行，记作 a∥b；直线 AB 与直线 CD 平行，记作 AB∥CD，读作 “a 平行于 b”“AB 平行于 CD”。 3.同一平面内两直线位置关系：平行或相交（不重合前提下），重合直线视为一条直线。 4.画法：用直尺和三角板 “一落、二靠、三推、四画”，过直线外一点画已知直线的平行线。 【知识点02.平行公理及推论】 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（注意：“直线外一点” 不可改为 “直线上一点”） 2.推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。 3.补充推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。符号语言：若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b。 【知识点03.三线八角】(同位角.内错角.同旁内角) 一、构成 两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角。 二、三类角识别（核心：位置特征） 类型 位置特征 形状联想 同位角 截线同侧，被截线同一方 F 型 内错角 截线两侧，被截线之间 Z 型 同旁内角 截线同侧，被截线之间 U 型 三、关键技巧 1.先找截线（两个角的公共边所在直线），再定被截线； 2.仅位置符合即为对应角，与大小无关； 3.复杂图形拆成基础 “三线” 模型判断。 【知识点04.平行线的判定】（由角定线，角的数量关系推直线位置关系） 1.同位角相等，两直线平行。符号语言：若∠1=∠5，则 a∥b。 2.内错角相等，两直线平行。符号语言：若∠3=∠6，则 a∥b。 3.同旁内角互补，两直线平行。符号语言：若∠3+∠5=180°，则 a∥b。 4.平行公理推论判定：平行于同一直线的两直线平行（a∥b，b∥c→a∥c）。 5.垂直判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行（a⊥c，b⊥c→a∥b）。 6.定义判定：同一平面内，无交点的两直线平行（较少直接用于推理）。 【知识点05.平行线的性质】(由线定角，直线位置关系推角的数量关系） 1.两直线平行，同位角相等。符号语言：若 a∥b，则∠1=∠5。 2.两直线平行，内错角相等。符号语言：若 a∥b，则∠3=∠6。 3.两直线平行，同旁内角互补。符号语言：若 a∥b，则∠3+∠5=180°。 4.补充性质： *若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条。 *两条平行线被一组截线所截，对应线段成比例（如三角形中位线定理相关）。 【知识点06.平行线间的距离】 1.定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。 2.性质：两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变而改变；平行线间的距离处处相等。 【知识点07.判定与性质的核心区别】 类别 逻辑关系 作用 判定 角的数量关系→直线平行（由角定线） 证明两条直线平行 性质 直线平行→角的数量关系（由线定角） 计算角度或证明角相等 / 互补 【知识点08.易错点与关键提醒】 1.平行线定义必须强调 “同一平面内”，空间中不相交的直线不一定平行。 2.同位角、内错角、同旁内角仅描述位置关系，与大小无关；只有两直线平行时，才有内错角相等、同旁内角互补等数量关系。 3.平行公理中 “有且只有一条”，“有” 表存在性，“只有” 表唯一性。 4推理时，判定与性质不可混淆，需明确条件与结论。 【题型1.平行公理的实际应用】 【典例】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【跟踪训练1】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【跟踪训练2】如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2.平行公理推论的实际应用】 【典例】a，b，c是直线，且，则，理由是 【跟踪训练1】如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【题型3.同位角相等,两直线平行】 【典例】在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【跟踪训练1】如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【跟踪训练2】下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【题型4.内错角相等,两直线平行】 【典例】如图，请写出一个能使的条件： ． 【跟踪训练1】如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 【跟踪训练2】一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【题型5.同旁内角互补.两直线平行】 【典例】,下列图形中，直线与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件．    【跟踪训练2】如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A． B． C． D． 【题型6.两直线平行,同位角相等】 【典例】如图，已知，，则 度， 度． 【跟踪训练1】如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，已知平分，，则的度数为 ． 【题型7.两直线平行,内错角相等】 【典例】如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 【跟踪训练2】如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 【题型8.两直线平行,同旁内角互补】 【典例】如图所示，直线l与直线a，b分别相交，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知：线段，，，点在点右侧，点A在点左侧，点在直线上，点在线段的延长线上，若，则 ．（用含的式子表示） 【跟踪训练2】如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型9.利用平行线的性质探究角的数量关系】 【典例】一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是 ． 【跟踪训练1】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 【题型10.利用平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，某街道要修建一条管道，管道从A站沿北偏东60°方向到B站，从B站沿北偏西25°方向到C站．为了保持管道CE与AB方向一致，则∠C的度数为 ． 【跟踪训练2】如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型11.结合平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，，，，则的度数是 ． 【跟踪训练1】“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【题型12.结合平行线判定与性质进行推理证明】 【典例】如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【跟踪训练1】如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【跟踪训练2】如图，直线被直线所截，下列说法正确的个数是（   ） ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型13.同位角.内错角.同旁内角】 【典例】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【跟踪训练1】如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【跟踪训练2】若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对内错角． 一.单选题 1．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 3．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 4．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 二.填空题 6．如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 7．如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 8．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ． 9．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论，其中错误的是 （填序号）． ①； ②； ③； ④． 10如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 3. 解答题 11．如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 12．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 13．已知直线，点、分别为直线、上的点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，求证：； (3)如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数． 14．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习15 平行线期末冲刺讲义 期末必备 知识点梳理 1.核心概念与表示 2.平行公理及推论 3.三线八角 4.平行线的判定 5.平行线的性质 6.平行线间的距离 7.判定与性质的核心区别 8.易错点与关键题型 常考题型 精讲精炼 1.平行公理的实际应用 2.平行公理推论的实际应用 3.同位角相等,两直线平行 4.内错角相等,两直线平行 5.同旁内角互补,两直线平行 6.两直线平行,同位角相等 7.两直线平行.内错角相等 8.两直线平行.同旁内角互补 9.利用平行线的性质探究角的数量关系 10.利用平行线的性质求角的度数 11.结合平行线判定与性质求角度 12.结合平行线判定与性质进行推理证明 13.同位角.内错角.同旁内角 期末备考 压轴通关 单选题(5) 填空题(5) 解答题(4) 【知识点01.核心概念与表示】 1. 平行线定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。三要素缺一不可： ①同一平面内；②两条直线；③不相交（永不相交）。 2.表示方法：直线 a 与直线 b 平行，记作 a∥b；直线 AB 与直线 CD 平行，记作 AB∥CD，读作 “a 平行于 b”“AB 平行于 CD”。 3.同一平面内两直线位置关系：平行或相交（不重合前提下），重合直线视为一条直线。 4.画法：用直尺和三角板 “一落、二靠、三推、四画”，过直线外一点画已知直线的平行线。 【知识点02.平行公理及推论】 1.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。（注意：“直线外一点” 不可改为 “直线上一点”） 2.推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。符号语言：若 a∥b，b∥c，则 a∥c。 3.补充推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。符号语言：若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b。 【知识点03.三线八角】(同位角.内错角.同旁内角) 一、构成 两条直线（被截线）被第三条直线（截线）所截，形成 8 个角。 二、三类角识别（核心：位置特征） 类型 位置特征 形状联想 同位角 截线同侧，被截线同一方 F 型 内错角 截线两侧，被截线之间 Z 型 同旁内角 截线同侧，被截线之间 U 型 三、关键技巧 1.先找截线（两个角的公共边所在直线），再定被截线； 2.仅位置符合即为对应角，与大小无关； 3.复杂图形拆成基础 “三线” 模型判断。 【知识点04.平行线的判定】（由角定线，角的数量关系推直线位置关系） 1.同位角相等，两直线平行。符号语言：若∠1=∠5，则 a∥b。 2.内错角相等，两直线平行。符号语言：若∠3=∠6，则 a∥b。 3.同旁内角互补，两直线平行。符号语言：若∠3+∠5=180°，则 a∥b。 4.平行公理推论判定：平行于同一直线的两直线平行（a∥b，b∥c→a∥c）。 5.垂直判定：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行（a⊥c，b⊥c→a∥b）。 6.定义判定：同一平面内，无交点的两直线平行（较少直接用于推理）。 【知识点05.平行线的性质】(由线定角，直线位置关系推角的数量关系） 1.两直线平行，同位角相等。符号语言：若 a∥b，则∠1=∠5。 2.两直线平行，内错角相等。符号语言：若 a∥b，则∠3=∠6。 3.两直线平行，同旁内角互补。符号语言：若 a∥b，则∠3+∠5=180°。 4.补充性质： *若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条。 *两条平行线被一组截线所截，对应线段成比例（如三角形中位线定理相关）。 【知识点06.平行线间的距离】 1.定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。 2.性质：两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段的位置改变而改变；平行线间的距离处处相等。 【知识点07.判定与性质的核心区别】 类别 逻辑关系 作用 判定 角的数量关系→直线平行（由角定线） 证明两条直线平行 性质 直线平行→角的数量关系（由线定角） 计算角度或证明角相等 / 互补 【知识点08.易错点与关键提醒】 1.平行线定义必须强调 “同一平面内”，空间中不相交的直线不一定平行。 2.同位角、内错角、同旁内角仅描述位置关系，与大小无关；只有两直线平行时，才有内错角相等、同旁内角互补等数量关系。 3.平行公理中 “有且只有一条”，“有” 表存在性，“只有” 表唯一性。 4推理时，判定与性质不可混淆，需明确条件与结论。 【题型1.平行公理的实际应用】 【典例】下列说法中不正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．同一平面内两条不相交的直线是平行线 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点只能画一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的定义，掌握平行线的定义是解决本题的关键． 根据平行线的定义进行逐一判定即可． 【详解】解：A、若点在已知直线上，无法作出已知直线的平行线（因此过直线上一点的直线与已知直线重合，不满足“平行”的不重合条件），该说法不正确，符合题意； B、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，这是平行线的定义，该说法正确，不符合题意； C、平行于同一条直线的两条直线互相平行，这是平行公理的推论，该说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，该说法正确，不符合题意； 故选A． 【跟踪训练1】下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线和相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 【跟踪训练2】如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，根据平行线的判定与性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴不一定正确，故①不符合题意； 如图，延长与的延长线交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不能得到，不能得到，故③不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不能得到，故④不符合题意； 故选：A． 【题型2.平行公理推论的实际应用】 【典例】a，b，c是直线，且，则，理由是 【答案】平行于同一直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，掌握如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行成为解题的关键． 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，据此即可解答． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：平行于同一直线的两条直线平行． 【跟踪训练1】如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 【跟踪训练2】如图所示为一个风车的示意图，当旋转到与地面平行的位置时， （填“能”或“不能”）同时与地面平行，理由是 ． 【答案】 不能 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题主要考查了平行公理，关键是掌握并理解平行公理的内容．根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行可得答案． 【详解】解：不能， 与有夹角，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可得不能同时与地面平行， 故答案为：不能，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【题型3.同位角相等,两直线平行】 【典例】在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 【跟踪训练1】如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据平行线的判定，即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 【跟踪训练2】下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 【题型4.内错角相等,两直线平行】 【典例】如图，请写出一个能使的条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法，利用同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行解决问题即可． 【详解】解：当（答案不唯一）时，， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，给出下列四个条件：①；②；③；④，其中能使的条件是（   ） A．①② B．③④ C．②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握数形结合思想的应用、弄清截线与被截线是解题的关键． 根据平行线的定义可判定①；运用内错角相等、两直线平行可判定②③④． 【详解】解：由不等同于，故①不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即②符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即③不符合题意； 由，根据内错角相等、两直线平行可得，即④符合题意； 所以能使的条件是②④． 故选：C． 【跟踪训练2】一副三角尺按如图所示（共顶点A）的方式叠放在一起．若固定三角尺ABC，三角尺ADE绕点A旋转一周，则当的度数为 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线以及三角尺等知识点，掌握平行线的判定定理以及三角尺各角的度数是解题的关键． 本题三角尺绕点旋转过程中，的情况会出现两种，依据平行线的判定定理，结合三角尺的角度特征，即可计算的度数． 【详解】解：有两种情况： 情况一：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，； 情况二：如下图， 在中，， 由“内错角相等，两直线平行”可得： 当时，， 此时，． 故答案为：或 ． 【题型5.同旁内角互补.两直线平行】 【典例】,下列图形中，直线与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、如图， 则，， ∵， ∴直线与直线不平行，不符合题意； B、如图， 则，， ∵， ∴直线与直线平行，符合题意； C、如图， 则，， ∴， ∴直线与直线不平行，不符合题意； D、如图， 则，， ∵， ∴直线与直线不平行，不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练1】如图，已知，，，要使，则需添加 （只填出一种即可）的条件．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，涉及内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 若，则， ； ，， ，则， 若，则， ； 综上所述，添加或或，， 故答案为：或或（答案不唯一）． 【跟踪训练2】如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A、， ，故不符合题意； B、当时，无法判断，故符合题意； C、，，故不符合题意； D、，，故不符合题意； 故选：B． 【题型6.两直线平行,同位角相等】 【典例】如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 【跟踪训练1】如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；根据平行线的性质和邻补角的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【跟踪训练2】如图，已知平分，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义. 根据平行线的性质可得，再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 平分， ， 故答案为：． 【题型7.两直线平行,内错角相等】 【典例】如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪训练1】如图，于D，，，则与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂直的定义等，掌握这些是解题的关键． 先根据“两直线平行，内错角相等”得出，再根据条件得出, 最后根据“两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线”得出与的位置关系为垂直． 【详解】解：， ， ， ， ， ， . 故答案为：垂直． 【跟踪训练2】如图，一束太阳光线照射直角三角板后投射在地面上得到线段，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．设中间光线交底面于点，由平行线的性质得，再求出，最后由即可得出结论． 【详解】解：如图，设中间光线交底面于点， ，， ， ， ， 一束太阳光线照射直角三角板， ， 故选：B． 【题型8.两直线平行,同旁内角互补】 【典例】如图所示，直线l与直线a，b分别相交，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据对顶角相等得，结合平行线的性质得，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪训练1】已知：线段，，，点在点右侧，点A在点左侧，点在直线上，点在线段的延长线上，若，则 ．（用含的式子表示） 【答案】或或． 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并会分情况讨论是解题的关键． 根据平行线的性质分点M在线段上时，在射线上时，在射线上时三种情况求解即可． 【详解】解：如图，当点M在线段上时， 过点M作，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点M在的延长线上时， 过点M作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点M在的延长线上时， 过点M作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴； 故答案为：或或． 【跟踪训练2】如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解和掌握平行线的性质是解题的关键．设的延长线为，由，，根据平行线的性质得到与相等的角、、、、，因为，可推出互补的角的个数，即可求出答案． 【详解】解：设的延长线为， ，， ，， 与互补的角有，，，，，， ，， ． 故选：D． 【题型9.利用平行线的性质探究角的数量关系】 【典例】一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是 ． 【答案】相等或互补 【分析】本题考查了平行线的性质、补角的定义，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角的关系是相等或互补，注意不要漏掉情况．画出图形，根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图， 的两边与的两边分别平行， 即，， ∴，， 故； 的两边与的两边分别平行， 即，， ∴，， 故． 故答案为：相等或互补． 【跟踪训练1】如图，已知，则、、、的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，过作，得，则，，由三角形外角的性质得，根据得，再代入计算可得结论． 【详解】解：过点作，过作， ∵， ∴ ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【跟踪训练2】如图，已知直线，则、、之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的应用，添加辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过向左作射线，把分成和，然后根据平行线的性质即可得到解答． 【详解】解：过向左作射线， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型10.利用平行线的性质求角的度数】 【典例】如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 【跟踪训练1】如图，某街道要修建一条管道，管道从A站沿北偏东60°方向到B站，从B站沿北偏西25°方向到C站．为了保持管道CE与AB方向一致，则∠C的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方向角以及平行线的性质，为了保持水管为了保持管道CE与AB方向一致，则，利用平行线的性质，即中求得的度数，熟练掌握平行线的性质是解此题关键． 【详解】解：如图所示：为了保持水管为了保持管道CE与AB方向一致，则， 由题可得： 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，由，则，，然后通过物理知识可得反射角等于入射角，即有，从而求出度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 由物理知识可得反射角等于入射角， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型11.结合平行线判定与性质求角度】 【典例】如图，，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据垂直定义可得，然后利用平行线的性质可得，再利用对顶角相等可得，即可解答，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图： ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪训练1】“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键．作，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 故选：B． 【跟踪训练2】如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型12.结合平行线判定与性质进行推理证明】 【典例】如图，，，，那么与的位置与大小关系是（    ） A．是同位角且相等 B．是同位角但不相等 C．不是同位角但相等 D．不是同位角且不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确根据已知条件分析判定平行线是重要解题步骤；根据，得到，可得到，再根据，得到，即可得到． 【详解】，， （垂直于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又， （两直线平行，内错角相等）， ， ， 又从图中可得到和不是同位角， 但不是同位角． 故答案选． 【跟踪训练1】如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 【跟踪训练2】如图，直线被直线所截，下列说法正确的个数是（   ） ①若，，则；②若，则； ③若，则；④若，则； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①∵，， ∴根据“如果两条直线都分别平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行”，即； 即正确； ②∵， ∴根据“内错角相等，两直线平行”，可得； 即正确； ③∵，由图可得和是同旁内角， ∴根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得； 即正确； ④如图： ∵（对顶角相等），， ∴， ∴根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 ； 即正确， 综上所述：①②③④都正确，共4个， 故选：D； 【题型13.同位角.内错角.同旁内角】 【典例】如图，如果，，那么 ，∠3的同位角等于 ，∠3的内错角等于 ，∠3的同旁内角等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的定义、三线八角的定义，由定义得，∠3的同位角等于，∠3的内错角等于，∠3的同旁内角等于，即可求解． 【详解】解：， ∠3的同位角等于， ∠3的内错角等于， ∠3的同旁内角等于， 故答案为：，，，． 【跟踪训练1】如图，下列说法正确的是（   ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了角的位置关系，熟悉掌握位置关系是解题的关键． 根据位置关系逐一判断即可． 【详解】解：A：与是同位角，故A错误； B：与是内错角，故B错误； C：与没有位置关系，故C错误； D：与是同旁内角，故D正确； 故选：D． 【跟踪训练2】若平面上4条直线两两相交，且无三线共点，则一共有 对内错角． 【答案】24 【分析】本题考查了内错角的定义与计数，解题的关键是先确定线段数量，再根据每条线段两侧内错角的对数计算总对数． 先根据4条直线两两相交且无三线共点，求出线段数量，再结合每条线段两侧内错角的对数，计算内错角的总对数． 【详解】∵平面上4条直线两两相交且无三线共点， ∴共有条线段． 又∵每条线段两侧各有一对内错角， ∴共有内错角对． 故答案为：24． 一.单选题 1．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F，，则的度数为（   ）度． A．84 B．86 C．88 D．92 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，平行公理的应用，一元一次方程的应用．过作，依据平行线的性质，可设，，根据四边形内角和以及，即可得到的度数． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 设，， ，， 四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得， 故选：C． 3．如图，与交于点，点在直线上，交于点，，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，由平行线的判定定理可判断①；过点作，则，由平行线的性质可得，即可判断②；设，，可得，，，即可判断③；过点作，则，可得，，进而得到，即得到，即可判断④，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 过点作，则， ∴，， ∴， 即，故②正确； 设，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ∵，，，， ∴，， 过点作，则， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②③④， 故选：． 4．如图，已知分别为的角平分线，，则下列说法正确的有（    ）个． ① ② ③平分 ④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 5．如图，，用含，，的式子表示，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行的性质，作出相应的辅助线是解题的关键．过点作，过点作，可得，从而推出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作，过点作， 故选：D． 二.填空题 6．如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 若两直线平行，则同旁内角互补，内错角相等，据此得角的等量关系，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知分别为上一点（），EF平分．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判断，角平分线的定义等知识点，解决此题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定； ①先根据同旁内角互补，可得，再根据平行的传递性即可得到答案； ②根据平行线的性质和角平分线的性质可得到答案； ③根据平行线的性质和角平分线的性质即可得到答案； ④先作出辅助线，多次运用平行线的性质即可得到答案； ⑤辅助线和④中的一样，推导过程仿照④即可得到答案； 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 即 故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 即 故③正确； ④如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， 题目中未说明 即不一定等于 故④错误； ⑤过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ， 即， 故⑤正确； 8．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．如图3，调节台灯使光线垂直于点B，此时，则 ． 【答案】 /80度 /20度 【分析】（1）过点作，过点作交于点，根据平行线的判定和性质，求出的度数，利用角平分线的性质，即可得解； （2）过点作，过点作，过点作交于点，同法（1），利用平行线的判定和性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）过点作，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵的延长线恰好是的角平分线， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， 过点作，过点作，过点作交于点， 同（1）法可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造平行线． 9．如图，与交于点E，点G在直线上，，，，下列四个结论，其中错误的是 （填序号）． ①； ②； ③； ④． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查平行线的判定瑟性质，过H作，先根据同位角相等两直线平行得出，再根据平行线的性质以及对顶角相等、三角形内角和以及倍角关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确， 过H作，如图： ， 设，则，， ∴, 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又 ∴，不一定为，故③错误， ，故④错误， 综上所述，错误的结论为③④． 故答案为：③④． 10如图，，分别平分和，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键． 延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，延长交射线于点，过点分别作， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3. 解答题 11．如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 12．汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 13．已知直线，点、分别为直线、上的点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，求证：； (3)如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，合理运用倍角关系是本题解题的关键． （1）根据平行线的性质依次求出和即可； （2）过作，根据平行线的性质求证即可； （3）先根据三角形内角和求出，然后根据补角的性质以及给出的两个倍角关系，得出，过作，根据平行线的性质求出，然后根据倍角关系求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：过作，如图： ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 过作，如图： ， ，， ， ． 14．已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据可证，再根据可证，，然后根据平行公理推论可证； （2）①延长，交直线于点，先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得证； ②先求出，，，，，再过点作，过点作，根据平行线的性质可得，根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，然后根据建立等式，化简即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：①如图，延长，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵，，，， ∴，，， ∴， ∵和两角的角平分线交于点，且， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $