期末复习11走进几何世界 讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

期末复习11 走进几何世界讲义 期末 必备 知识 点梳理 1.几何图形的分类与识别 2.点.线.面.体的动态关系 3.图形的三种基本运动 4.立体图形的平面展开图 5.从三个方向看物体的形状 6.截一个几何体 7.核心性质与方法 8.易错点与备考提示 常考 题型 精讲 精练 1.常见的几何体类型与特征 2.立体图形的分类方法与依据 3.几何体中的点.棱.面的基本概念 4.几何体的截面形状与截法分析 5.点.线.面.体四者之间的联系与转化 6.平面图形旋转形成的立体图形 7.平面图形形状识别与特征辨析 8.几何展开图的结构与识别方法 9.利用展开图计算几何体的表面积 10.通过展开图推导几何体的体积 11.正方体几种展开图的识别 12.正方体相对两面上的字 13.几何体的三视图 期末备考 压轴通关 压轴题(11) 【知识点01.几何图形的分类与识别】 1.基本定义 *立体图形（几何体）：各部分不都在同一平面内，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等。 *平面图形：各部分都在同一平面内，如三角形、四边形、圆、正六边形等。 2.几何体核心分类 *柱体：包括棱柱（三棱柱、四棱柱等，底面为多边形，侧面是平行四边形）、圆柱（两个圆形底面、一个曲面侧面）。 *锥体：包括棱锥（底面为多边形，侧面是三角形）、圆锥（一个圆形底面、一个曲面侧面）。 *球体：由单一曲面围成，无顶点、无棱、无平面。 3.棱柱与棱锥的结构特征 *棱柱：有 2 个全等的多边形底面，n 棱柱有 n 个侧面（直棱柱为长方形）、3n 条棱、2n 个顶点、n+2 个面。 *棱锥：有 1 个多边形底面，n 棱锥有 n 个三角形侧面、2n 条棱、n+1 个顶点、n+1 个面。 正方体、长方体均为四棱柱，是特殊的棱柱。 4.几何图形的构成要素：几何体由面围成，面与面的公共边为棱，棱与棱的交点为顶点；点、线、面是构成几何图形的基本元素。 【知识点02.点.线.面.体的动态关系】 1.核心规律 *点动成线：如笔尖在纸上移动形成线段。 *线动成面：如雨刮器摆动形成扇形区域、线段旋转形成圆面。 *面动成体：如长方形绕一边旋转形成圆柱、直角三角形绕直角边旋转形成圆锥。 2.静态关联：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；面有平面和曲面，线有直线和曲线。 【知识点03.图形的三种基本运动】 1.平移：图形沿某一方向移动，形状、大小、方向不变，仅位置改变，对应点连线平行且相等。 2.翻折（轴对称）：图形沿某一直线折叠，直线两侧部分完全重合，对应点连线被对称轴垂直平分。 3.旋转：图形绕某一点转动一定角度，形状、大小不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等。 4.运动的核心意义：通过平移、翻折、旋转可构造新图形，且图形的形状、大小保持不变，仅位置或方向改变。 【知识点04.立体图形的平面展开图】 1.定义：将几何体表面沿棱剪开后铺平得到的平面图形，同一几何体按不同方式展开可能得到不同的展开图。 2.常见展开图 *正方体：共 11 种，分 “一四一”“一三二”“三三”“二二二” 四类，需掌握相对面、相邻面的位置判断。 *圆柱：侧面展开图为长方形，长等于底面圆周长，宽等于圆柱的高。 *圆锥：侧面展开图为扇形，弧长等于底面圆周长。 *球无平面展开图。 3.展开与折叠：是立体图形与平面图形的双向转化，用于几何体的构造与表面积计算铺垫。 【知识点05.从三个方向看物体的形状】 1.三种视图 *主视图：从正面看得到的图形。 *左视图：从左面看得到的图形。 *俯视图：从上面看得到的图形。 2.核心应用：根据三视图还原立体图形（如判断小正方体个数），或根据立体图形画三视图，培养空间想象能力。 【知识点06.截一个几何体】 1.截面定义：用平面去截几何体，截得的平面图形为截面。 2.常见截面 *截正方体：可得到三角形、四边形、五边形、六边形（最多六边形）。 *截圆柱：可得到圆、长方形、椭圆。 *截圆锥：可得到圆、三角形、椭圆。 *截面形状由平面截几何体的角度和位置决定。 【知识点07.核心性质与方法(跨小节整合】 （一）关键性质 1.欧拉公式：对于简单多面体，顶点数（V）+ 面数（F）- 棱数（E）=2，适用于棱柱、棱锥等。 2.图形运动的不变性：平移、翻折、旋转过程中，图形的形状、大小保持不变，仅位置或方向改变。 3.两点确定一条直线，两点之间线段最短（为后续线段计算铺垫）。 （二）尺规作图初步 苏科版侧重基础作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，为后续几何证明打基础。 （三）几何语言规范 正确使用图形表示（如直线 AB、射线 OA、线段 CD）、符号语言（如∠AOB、AB∥CD）、文字语言描述几何关系，建立规范表达习惯。 【知识点07.易错点与备考提示】 1.易错点 *混淆棱柱与棱锥的面数、棱数、顶点数，可通过欧拉公式验证。 *误判正方体展开图的相对面（如 “Z” 型、“目” 型两端为相对面）。 *截面形状判断时忽略平面截几何体的角度，如截圆柱易漏 “椭圆” 情况。 *视图绘制中漏画虚线或错画方向。 2.备考提示 结合实物模型、折纸、画图等操作，强化空间想象能力。 分类梳理正方体展开图、常见几何体截面、三视图等典型题型，总结解题规律。 规范几何语言与作图步骤，避免因表达不严谨丢分。 【题型1.常见几何体的类型与特征】 【典例】将若干个1立方厘米的正方体木块，摆成一个最小的正方体（不包括一块）至少需要（   ） A．4块 B．8块 C．16块 D．27块 【答案】B 【分析】本题考查的是正方体的特点及体积，根据要摆成一个最小的正方体（不包括一块），需确定最小的整数边长，正方体的体积为边长的三次方，排除边长为1厘米的情况后，最小边长为2厘米，计算所需块数即可． 【详解】解：正方体的每条边至少需要2个1立方厘米的小木块， 因此边长为2厘米， 共需要（块）， 故选：B． 【跟踪训练1】如图所示的几何体，这个几何体的名称是 ． 【答案】三棱柱 【分析】本题考查了学生对几何体的认识情况，在解答这个题目时，首先是要仔细观察几何体，找出几何体的组成情况，观察几何体，有2个底面，3个侧面，经过每个顶点有3条棱，每个底面各有3个顶点，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：这个几何体的名称是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 【跟踪训练2】一个棱柱有6个面，所有侧棱长之和为．底面边长都是．则这个棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的表面积，理解侧面展开图是解题的关键．根据这个棱柱的表面积侧面积两个底面积求解即可． 【详解】解：由题意得：该棱柱是四棱柱，底面是边长的正方形， ∴这个棱柱的表面积为：， 故选：D． 【题型2.立体图形的分类方法与依据】 【典例】在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 【答案】 ①②③⑦ ⑤⑥ ④ 【分析】本题考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：在如图所示的立体图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④， 故答案为：①②③⑦；⑤⑥；④． 【跟踪训练1】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 【跟踪训练2】下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答． 【详解】解：①柱体包括圆柱、棱柱；∴柱体的两个底面一样大；故此选项正确， ②圆柱、圆锥的底面都是圆，正确； ③棱柱的底面可以为任意多边形，错误； ④长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确； ⑤棱柱分为直棱柱和斜棱柱，直棱柱的侧面应是长方形，故错误； 共有3个正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题，解题的关键是掌握相应的概念，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形． 【题型3.几何体中点.棱.面的基本概念】 【典例】若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是棱柱的特点，根据棱柱的性质，顶点数等于底面边数的两倍，侧面个数等于底面边数即可解答. 【详解】解：∵ 棱柱的顶点数底面边数， 给定顶点数为10， ∴ 底面边数， ∴ 底面边数， 又∵ 侧面个数底面边数， ∴ 侧面个数为5. 故选：A 【跟踪训练1】工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 【答案】 4 20 【分析】本题考查了正方体的特征，解题的关键是根据大正方体的组成及涂色面的情况，分析不同涂色面小正方体的位置和数量． 先确定大正方体的棱长，再根据3个面涂色和2个面涂色小正方体的位置特点，分别计算其数量． 【详解】3个面涂色的小正方体在大正方体的顶点处，由于贴地的面不涂色，所以只有上面的4个顶点处的小正方体是3个面涂色的：（个）， 2个面涂色有： （个） 所以3个面涂色的小正方体木块有4个，2个面涂色的有20个． 故答案为：4；20． 【跟踪训练2】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为 ． 【答案】48 【分析】本题考查几何体，根据经过每一个点都有四条棱，棱数等于点数的2倍，再根据面数点数棱数，进行计算即可。 【详解】解：因为经过每一个点都有四条棱，两点确定一条棱， 所以多面体的棱数为点数的2倍， 设此多面体印信的棱数为，则点数为， 由面数点数棱数，得：，解得：， 故， 此多面体印信的棱数为48； 故答案为：48. 【题型4.几何体的截面形状与截法分析】 【典例】分别用一个平面去截如图所示的几何体，可能得到三角形截面的几何体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握长方体、三棱锥、圆锥、球体的结构特征是解题的关键．利用长方体、三棱锥、圆锥、球体的结构特征解答即可． 【详解】解：用一个平面去截长方体、三棱锥和圆锥，可以得到截面是三角形， 用一个平面去截球体，不可以得到截面是三角形， 所以用一平面去截如图所示几何体，能得到截面是三角形的几何体共有3个． 故选：C． 【跟踪训练1】如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】A 【分析】本题考查了长方体的截面，长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，即可得到答案，解题的关键是熟练掌握面面相交得到线． 【详解】解：∵长方体有六个面，用一个平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形，不可能出现七边形， 故选：A． 【跟踪训练2】用一个平面分别截下列五个几何体：球、圆柱、圆锥、六棱柱、三棱锥，可以得到三角形截面的几何体有 ． 【答案】圆锥、三棱锥、六棱柱 【分析】本题考查几何体的截面形状．根据各几何体的性质，判断哪些可以被平面截出三角形截面． 【详解】解：用一个平面截球，截面总是圆，不能得到三角形； 截圆柱，截面是圆、椭圆或矩形，不能得到三角形； 截圆锥，当平面通过顶点时，可以得到三角形截面； 截六棱柱，当平面通过三个顶点时，可以得到三角形截面； 截三棱锥，当平面截取一个角时，可以得到三角形截面． 故可以得到三角形截面的几何体有圆锥、六棱柱和三棱锥． 故答案为：圆锥、三棱锥、六棱柱． 【题型5.点.线.面.体之间的联系与转化】 【典例】学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，解题的关键是理解“线动成面”的几何原理． 分析画卷展开过程中图形的运动形式，对应“线动成面”的几何概念． 【详解】解：画卷展开时，可看作一条线（画卷的边缘）沿着一定方向移动， 因为线的移动会形成面，这种几何变换称为“线动成面”， 所以这个展开过程用数学知识解释为线动成面． 故答案为：线动成面． 【跟踪训练1】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理． 【详解】∵把流星视为点，流星的轨迹是一条线，符合点动成线的原理， ∴选A． 【点睛】本题考查了点动成线的原理，正确理解题意是解题的关键． 【跟踪训练2】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 【题型6.平面图形旋转形成的立体图形】 【典例】如图是开封博物馆的藏品：乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，根据题干的图形以及旋转的性质，进行作答即可． 【详解】 解：依题意，绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状， 故选：C 【跟踪训练1】将一个长宽分别为3和4的长方形绕其一边旋转一周，所得几何体体积的最大值为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了点、线、面、体，解决本题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 根据面动成体，分两种情况解答，再比较体积大小即可． 【详解】解：长方形绕其一边旋转一周形成圆柱体， 当绕长度为3的边旋转时，得到底面半径为4、高为3的圆柱体，体积为 ， 当绕长度为4的边旋转时，得到底面半径为3、高为4的圆柱体，体积为 ， 比较得体积最大值为， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得． 【详解】解：几何体的体积为， 几何体的体积， 则，两个几何体的体积之比是， 故选：C． 【题型7.平面图形的形状识别与特征辨析】 【典例】沿湖的环形道上有A、B两个路牌，某人从某点开始沿环道散步一周，开始走了20分钟后，此时的位置到A、B路牌距离相等，继续走了50分钟后，此时的位置到A、B路牌距离也相等，假设此人速度保持不变，则此人沿环道再走 分钟回到出发点． 【答案】30 【分析】本题考查了图形的性质，理解题意作出示意图是解题的关键．设到A、B路牌距离相等的位置分别为、，根据题意得到从点散步到点的路程为环形道周长的一半，且需要50分钟，得出沿环形道散步一周的时间，即可求解． 【详解】解：如图，设到A、B路牌距离相等的位置分别为、， 由题意得，从点散步到点的路程为环形道周长的一半，且需要50分钟， 沿环形道散步一周需要分钟， 回到出发点需要沿环道再走分钟． 故答案为：30． 【跟踪训练1】下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形和平行四边形面积的计算方法，如图所示，设平行四边形的底和高分别为a和h，又因A、B都是中点，则，又在中，，边上的高为，所以，再据阴影部分的面积据此即可求解. 【详解】解：如图， 设平行四边形的底和高分别为a和h， 所以，平行四边形的面积为， 又因A、B都是中点，则， 又在中，，边上的高为， 所以， 阴影部分的面积为： ， ； 所以，阴影部分的面积是平行四边形面积的， 故选：C. 【跟踪训练2】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 【题型8.几何体展开图的结构与识别方法】 【典例】如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．圆柱体 C．三棱锥 D．长方体 【答案】A 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键． 通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面， 因此该几何体是三棱柱． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 【跟踪训练2】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键. 根据几何体的展开图，可得答案. 【详解】解：A、不能折叠成四棱锥，故选项错误，不符合题意； B.能折成长方体，故选项正确，符合题意； C、不能折成正方体，故选项错误，不符合题意； D、不能折成圆锥，故选项错误，不符合题意. 故选：B. 【题型9.利用展开图计算几何体的表面积】 【典例】如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图的面积，掌握“圆柱侧面积底面周长高”是解题的关键． 根据“圆柱侧面积底面周长高”即可求解． 【详解】解：由题意得，侧面展开图的面积为． 故答案为：． 【跟踪训练1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 【跟踪训练2】用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为 ，此时的拼法有 种． 【答案】 208 2 【分析】本题主要考查了长方体表面积的计算以及图形的拼接问题． （1）要使拼成的大长方体表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，这样拼接后大长方体的表面积就减少得最多； （2）先分析小长方体不同面的面积，确定拼接方法，再计算大长方体的表面积，最后确定拼法的种类． 【详解】解：小长方体的长，宽，高分别是6，4，2，根据长方形面积公式，可得小长方体三个不同面的面积为： 长为6，宽为4的面的面积：； 长为6，宽为2的面的面积：； 长为4，宽为2的面的面积：； 要使拼成的大长方体的表面积最小，需要把小长方体最大的面拼在一起，即把长为、宽为的面拼在一起； 根据分析，四个小长方体拼在一起，拼接时每两个小长方体拼接一次，就会减少2个面的面积，四个小长方体两两拼接，一共拼接3次，总共减少（个）面的面积， 一个小长方体的表面积为：， 四个小长方体的表面积之和为：， 减少的6个长为6、宽为4的面的面积为：， 大长方体的表面积最小为：； 根据分析，把四个小长方体拼成一个大长方体，需要把长为、宽为的面拼在一起，此时的拼法有2种：可以拼成一个尺寸为的长方体或一个尺寸为的长方体； 故答案是：；． 【题型10.通过展开图推导几何体的体积】 【典例】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．40 B．64 C．56 D．84 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的展开图，由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是，再由长方体的容积公式计算即可得解，正确得出长方体的长、宽、高是解此题的关键． 【详解】解：由图形可得，长方体的高是2，宽是，长是， 故长方体的容积为：， 故选：B． 【跟踪训练1】已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 【答案】或 【分析】本题考查求圆柱的体积，分圆柱的高为8和高为4两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意，当圆柱的高为8，底面周长为4时，圆柱的体积为：； 当圆柱的高为4，底面周长为8时，圆柱的体积为：； 故答案为：或． 【跟踪训练2】如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱的体积，几何体的展开图；根据几何体的展开图分两种情况：①圆柱体底面，，②圆柱体底面，，分别进行计算求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①圆柱体底面周长，高 ∵， ∴底面圆半径， ∴； ②圆柱体底面周长，高， ∴ ∴底面圆半径， ∴， ∴这个圆柱体的体积为或； 故选：D． 【题型11.正方体几种展开图的识别】 【典例】如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它折成一个正方体，共有 种填法． 【答案】4 【分析】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图． 按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可． 【详解】解：一共有以下4种填法： 故答案为：4． 【跟踪训练1】下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查正方体的平面展开图，根据正方体的表面展开图一一判断即可得出答案． 【详解】解：第一个图形可以围成无盖正方体， 第二个图形不能围成正方体， 第三个图形可以围成无盖正方体， 第四个图形可以围成有盖的正方体， 故第一个图形和第三个图形可以围成无盖正方体， 故选C 【跟踪训练2】如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去 号小正方形（写出一种情况即可）． 【答案】1或2或6 【分析】本题考查了正方体的展开图，依据正方体表面展开图的特征，判断图中哪些小正方形不能与剩余部分组成正方体，从而确定应剪去的小正方体． 【详解】解：根据有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图可知：应剪去1或2或6． 故答案为：1或2或6． 【题型12.正方体相对两面上的字】 【典例】一个小立方块的六个面分别标有“我”“是”“嘉”“祥”“学”“生”文字，从三个不同方向看到的情形如图所示，则“我”与“是”字的对面文字分别是（　 ） A．“嘉”“生” B．“祥”“嘉” C．“嘉”“祥” D．“是”“祥” 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字．根据与“我”相邻的面的有“是”“祥”“学”“生”，判断出“我”的对面文字是“嘉”； 与“是”相邻的面的有“我”“嘉”“学”“生”，判断出“是”的对面文字是“祥”． 【详解】解：由图可知，∵与“我”相邻的面的有“是”“祥”“学”“生”， ∴“我”的对面文字是“嘉”； ∵与“是”相邻的面的有“我”“嘉”“学”“生”， ∴“是”的对面文字是“祥”， 故选：C． 【跟踪训练1】一个正方体的六个面写着“祝你学习进步”六个字，正方体的展开图如图．“你”字的对面是 ，“进”字的对面是 ． 【答案】 步 学 【分析】明确正方体展开图的特点； 正方体平面展开图在同一直线上的相对的面之间一定相隔一个正方形； 根据第二行中的字可以确定与“学”相对的汉字； “祝”不能与相邻的“你”“学”和“步”相对，“你”不能与相邻的“祝”“学”“习”相对，据此解答． 本题考查了正方体展开图中的相对问题，熟练掌握展开图的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意分析可得，“学”与“进”相对，“祝”与“习”相对，“你”与“步”相对， 故答案为：步，学． 【跟踪训练2】已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1到6六个数字，从三个不同的方向看到的情形如下左图所示，下右图为这个正方体的展开图，则图中的x表示的数字是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，根据题意，与1相邻的面的数字有：2，5，4，6，判断出1的对面数字是3，与4相邻的面的数字有：2，3，1，6，判断出4的对面数字是5，从而确定出2的对面数字是6，再根据展开图可得6的对面是，即可得出答案，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，∵与1相邻的面的数字有：2，5，4，6， ∴1的对面数字是3， ∵与4相邻的面的数字有：2，3，1，6， ∴4的对面数字是5， ∴2的对面数字是6， 从展开图，可以知道6的对面是，那么， 故选：B． 【题型13.几何体的三视图】 【典例】仓库的角落里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状图如下图，这堆货物可能有（    ）箱． A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查从不同方向看几何体，熟练掌握几何体的特征是解题的关键；根据从正面和左面看到的平面图形，结合从上面看到的图形，可进行求解． 【详解】解：第一种情况：如图所示： ∴（箱）， ∴这堆货物可能有9箱； 第二种情况：如图所示： ∴（箱）， ∴这堆货物可能有10箱； 四个选项中，只有B选项符合题意． 故选：B． 【跟踪训练1】一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其从三个不同方向观察到的形状如图所示，则这个几何体最多可由 个这样的正方体组成． 【答案】16 【分析】本题考查了“从不同方向看正方体组合体”，能根据不同方向上看到的图形，判断出正方体的个数是解题关键． 以从上面看的图作为基底（也可用其他方向的图），根据另外两个方向的图判断每一个位置最多能放几个小正方体即可． 【详解】解：最多的情况如下图： ． 故答案为： 16． 【跟踪训练2】如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，若另取一个相同的小正方体，放在图中几何体标有数字的某一个正方体上面，则从左面看形状图不发生变化的是（    ） A．放在1或2的上面 B．放在3或4的上面 C．放在2或3的上面 D．放在1或4的上面 【答案】A 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据题意从左面看形状图判断即可求解． 【详解】解：当放在1或2的上面，从左面看形状图不变，左边一列依然是三个小正方形，右边一列是一个小正方形； 当放在4的上面，从左面看形状图发生变化，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形； 当放在3的上面，从左面看形状图发生变化，左边一列是四个小正方形，右边一列是一个小正方形； 故选：A． 1．从正面、左面、上面看一个几何体得到的三种形状都是同一张图，如图所示．那么在从上面看该几何体得到的形状图的小正方形中写上该位置的小立方块的个数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是：由三视图确定几何体中小立方块的个数，核心是理解三视图之间的对应关系：主视图和左视图反映层数(高度)，俯视图反映底层分布，结合三者可以确定每个位置的小立方块数量 【详解】解：从上面看的形状里，左上角的位置(第一行第一列)有个小立方块(因为正面和左面看这个位置有两层)， 左下角(第二行第一列)有个， 右下角(第二行第二列)有个， 所以对应选项里，小正方形中该位置的小立方块个数正确的是选项． 故选：B． 2．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 【答案】A 【分析】本题考查正多面体与多边形，掌握知识点是解题的关键． 利用欧拉公式，其中，每个面为正五边形，先计算总边数，再求解顶点数． 【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数， ∴总边数（每条边被两个面共享）． 代入欧拉公式：， ∴， ∴， ∴． 故选A． 3．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图与圆柱的体积计算，明确侧面展开图的长、宽与圆柱底面周长、高的对应关系是解题关键． 侧面展开图的宽为圆柱B的底面周长，侧面展开图的长为圆柱B的高，再根据圆的面积公式、圆柱的体积公式列式求解． 【详解】解：根据题意， 圆柱B的底面半径为，圆柱B的高为， 圆柱B的底面积为， 圆柱B的体积为． 故选：C． 4．将一个正方体纸盒的表面沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体的展开图，按照一定次序展开，并确定出面与面之间的关系是解答本题的重点．由粗线确定出相邻各面是连还是断，据此即可确定平面展开图的形状． 【详解】 解：由题意知，前面、左面、后面相连，上面、右面、下面相连，下面与后面相连，则展开成平面图，其展开图的形状为：； 故选：D． 5．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查正方体的认识，解决本题需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟翻转活动，较好地考查了学生空间观念．在本题的解决过程中，学生可以动手进行具体翻转活动，结合实际操作解题．因为只能向前或向右翻滚，所以注意翻转的路径分3种情况讨论． 【详解】解：如图： 第一种路径：滚动到位置1处，1在下，则6在上；滚动到位置2处，2在下，5在上；滚动到3处，3在下，则4在上； 第二种路径：滚动到位置1处，1在下，则6在上；滚动到4处，3在下，4在上；滚动到3处，2在下，5在上； 第三种路径：滚动到5处，3在下，4在上；滚动到4处，1在下，6在上，滚动到3处，4在下，3在上； 第四种路径：滚动到5处，3在下，4在上；滚动到4处，1在下，6在上，滚动到1处，5在下，2在上，滚动到2处，4在下，3在上，滚动到3处，1在下，6在上，； 所以最后朝上的可能性有4、5，3，6，而不会出现1，2． 故选：D． 6．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)表格见解析 (2) (3)12 (4)8 【分析】本题考查了多面体顶点、面数、棱数之间的关系，解决本题的关键是有表格得到这三者之间的关系． （1）根据四面体，长方体，正八面体，正十二面体的顶点数，面数以及棱数计算填表即可； （2）观察表格中顶点数，面数以及棱数的数字即可得解； （3）根据顶点数比面数大4，可列，再由有18条棱，可列，根据求解即可； （4）先求解出该玻璃饰品的棱数，再根据可求解该玻璃饰品的面数，由此可求． 【详解】（1）解：表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）解：根据表格，可以发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）解：∵顶点数比面数大4， ∴，即， ∵有18条棱， ∴， ∵； ∴，解得， ∴这多面体的顶点数是12； 故答案为：12； （4）解：∵该玻璃饰品有12个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴共有条棱， 设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴． 7．如图是一个长方体的表面展开图，一共标有A、B、C、D、E、F六个面，请解答下列问题： (1)如果A面在长方体的底部，那么_____面会在上面； (2)设，若该长方体相对两个面的代数式之和为0，求代数式的值． 【答案】(1)F (2) 【分析】本题考查长方体及其平面展开图与整式运算综合，熟练掌握长方体平面展开图与立体图形的对应关系，相对面，整式加减运算法则及合并同类项运算，是解决问题的关键． （1）根据长方体的平面展开图，还原成立体图形即可得到答案； （2）根据长方体的平面展开图，A与F对应、B与D对应、C与E对应，从而由相对两个面的代数式之和为0，得，代入求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，根据长方体的平面展开图，A与F是对面，如果A面在长方体的底部，那么F面在长方体的上面； 故答案为：F （2）解：∵相对面是A与F，B与D，C与E，且相对两个面的代数式之和为0， ∴ ∴ ． 8．综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 【答案】（1）图1，表格见解析；（2）且或或或且，；（3）最少需要平方米包装纸． 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）根据（2）的方法，分且找出各种搭法，进而可得出共有且或或或且种不同的方式，利用长方体的表面积计算公式，找出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论； （3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为厘米，根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答． 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 （2）解：当且时，共有种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为，，； 第二类有三种情况，表面积分别为，，． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 共有且或或或且种不同的方式． 又且 搭成的大长方体的表面积最小为． 故答案为：且或或或且，； （3）解：根据三视图可得礼盒的长宽高分别为，，，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为(厘米)， 依题意，  (平方米) 答：最少需要平方米包装纸． 9．某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒（有盖）．设计组参照图1的两款心愿语盒，分别设计了如图2所示的两种对应的展开图（不考虑接缝）以供选择，但设计稿还没完全画完． 材料组准备了图3的三种类型的卡纸供选择，规格如表： 卡纸型号 型号I 型号II 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） （如图1网格） 任务一：（1）请帮设计组在图2中把两张设计稿补充完整（各一种方案即可）； 任务二：（2）设计组在对型号的卡片进行设计时发现此卡片如果用来做边长为正方体纸盒只能做1个，利用率不高，所以打算用型号的卡片来做一个有盖的长方体纸盒（不考虑接缝），由于卡片已经被制作组的成员在左上角减去了一个边长为的正方形纸片，所以制作组想干脆做一个深度为的体积尽量大的长方体纸盒，请你在图中画出设计稿（减去的部分打阴影，棱长用实线描出），并算出这个纸盒的体积． 任务三：①型号II的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图； ②型号III的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图，请你在型号III的卡纸上，画出此方案（只画外轮廓即可）． 【答案】（1）图见解析（2）图见解析，；（3）①3；②4，图见解析 【分析】本题考查正方体和长方体的展开图，熟练掌握正方体和长方体的展开图，是解题的关键： （1）根据正方形的展开图，补全设计稿即可； （2）根据长方体的展开图，补全设计稿，根据长方体的体积公式进行计算即可； （3）分别在型号II的卡片和型号III的卡片上画图，求解即可． 【详解】（1）补全设计稿如图所示：（答案不唯一）； （2）解：由题意，设计稿如图所示， 长方体的长为，宽为，高为，体积为； （3）①如图，型号II的卡片最多可以剪出个图①的心愿语盒A的展开图；最多可以剪出3个图①的心愿语盒B的展开图； 故答案为：3 ②如图，型号III的卡片最多可以剪出4个图1的心愿语盒的展开图； 10．在手工制作课上，老师要求学生备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸．该长方形卡纸的长为，宽为．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． (1)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用，，……等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； (2)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高为的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量、应满足怎么的等量关系？ 【答案】(1)①见解析；② (2)③见解析；④ 【分析】本题主要考查了立方体的展开图，熟练掌握立体图形与展开图之间的对应关系是本题解题的关键． （1）①根据无盖长方体的展开图反推即可画出裁剪线和折叠线；②根据展开图求出长方体长、宽、高，即可求解体积； （2）③根据有盖长方体的展开图反推即可画出裁剪线和折叠线；④由展开图与立体图形的关系可得，长方形卡纸的长等于两倍的高加上两倍的底面长，据此列出关系式即可． 【详解】（1）解：①如图，制作示意图即为所求， ②由①图可知，长方体的体积为； （2）解：③如图，制作示意图即为所求， ④如图， 由题意可知，，，， ∴， 又∵底面是正方形， ∴， ∴，即， ∴长方形卡纸的长与宽的数量、应满足． 11．n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． (2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． (3)从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义平面图形的规律，解题关键是理解题意，准确画出图形； （1）根据题目给出的方法画出图形即可； （2）由前面n阶长方形的宽长比的规律解答即可； （3）根据n阶长方形的宽长比的规律解答即可． 【详解】（1）解：另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示，对应的宽长比分别是，； （2）解：3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； 3阶长方形的宽长比为时，按照题干给出的方法可以得出4阶长方形的宽长比是，； （3）解：选①，因为2阶长方形的宽长比有两种可能，即是； 3阶长方形的宽长比有四种可能，即是； 4阶长方形的宽长比有八种可能，即是； …… 所以10阶长方形的宽长比共有种可能的值； 选②，因为1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，两种不同补法，正好可以补成一个大的正方形，宽长比为1，故“”“ ”…是必然的； 选③，因为，，，，，，， ， 一个长方形的宽长比为，则它是32阶长方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习11 走进几何世界讲义 期末 必备 知识 点梳理 1.几何图形的分类与识别 2.点.线.面.体的动态关系 3.图形的三种基本运动 4.立体图形的平面展开图 5.从三个方向看物体的形状 6.截一个几何体 7.核心性质与方法 8.易错点与备考提示 常考 题型 精讲 精练 1.常见的几何体类型与特征 2.立体图形的分类方法与依据 3.几何体中的点.棱.面的基本概念 4.几何体的截面形状与截法分析 5.点.线.面.体四者之间的联系与转化 6.平面图形旋转形成的立体图形 7.平面图形形状识别与特征辨析 8.几何展开图的结构与识别方法 9.利用展开图计算几何体的表面积 10.通过展开图推导几何体的体积 11.正方体几种展开图的识别 12.正方体相对两面上的字 13.几何体的三视图 期末备考 压轴通关 压轴题(11) 【知识点01.几何图形的分类与识别】 1.基本定义 *立体图形（几何体）：各部分不都在同一平面内，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等。 *平面图形：各部分都在同一平面内，如三角形、四边形、圆、正六边形等。 2.几何体核心分类 *柱体：包括棱柱（三棱柱、四棱柱等，底面为多边形，侧面是平行四边形）、圆柱（两个圆形底面、一个曲面侧面）。 *锥体：包括棱锥（底面为多边形，侧面是三角形）、圆锥（一个圆形底面、一个曲面侧面）。 *球体：由单一曲面围成，无顶点、无棱、无平面。 3.棱柱与棱锥的结构特征 *棱柱：有 2 个全等的多边形底面，n 棱柱有 n 个侧面（直棱柱为长方形）、3n 条棱、2n 个顶点、n+2 个面。 *棱锥：有 1 个多边形底面，n 棱锥有 n 个三角形侧面、2n 条棱、n+1 个顶点、n+1 个面。 正方体、长方体均为四棱柱，是特殊的棱柱。 4.几何图形的构成要素：几何体由面围成，面与面的公共边为棱，棱与棱的交点为顶点；点、线、面是构成几何图形的基本元素。 【知识点02.点.线.面.体的动态关系】 1.核心规律 *点动成线：如笔尖在纸上移动形成线段。 *线动成面：如雨刮器摆动形成扇形区域、线段旋转形成圆面。 *面动成体：如长方形绕一边旋转形成圆柱、直角三角形绕直角边旋转形成圆锥。 2.静态关联：体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；面有平面和曲面，线有直线和曲线。 【知识点03.图形的三种基本运动】 1.平移：图形沿某一方向移动，形状、大小、方向不变，仅位置改变，对应点连线平行且相等。 2.翻折（轴对称）：图形沿某一直线折叠，直线两侧部分完全重合，对应点连线被对称轴垂直平分。 3.旋转：图形绕某一点转动一定角度，形状、大小不变，对应点到旋转中心的距离相等，对应角相等。 4.运动的核心意义：通过平移、翻折、旋转可构造新图形，且图形的形状、大小保持不变，仅位置或方向改变。 【知识点04.立体图形的平面展开图】 1.定义：将几何体表面沿棱剪开后铺平得到的平面图形，同一几何体按不同方式展开可能得到不同的展开图。 2.常见展开图 *正方体：共 11 种，分 “一四一”“一三二”“三三”“二二二” 四类，需掌握相对面、相邻面的位置判断。 *圆柱：侧面展开图为长方形，长等于底面圆周长，宽等于圆柱的高。 *圆锥：侧面展开图为扇形，弧长等于底面圆周长。 *球无平面展开图。 3.展开与折叠：是立体图形与平面图形的双向转化，用于几何体的构造与表面积计算铺垫。 【知识点05.从三个方向看物体的形状】 1.三种视图 *主视图：从正面看得到的图形。 *左视图：从左面看得到的图形。 *俯视图：从上面看得到的图形。 2.核心应用：根据三视图还原立体图形（如判断小正方体个数），或根据立体图形画三视图，培养空间想象能力。 【知识点06.截一个几何体】 1.截面定义：用平面去截几何体，截得的平面图形为截面。 2.常见截面 *截正方体：可得到三角形、四边形、五边形、六边形（最多六边形）。 *截圆柱：可得到圆、长方形、椭圆。 *截圆锥：可得到圆、三角形、椭圆。 *截面形状由平面截几何体的角度和位置决定。 【知识点07.核心性质与方法(跨小节整合】 （一）关键性质 1.欧拉公式：对于简单多面体，顶点数（V）+ 面数（F）- 棱数（E）=2，适用于棱柱、棱锥等。 2.图形运动的不变性：平移、翻折、旋转过程中，图形的形状、大小保持不变，仅位置或方向改变。 3.两点确定一条直线，两点之间线段最短（为后续线段计算铺垫）。 （二）尺规作图初步 苏科版侧重基础作图：作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，为后续几何证明打基础。 （三）几何语言规范 正确使用图形表示（如直线 AB、射线 OA、线段 CD）、符号语言（如∠AOB、AB∥CD）、文字语言描述几何关系，建立规范表达习惯。 【知识点07.易错点与备考提示】 1.易错点 *混淆棱柱与棱锥的面数、棱数、顶点数，可通过欧拉公式验证。 *误判正方体展开图的相对面（如 “Z” 型、“目” 型两端为相对面）。 *截面形状判断时忽略平面截几何体的角度，如截圆柱易漏 “椭圆” 情况。 *视图绘制中漏画虚线或错画方向。 2.备考提示 结合实物模型、折纸、画图等操作，强化空间想象能力。 分类梳理正方体展开图、常见几何体截面、三视图等典型题型，总结解题规律。 规范几何语言与作图步骤，避免因表达不严谨丢分。 【题型1.常见几何体的类型与特征】 【典例】将若干个1立方厘米的正方体木块，摆成一个最小的正方体（不包括一块）至少需要（   ） A．4块 B．8块 C．16块 D．27块 【跟踪训练1】如图所示的几何体，这个几何体的名称是 ． 【跟踪训练2】一个棱柱有6个面，所有侧棱长之和为．底面边长都是．则这个棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【题型2.立体图形的分类方法与依据】 【典例】在如图所示的立体图形中，柱体有 ，锥体有 ，球体有 ． （填序号） 【跟踪训练1】下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练2】下列说法中，正确的个数是（    ） ①柱体的两个底面一样大；②圆柱、圆锥的底面都是圆；③棱柱的底面是四边形；④长方体一定是柱体；⑤棱柱的侧面一定是长方形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型3.几何体中点.棱.面的基本概念】 【典例】若一个棱柱有10个顶点，则它的侧面的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．10 【跟踪训练1】工人叔叔在地面上用64个同样大小的小正方体拼成了一个大正方体，并把它的五个面涂上了颜色（贴地的那个面不涂色），其中3个面涂色的小正方体木块有 个，2个面涂色的有 个． 【跟踪训练2】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．南北朝时期的官员独孤信的印信是一个由26个面组成的多面体，且经过每一个点都有四条棱，已知对于任意一个多面体一定存在：面数点数棱数，那么此多面体印信的棱数为 ． 【题型4.几何体的截面形状与截法分析】 【典例】分别用一个平面去截如图所示的几何体，可能得到三角形截面的几何体有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练1】如图，往一个有盖的长方体水杯中持续注入一些水，注水的过程中，可盖上盖子将水杯任意放置，水平面形状不可能是（   ） A．七边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【跟踪训练2】用一个平面分别截下列五个几何体：球、圆柱、圆锥、六棱柱、三棱锥，可以得到三角形截面的几何体有 ． 【题型5.点.线.面.体之间的联系与转化】 【典例】学府中学第23届运动会入场仪式上，七（8）班在入场仪式上，用光电效应设计了一幅徐徐展开的同学们刻苦训练的动人画卷，这个展开过程用数学知识解释为 ． 【跟踪训练1】夜晚时，我们看到的流星划过属于（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上答案都不对 【跟踪训练2】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱 ⊥面．    【题型6.平面图形旋转形成的立体图形】 【典例】如图是开封博物馆的藏品：乾隆松石绿粉彩朵花瓶，下列平面图形绕虚线旋转一周，能大致形成这个花瓶形状的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】将一个长宽分别为3和4的长方形绕其一边旋转一周，所得几何体体积的最大值为 ．（结果保留） 【跟踪训练2】如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（   ） A． B． C． D． 【题型7.平面图形的形状识别与特征辨析】 【典例】沿湖的环形道上有A、B两个路牌，某人从某点开始沿环道散步一周，开始走了20分钟后，此时的位置到A、B路牌距离相等，继续走了50分钟后，此时的位置到A、B路牌距离也相等，假设此人速度保持不变，则此人沿环道再走 分钟回到出发点． 【跟踪训练1】下图中A、B都是中点，阴影部分的面积是平行四边形面积的（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是 ． 【题型8.几何体展开图的结构与识别方法】 【典例】如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．圆柱体 C．三棱锥 D．长方体 【跟踪训练1】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是 ．    【跟踪训练2】下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型9.利用展开图计算几何体的表面积】 【典例】如图，圆柱的底面直径为，高为．把这个圆柱的侧面沿高剪开后，得到的侧面展开图的面积是 （结果保留）． 【跟踪训练1】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】用四个完全相同的小长方体拼成一个大长方体，其中每个小长方体的长，宽，高分别是6，4，2．那么这个大长方体的表面积最小为 ，此时的拼法有 种． 【题型10.通过展开图推导几何体的体积】 【典例】如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（    ） A．40 B．64 C．56 D．84 【跟踪训练1】已知一个圆柱的侧面展开图是长为8，宽为4的长方形，则该圆柱的体积为 （，结果保留π） 【跟踪训练2】如图，长方形是一个圆柱体的侧面展开图，则这个圆柱体的体积为（    ） A． B．或 C． D．或 【题型11.正方体几种展开图的识别】 【典例】如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它折成一个正方体，共有 种填法． 【跟踪训练1】下列图形中，可能是无盖正方体的表面展开图的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪训练2】如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去 号小正方形（写出一种情况即可）． 【题型12.正方体相对两面上的字】 【典例】一个小立方块的六个面分别标有“我”“是”“嘉”“祥”“学”“生”文字，从三个不同方向看到的情形如图所示，则“我”与“是”字的对面文字分别是（　 ） A．“嘉”“生” B．“祥”“嘉” C．“嘉”“祥” D．“是”“祥” 【跟踪训练1】一个正方体的六个面写着“祝你学习进步”六个字，正方体的展开图如图．“你”字的对面是 ，“进”字的对面是 ． 【跟踪训练2】已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1到6六个数字，从三个不同的方向看到的情形如下左图所示，下右图为这个正方体的展开图，则图中的x表示的数字是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型13.几何体的三视图】 【典例】仓库的角落里有一堆存放货物的正方体纸箱，从三个不同方位看到的形状图如下图，这堆货物可能有（    ）箱． A．8 B．9 C．11 D．12 【跟踪训练1】一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其从三个不同方向观察到的形状如图所示，则这个几何体最多可由 个这样的正方体组成． 【跟踪训练2】如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，若另取一个相同的小正方体，放在图中几何体标有数字的某一个正方体上面，则从左面看形状图不发生变化的是（    ） A．放在1或2的上面 B．放在3或4的上面 C．放在2或3的上面 D．放在1或4的上面 1．从正面、左面、上面看一个几何体得到的三种形状都是同一张图，如图所示．那么在从上面看该几何体得到的形状图的小正方形中写上该位置的小立方块的个数，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 3．如图所示，用高为、底面直径为的圆柱A的侧面展开图，再围成不同于A的另一个圆柱B，则圆柱B的体积为（   ） A． B． C． D． 4．将一个正方体纸盒的表面沿如图所示的粗实线和粗虚线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图（1）那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图（2）所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 6．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． 7．如图是一个长方体的表面展开图，一共标有A、B、C、D、E、F六个面，请解答下列问题： (1)如果A面在长方体的底部，那么_____面会在上面； (2)设，若该长方体相对两个面的代数式之和为0，求代数式的值． 8．综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 9．某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒（有盖）．设计组参照图1的两款心愿语盒，分别设计了如图2所示的两种对应的展开图（不考虑接缝）以供选择，但设计稿还没完全画完． 材料组准备了图3的三种类型的卡纸供选择，规格如表： 卡纸型号 型号I 型号II 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） （如图1网格） 任务一：（1）请帮设计组在图2中把两张设计稿补充完整（各一种方案即可）； 任务二：（2）设计组在对型号的卡片进行设计时发现此卡片如果用来做边长为正方体纸盒只能做1个，利用率不高，所以打算用型号的卡片来做一个有盖的长方体纸盒（不考虑接缝），由于卡片已经被制作组的成员在左上角减去了一个边长为的正方形纸片，所以制作组想干脆做一个深度为的体积尽量大的长方体纸盒，请你在图中画出设计稿（减去的部分打阴影，棱长用实线描出），并算出这个纸盒的体积． 任务三：①型号II的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图； ②型号III的卡片最多可以剪出___________个图1的心愿语盒的展开图，请你在型号III的卡纸上，画出此方案（只画外轮廓即可）． 10．在手工制作课上，老师要求学生备了刻度尺，剪刀，粘接剂等用具，以及如图1所示的长方形卡纸．该长方形卡纸的长为，宽为．制作中，先按要求设计制作方案，在图中画出制作示意图：用实线表示裁剪线、虚线表示折叠线，剪除部分用斜线标注阴影． (1)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个无盖的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿参与做成长方体开口的边沿）． ①在图1中画出制作示意图； ②裁剪线长用，，……等字母，在你的制作示意图中标注裁剪线长，并列代数式表示其体积（不必化简）； (2)要求大家对该卡纸进行裁剪之后，是能经过折叠成为一个封闭的长方体纸盒的展开图（卡纸的4个边沿都参与做成长方体纸盒的棱）． ③在图2中小明同学已画好了一条折叠线所在的虚线，请你在此基础上帮小明画完制作示意图； ④若③中裁剪出的正好是底面是正方形、高为的长方体纸盒的展开图，那么该卡纸的长与宽的数量、应满足怎么的等量关系？ 11．n阶长方形 操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）． 思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和． (1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比． (2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值． (3)从以下问题中任选一个作答： ①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？ ②图3中“”“ ”…是必然的，解释其中道理． ③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $