精品解析：吉林省长春市实验中学2025-2026学年高三上学期第一学程考试数学试卷

长春市实验中学 2025-2026学年上学期第一学程考试 高三数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，利用交集的定义即可求解. 【详解】， . 故选：C. 2. 已知非零实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取特值可判断A和C，由函数的单调性可判断B和D. 【详解】对于选项A：取，，则，故A错误； 对于选项B：因为在上单调递增，所以当时，，故B正确； 对于选项C：取，，则，故C错误； 对于选项D：因为在上单调递增，所以当时，，故D错误. 故选：B. 3. 设函数则的值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算，然后再计算. 【详解】，. 故选D. 【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单计算题型. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解. 【详解】设，则有， 是奇函数，排除D； ，排除B； 当时，，排除C； 故选：A. 5. 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解出不等式，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】由，则， 则，即，解得， 则是成立的充要条件， 是成立的必要不充分条件， 是成立的充分不必要条件， 是成立的既不充分也不必要条件. 故选：B． 6. 已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及对数的运算即可求解. 【详解】解：因为是奇函数且，所以， 又当时，， 所以，解得， 故选：A. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，判断的大小，由，构造函数，利用导数判断单调性，即可得到. 【详解】由不等式可得，即；， 设， 因为，所以在上单调递增， 所以当，所以，即. 所以. 故选：C 8. 已知，在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不等式等价于，分类讨论，和，分别求出实数的取值范围，最后取交集即可. 【详解】易知，不等式，即. 当时，，，则，又，所以； 当时，，对任意的实数，不等式恒成立； 当时，，，则，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合( 图像在 上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，错选得0分，共18分） 9. 已知函数， 则（ ） A. B. 有一个零点 C. y轴是曲线的切线 D. 在(1，+∞)上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】计算出即可判断A；根据函数零点的定义求解判断B；根据函数的定义域可判断C；根据一次函数和对数函数的单调性判断D. 【详解】由，， 则，，由于，则，故A正确； 令，解得，所以有一个零点，故B正确； 因为的定义域为，由函数定义知与函数图象无公共点，所以不可能是函数的切线，故C错误； 因为函数和在上单调递增，且时，， 所以函数在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10. 设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式，以及“1”的变换，判断不等式. 【详解】A.，当时等号成立，故A正确； B.，所以，当时等号成立，故B错误； C.，当时等号成立，故C正确； D. ，当，即时等号成立， 故选：ACD 11. 已知函数 是定义在上的奇函数， 是偶函数，当 时， ， 则下列说法中正确的有（ ） A. 时， B. 函数 的最小正周期是 4 C. D. 方程 恰有 10 个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题设可判断函数的对称性和周期性，故可判断B的正误，根据对称性求出上的函数解析式后可判断A的正误，求出后根据周期性可求，从而可判断C的正误，利用导数刻画函数在上的单调性后可得的图像，数形结合后可判断D的正误. 【详解】因为为上的奇函数，故， 而 是偶函数，故， 所以，故， 故的周期为，故B正确； 由可得， 当时，，故，故A错误； 因为为上的奇函数，故，而， 由可得，， ，故， 故，故C正确； 当，，故在为增函数， 结合的周期性和对称性可得函数的图像如图所示： 而的解的个数可以看成两个图像交点的个数， 而，结合图像可得两个图像在轴右侧交点的个数为5个， 因，由图可得两个函数在轴左侧交点的个数为5个，故共个交点， 故恰有10个不同的解，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若在处有极值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，再根据函数在某点处有极值的条件，即该点处导数为，求出的值，最后进行检验. 【详解】已知，， 因为函数在处有极值，所以， 将代入中，得到，解得， 当时，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，符合题意. 故答案为：. 13. 已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，由题意得出的取值范围和的值，再利用基本不等式即可求出的取值范围． 【详解】由题意，画出函数的图象，如图所示， 又函数有四个零点，且， 所以， 且， 所以，，所以，， 所以，当且仅当时“”成立； 所以的取值范围是． 故答案为：． 14. 已知函数，.若，则k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件将变形为，构造函数，问题即转化为.对函数求导，通过研究函数的单调性将问题进一步转化为，利用分离参数法求最值即可求解. 【详解】因为，所以. 由得， 即， 即. 构造函数， 则可化为. 因为， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以时，取得最小值，即， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. 因为，所以， 即，即. 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以时，取得最大值，即， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】利用导数证明和判断不等式问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系. 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分共77分） 15. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. 【小问2详解】 因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 16. 已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． （1）求的方程； （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得椭圆的焦点，即可得，且，利用计算可得的值，从而得出椭圆方程； （2）根据题意写出直线的方程，与椭圆方程联立可得，利用韦达定理结合弦长公式计算可得结果. 【小问1详解】 由题意，椭圆的焦点为和，即， 且， ，解得， ，， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率，其方程为， 联立可得， 设， 根据韦达定理，则有， . 所以. 17. 某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，现将6人均分成甲、乙两队进行选拔比赛．经分析甲队每名队员投篮命中概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，．现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）． （1）若，求甲、乙两队共投中5次的概率； （2）以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次两种情况，利用概率的乘法求解． （2）分别求出甲、乙两队投中次数的期望，比较大小求得的取值范围． 【小问1详解】 记“甲，乙两队共投中5次”为事件， 则可以是甲队投中3次，乙队投中2次或者甲队投中2次，乙队投中3次． 则， 甲、乙两队共投中5次的概率为． 【小问2详解】 记甲、乙两队投中次数分别为， 则，所以； 的取值为0，1，2，3，则， ， ， ， 所以，的分布列为 0 1 2 3 所以 若甲队获胜，则，故. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： ， ， 由余弦定理得 ， 在中，， 平面平面 ，平面平面平面 ， 平面． 平面， ， ∵四边形是菱形， ， 又，且平面平面， 平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面 ，平面平面 ， 平面， 又∵四边形是菱形，，， 均为等边三角形， 以点为坐标原点，,及过点平行于的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面，为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则即 ， 令，可得，， ∴平面 与平面的夹角的余弦值为． 19. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参； （3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，则， 所以的图象在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由题知，， 因为有三个不同的零点， 所以方程有三个不等实根， 化简可得方程有三个不等实根， 即可看成直线与曲线有三个不同的交点， ， 所以当或时，单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，有极小值为， 当时，有极大值为， 当时，，且当时，， 所以作出函数的图象如图1所示， 所以数形结合可知，即实数的取值范围为． 【小问3详解】 由题知，，其定义域为， 则， 令，得或， 设，则， 当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减， 又当时，；当时，，且， 所以的大致图象如图2所示， 因为在定义域内有三个不同的极值点， 所以与有两个不同的交点，所以， 不妨设，则， 所以，所以 所以 ， 令，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 又， 所以，所以在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2025-2026学年上学期第一学程考试 高三数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零实数，满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数则的值是 A. B. C. D. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是奇函数，且当时，.若，则实数（ ） A. -4 B. -3 C. -2 D. -1 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，部分选对得部分分，错选得0分，共18分） 9. 已知函数， 则（ ） A. B. 有一个零点 C. y轴是曲线的切线 D. 在(1，+∞)上单调递增 10. 设，则下列不等式中一定成立的是（   ） A. B. C. D. 11. 已知函数 是定义在上的奇函数， 是偶函数，当 时， ， 则下列说法中正确的有（ ） A. 时， B. 函数 的最小正周期是 4 C. D. 方程 恰有 10 个不同的实数根 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若在处有极值，则______． 13. 已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是______． 14. 已知函数，.若，则k的取值范围为______. 四、解答题（15题13分，16、17题每题15分，18、19题每题17分共77分） 15. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 16. 已知椭圆与椭圆的焦点相同，且的长轴长是短轴长的倍． （1）求的方程； （2）若过点且斜率为的直线与交于两点，求． 17. 某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，现将6人均分成甲、乙两队进行选拔比赛．经分析甲队每名队员投篮命中概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，．现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）． （1）若，求甲、乙两队共投中5次的概率； （2）以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知函数的导函数为． （1）当时，求的图象在处的切线方程； （2）若有三个不同的零点，求实数的取值范围； （3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $