精品解析：广东省东莞市黄江中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

东莞市黄江中学2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项. 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 3. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，设组员有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 6. 一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽；如果水面下降，则水面宽度增加（　　） A. B. C. D. 9. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO'；⑤S△AOC+S△AOB=．其中正确的结论是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 12. 如图，⊙O的半径是5，∠AOB＝60°，则AB＝_____． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是___．（填正确结论的序号） 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）． （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 18. 如图，已知抛物线的顶点坐标是，与x轴的交点A的坐标是． （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （3）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集为______． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共21分） 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 20. 如图，正方形的边长为2，点E是正方形内一点，绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． （1）绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角是多少度？ （2）若，，求线段的长． 21. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 23. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； （3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞市黄江中学2025-2026学年第一学期期中质量检测 九年级数学 （时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）每小题只有一个正确选项. 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的判定，解题的关键是明确两种图形的定义（轴对称图形：沿直线对折后重合；中心对称图形：绕点旋转后重合）． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，依次判断每个选项是否同时满足这两种图形的特征，进而选出正确选项． 【详解】解：：是中心对称图形，但不是轴对称图形； ：沿竖直/水平中线对折后能重合（轴对称），绕中心旋转后能重合（中心对称）； ：是轴对称图形，但不是中心对称图形； ：是轴对称图形，但不是中心对称图形． 故选B． 2. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. D. 为任意实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．一般地形如（都是常数）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故选：A 3. 二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可． 【详解】二次函数的图象向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得到的函数关系式是，即， 故选：A． 4. 某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了90件，设组员有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设组员有x名同学，则每位同学送出件，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设组员有x名同学，则根据题意列出的方程， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 6. 一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵该一元二次方程为， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转，解答本题的关键是学会利用图象法解决问题． 根据要求作出图形，利用图象法解决问题即可． 【详解】解：如图，点， 故选：A． 8. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽；如果水面下降，则水面宽度增加（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，米，抛物线顶点C坐标为， 通过以上条件可设顶点式， 将A点坐标代入抛物线解析式可得出：， 所以抛物线解析式为， 当水面下降4米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离， 可以通过把代入抛物线解析式得出：， 解得：， 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 9. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 10. 如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO'；⑤S△AOC+S△AOB=．其中正确的结论是（　　） A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；S四边形AOBO=S△AOO+S△OBO，可得结论④错误；如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO+S△AOO，计算可得结论⑤正确． 【详解】由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°， ∴∠1=∠3， 又∵OB=O′B，AB=BC， ∴△BO′A≌△BOC， 又∵∠OBO′=60°， ∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到， 故结论①正确； 如图①，连接OO′， ∵OB=O′B，且∠OBO′=60°， ∴△OBO′是等边三角形， ∴OO′=OB=4． 故结论②正确； ∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5． 在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°， ∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°， 故结论③正确； S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=， 故结论④错误； 如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点． 易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形， 则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=， 故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论为：①②③⑤． 故选A． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，再建立方程，可得答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， ∴， 解得：， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是关于原点对称的两个点的坐标关系，掌握“关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数”是解本题的关键． 12. 如图，⊙O的半径是5，∠AOB＝60°，则AB＝_____． 【答案】5 【解析】 【分析】由OA=OB，得△OAB为等边三角形进行解答． 【详解】解：∵OA=OB=5，∠AOB=60°， ∴△OAB为等边三角形， 故AB=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了圆的认识；等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 13. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是根据方程有实数根的情况求参数，根据方程有实数根，则根的判别式，即可列出关于的不等式，求出的取值范围即可．对于一元二次方程“（a、b、c是常数，且）”中，当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，据此列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：）关于行驶时间t（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意可得s的最大值即为汽车从刹车后到停下来前进的距离，据此求解即可． 【详解】解：， ∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中结论正确的是___．（填正确结论的序号） 【答案】①②⑤ 【解析】 【详解】试题分析：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac．故①正确． ②抛物线开口向上，得：a＞0； 抛物线的对称轴为，b=﹣2a，故b＜0； 抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0； 所以abc＞0．故②正确． ③∵抛物线的对称轴为，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0．故③错误． ④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）； 由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误． ⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）； 当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0．故⑤正确． 综上所述，结论正确的有①②⑤． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用配方法即可求解； 【小问1详解】 解：， ， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得： 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）试作出以为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点为对称中心，画出与关于原点成中心对称的，且坐标为______． 【答案】（1） 根据题意，作图如下： ， 则即为所求． （2） 画图如下： ． 则即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，结合旋转的方向作图即可； （2）根据原点对称的点的坐标特点，确定坐标后画图即可． 本题考查了旋转作图，原点对称的作图，熟练掌握作图的基本要领，确定坐标是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，，，关于原点的对称点分别为，，．且． 18. 如图，已知抛物线的顶点坐标是，与x轴的交点A的坐标是． （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； （2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （3）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集为______． 【答案】（1） （2）B （3）或 【解析】 【分析】（1）先求解抛物线的解析式为，再结合抛物线的性质可得答案； （2）先求解抛物线的对称轴为直线，再结合抛物线的性质可得答案； （3）由抛物线在轴下方的图象可得的解集． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线为， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的交点A的坐标是． ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是． 【小问3详解】 解：根据图象可得：的解集为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的对称轴方程以及抛物线的性质，抛物线与轴的交点坐标，掌握以上基础知识是解本题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共21分） 19. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元， 根据题意得，然后解方程即可； 本题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：每个车位的月租金上涨或元时，停车场的月租金收入为元． 20. 如图，正方形的边长为2，点E是正方形内一点，绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． （1）绕点A顺时针旋转到的位置，旋转角是多少度？ （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转方向旋转对应点可以求得旋转角度； （2）首先解直角三角形求出，然后利用勾股定理即可求出； 此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质及勾股定理，解题的关键是找到旋转后对应的边角关系． 【小问1详解】 解：（1）∵绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． ∴旋转角为， ∵四边形为正方形， ∴旋转角为； 【小问2详解】 ∵正方形的边长为2， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵绕点A顺时针旋转到的位置，点E的对应点是点，点D的对应点是点B． ∴，， ∴． 21. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）当时，求的长． （3）探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】（1） 证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； 【小问3详解】 解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，直线上方的抛物线上有一点F，过点F作垂直于点G，作平行于x轴交直线于点H，求周长的最大值及F点坐标； （3）点M是抛物线顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出P点坐标． 【答案】（1） （2）的周长最大值为 ，； （3）或或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，进而求出点D坐标，可得直线解析式为：，则，证明，进而得到，则是等腰直角三角形，推出；设点F坐标，则点H坐标，则，则的周长，由二次函数的性质可得当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； （3）先求出顶点M的坐标为，则；设，则，，由矩形的性质可得是直角三角形，故可分当时， 当时， 当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入中得： 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵D、C关于对称轴对称，点C坐标， ∴点D坐标， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设点F坐标，则点H坐标， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴当时，的周长有最大值，最大值为 ，此时点F的坐标为； 【小问3详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴顶点M的坐标为， ∴； 设， ∴，， ∵以A，M，P，Q为顶点的四边形是矩形， ∴是直角三角形， 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于根据矩形的性质得到是直角三角形，进而利用勾股定理建立方程求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $