精品解析：甘肃省武威市凉州区上泉乡中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

九年级数学试题卷 全卷共6页，分值150分，时间120分钟 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若∠ACB=20°，则∠ACD的度数是（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 6. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的图象经过，三点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点，在抛物线上，则，其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 12. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=2．动点P沿AB从点A向点B移动（点P不与点A，点B重合），过点P作AB的垂线，交折线A-C-B于点Q．记AP=x，△APQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_______． 14. 已知，是方程的实数根，则______． 15. 已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为______． 16. 如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA、PC，PA＝PC，∠APC＝90°，把线段AP绕点A逆时针旋转120°，得到线段AQ（点P与点Q为对应点），连接BQ交AP于点E．点D为BQ的中点，连接AD、PD，若S△DAP＝2，则AB＝__． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 先化简，再求值：．其中满足． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，以点O为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到． （1）画出； （2）直接写出点和点的坐标； （3）求线段的长度． 20. 随着技术的不断进步，等智能系统正逐渐展现出强大的数据处理和分析能力．为了培养学生科技创新的意识和能力，学校开展了一场有关科技创新的知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（满分100分，得分用表示，共分成四组：；；；），其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，89，93，96，99，99，90，100．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：91，92，94，94．根据信息，回答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 八年级 93 100 （1）在上述图表中：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科技创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有500人参加了此次科技创新竞赛活动．请估计该校七、八年级参加此次科技创新竞赛成绩优秀（不低于90分）的学生人数是多少？ 21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D, （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 22. 如图，已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 23. 某网店推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，每天获得的利润为3000元？ （3）若销售单价不低于60元且不高于70元，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 25. 【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动，这两张矩形纸片的长为，宽为． （1）【实践探究】小红将两个完全相同的矩形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边在同一直线上，则线段与线段的数量关系是____，位置关系是_____． （2）【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将矩形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即，边与边交于点M，点N是上一点，连接，若，时，求的长． （3）【拓展研究】从图2开始，小亮将矩形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题卷 全卷共6页，分值150分，时间120分钟 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 【详解】∵ 方程 对应标准形式， ∴ 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 故选： 3. 一元二次方程的根的情况是(　　) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用的图象与性质即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选：． 5. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若∠ACB=20°，则∠ACD的度数是（ ） A. 55° B. 60° C. 65° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质得∠BCD＝90°，再利用∠ACB=20°求解即可． 【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC， ∴∠BCD＝90°， ∵∠ACB=20°, ∴∠ACD＝∠BCD-∠ACB＝90°-20°＝70°， 故选：D 【点睛】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 6. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”解题即可． 【详解】解：把抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，所得函数的表达式为：， 故选：D． 7. 若二次函数的图象经过，三点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴即可求解． 【详解】解：由题意可得：二次函数的对称轴为：直线 ∵点在对称轴左边，距离对称轴个单位长度 点在对称轴右边，距离对称轴个单位长度 又二次函数开口向上　 ∴ 故选：A 【点睛】本题考查二次函数的增减性．确定二次函数的开口方向和对称轴是关键． 8. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 因为当时，y随x的增大而减小， 所以． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9. 被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为、宽为的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为，设留白部分的宽度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为，宽为，根据塑封后的面积可列式求解． 【详解】解：根据题意，塑封后的长为，宽为，面积为， ∴列方程为： 故选：D ． 10. 如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图像可以直接回答即可． 【详解】解：观察图像得：当时，二次函数的图像位于一次函数的图像的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 11. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④若点，在抛物线上，则，其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3 个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．结合函数图象，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、一元二次不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：①∵对称轴是轴的右侧， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①错误； ②， ∴即， 故②正确； ③二次函数和直线的图象有两个不同的交点， 所以有两个不相等的实数根. 故③正确； ④∵点在抛物线上， 且关于对称轴对称， ∴ 故④正确； 其中正确的有个. 故选：C. 12. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=2．动点P沿AB从点A向点B移动（点P不与点A，点B重合），过点P作AB的垂线，交折线A-C-B于点Q．记AP=x，△APQ的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可． 【详解】解：当点Q在AC上时，y=×AP×PQ=•x•x•tan∠A=x2（0≤x≤1）； 当点Q在BC上时，如下图所示， y=AP•PQ=x(2−x)tan∠B=−x2+x（1＜x≤2）， ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下． 观察四个选项，只有B选项符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题关键是注意点Q在BC上这种情况． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 点关于原点的对称点为点，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了在平面直角坐标系中，关于原点对称的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标与纵坐标都互为相反数求解． 【详解】解：点关于原点的对称点的横坐标为，纵坐标为，故点的坐标为． 故答案为． 14. 已知，是方程的实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．准确计算是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和与两根之积，再代入所求表达式即可． 【详解】解：， ，，， ，， ． 故答案是：． 15. 已知二次函数 的图象向右平移个单位得到抛物线 的图象，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等，由二次函数 ，得该函数的顶点的坐标为，故有点到轴的距离为，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键． 【详解】解：如图，设点为抛物线的顶点，点为抛物线的顶点，连接，则四边形的面积和阴影部分的面积相等， ∵二次函数 ， ∴该函数的顶点的坐标为， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴四边形的面积是， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 16. 如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA、PC，PA＝PC，∠APC＝90°，把线段AP绕点A逆时针旋转120°，得到线段AQ（点P与点Q为对应点），连接BQ交AP于点E．点D为BQ的中点，连接AD、PD，若S△DAP＝2，则AB＝__． 【答案】4 【解析】 【分析】延长QA到M，使得AM＝AQ，连接BM，PM．首先证明△PAM是等边三角形，证明△MAB≌△PAC（SAS），推出∠AMB＝∠APC＝90°，由AQ＝AM，BD＝DQ，推出AD∥BM，BM＝2AD，推出AD＝PA，再利用三角形的面积公式构建方方程求出PA即可解决问题． 【详解】延长QA到M，使得AM＝AQ，连接BM，PM． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∵PA＝PC，∠APC＝90°， ∴∠PAC＝∠PCA＝45°， ∵∠PAQ＝120°， ∴∠PAM＝180°﹣120°＝60°， ∵AM＝AQ＝AP， ∴△APM是等边三角形， ∴∠MAP＝∠BAC＝60°， ∴∠MAB＝∠PAC， ∵AM＝AP，AB＝AC， ∴△MAB≌△PAC（SAS）， ∴BM＝PC，∠AMB＝∠APC＝90°， ∵AQ＝AM，BD＝DQ， ∴AD∥BM，BM＝2AD， ∴AD＝PA， ∴∠QAD＝∠QMB＝90°， ∴∠PAD＝∠MAD﹣∠MAP＝90°﹣60°＝30°， ∵S△PAD＝2， ∴•PA•AD•sin30°＝2， ∴•PA•PA•＝2， ∴PA＝4， ∴AB＝AC＝PA＝4， 故答案为4． 【点睛】考核知识点：等腰直角三角形；旋转的性质．理解相关性质是关键. 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算和一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． （1）利用零指数幂、负指数幂、绝对值的性质计算即可； （2）利用因式分解法求解即可； 【详解】（1）原式 ； （2）， ， ，， ，． 18. 先化简，再求值：．其中满足． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，准确计算是解题的关键． 先对分式进行化简，再代入求值即可； 【详解】原式 ， ， ， ， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，以点O为旋转中心，将逆时针旋转90°，得到． （1）画出； （2）直接写出点和点的坐标； （3）求线段的长度． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）分别画出A，B绕点O逆时针旋转后的对应点，，再画三角形即可； （2）由点，在坐标系内的位置可得其坐标； （3）直接利用勾股定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由勾股定理可得：. 【点睛】本题考查的是画旋转图形，坐标与图形，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握以上基础知识是解本题的关键. 20. 随着技术的不断进步，等智能系统正逐渐展现出强大的数据处理和分析能力．为了培养学生科技创新的意识和能力，学校开展了一场有关科技创新的知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取了10名学生的竞赛成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析（满分100分，得分用表示，共分成四组：；；；），其中分数不低于90分为优秀，下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩：84，85，86，89，93，96，99，99，90，100．八年级10名学生的竞赛成绩在组中的数据是：91，92，94，94．根据信息，回答下列问题： 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 93 八年级 93 100 （1）在上述图表中：_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科技创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七、八年级共有500人参加了此次科技创新竞赛活动．请估计该校七、八年级参加此次科技创新竞赛成绩优秀（不低于90分）的学生人数是多少？ 【答案】（1），； （2）解：七年级学生科技创新知识掌握较好，理由如下： 因为七年级学生科技创新竞赛成绩的中位数分大于八年级学生科技创新竞赛成绩的中位数93分； （3）195人 【解析】 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，扇形统计图，用样本估计总体等等，正确理解题意是解题的关键． （1）用八年级C组的人数除以10即可求出a；再根据中位数和众数的定义求出b、c即可； （2）七年级的中位数大于八年级的中位数，据此可得结论； （3）用500乘以样本中该校七、八年级参加此次科技创新竞赛成绩优秀（不低于90分）的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 把八年级10名学生的竞赛成绩按照从低到高排列，中位数是第5名成绩和第6名成绩的平均数， ∵， ∴八年级的中位数为分，即， ∵七年级成绩中，得分为99分的人数最多， ∴七年级的众数为99分，即； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：该校七、八年级参加科技创新知识竞赛成绩被评为优秀的总人数为195人． 21. 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D, （1）求证：BE＝CF ； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 【答案】 （1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF， 即∠EAB=∠FAC， 在△ACF和△ABE中， ， △ACF≌△ABE， BE=CF. （2）-1 【解析】 【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，得出△ACF≌△ABE，从而得出BE=CF； （2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE=AC=， ∴BD=BE﹣DE=． 考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质． 22. 如图，已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、最短路线问题． 把点、点的坐标代入，用待定系数法求出二次函数的解析式； 根据两点之间线段最短可知，当点、、三点共线时，最小，用待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线对称轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：把点、点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接交对称轴于点，连接， 点、关于对称轴对称， ， ， 当点、、三点共线时，最小， 设直线的解析式是， 把点、点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 抛物线的对称轴是， 当时，， 点的坐标是． 23. 某网店推出纪念T恤衫，成本为30元/件，经市场调查发现每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）直接写出y与x之间的函数关系式． （2）当销售单价为多少时，每天获得的利润为3000元？ （3）若销售单价不低于60元且不高于70元，当销售单价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； （3）当销售单价为60元时，每天获得的利润最大，最大值为3000元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象中的数据利用待定系数法求解析式即可； （2）根据题意得到利润为，根据每天获得的利润3000元得到一元二次方程，解方程即可； （3）设利润为，根据题意可得，即，根据二次函数的性质即可求得最大值． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为； 将代入得： 解得 y与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意可得，利润为， 则， 解得 答：当销售单价为元或元时，每天获得的利润3000元； 【小问3详解】 设利润为，则， 即 ，开口向下 对称轴为，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∴ 则把代入，得 当销售单价为60元时，每天获得的利润最大，最大值为3000元． 24. 如图是某小区设计的一个车棚，其截面如图所示，顶棚是抛物线的一部分，，垂直于地面，且，，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式为常数，． （1）求顶棚抛物线的函数关系式； （2）小军想驾驶一辆宽为，高为的货车进入车棚，通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ （3）如图，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固在顶棚，之间抛物线上有两个点和（不与点，重合）．它们的横坐标分别为，，连接，设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】（1） （2）能 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数对称轴等知识点，解决此题的关键是熟练运用二次函数图象的性质； （1）根据二次函数待定系数法求解析式即可； （2）先求出对称轴， 根据对称轴求出最高处，求出题中的高度，进行比较即可； （3）此题要进行分类讨论，注意其结果的取舍； 【小问1详解】 解：由题意得，图象过，， ∴． ∴． ∴顶棚抛物线的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：由题意得，对称轴为直线：， ∵车身的宽为， ∴车身的一端点的坐标为， 过作于点， 又将代入，得 ∴，即， ∴小军能将车开进车棚． 【小问3详解】 解：由题意，，在抛物线，之间， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，都在对称轴的左侧时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，舍； 当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， 当时，顶点坐标为， ∴， ∴， ∴舍，舍． 综上所述：． 25. 【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动，这两张矩形纸片的长为，宽为． （1）【实践探究】小红将两个完全相同的矩形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边在同一直线上，则线段与线段的数量关系是____，位置关系是_____． （2）【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将矩形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即，边与边交于点M，点N是上一点，连接，若，时，求的长． （3）【拓展研究】从图2开始，小亮将矩形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点O时，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，可证明，得到，，再利用直角三角形的性质，可推得，即得答案； （2）过点A作于H，先证明，得到，可进一步证明，，从而可得答案； （3）设中点为O，当直线过点O时，过点B作，交直线于点K，证明，得，求出，得，分当点O在线段上时，当点O在延长线上时分别求出的长度，分别计算即得． 【小问1详解】 解：∵长方形纸片和完全相同， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 【小问2详解】 解：如图，过点A作于H， ，且， ∴， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设中点为O， 当直线过点O时，过点B作，交直线于点K， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点O在线段上时， , ∴； 当点O在延长线上时， ， ∴` 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题主要考查了矩形与旋转．熟练掌握矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形面积公式，分类讨论，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $