精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年高一上学期统练三数学试题

人大附中高一数学统练三 一、选择题（共10道小题，每题4分，共40分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上） 1. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 7. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据：，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 8. 已知是在R上的奇函数，满足，且时，函数，函数恰有3个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 10. 已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上） 11. _____． 12. 函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______. 13. 已知正数满足，则的最小值为_____． 14. 已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 15. 已知函数（且）.给出下列四个结论： ①存在实数a，使得有最小值； ②对任意实数a（且），都不是R上的减函数； ③存在实数a，使得的值域为R； ④若，则存在，使得. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：（共3道小题，共35分．请把正确答案填在答题纸上） 16. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求： （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 17. 函数，其中． （1）若，求的零点； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 18. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①； ②； （2）若是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中高一数学统练三 一、选择题（共10道小题，每题4分，共40分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上） 1. 下列函数中，既是奇函数又在上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性与奇偶性逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，该函数为非奇非偶函数， 且该函数在上为增函数，A选项不满足要求； 对于B选项，函数是定义域为的偶函数，且该函数在上为增函数， B选项不满足要求； 对于C选项，函数是定义域为的奇函数，且该函数在上为减函数， C选项不满足要求； 对于D选项，函数是定义域为的奇函数，且该函数在上为增函数， D选项满足要求. 故选：D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由根式化为指数，再结合指数幂的运算性质可求出答案. 【详解】由题意，可知， ∴·. 故选：A. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 5. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解. 【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点， 即由函数在区间上没有零点，可得， 而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点， 所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件. 故选：B. 6. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性及函数值的范围，运用排除法求解． 【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，又， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项B； 当时，，，排除选项D； 当时， ，排除选项C． 故选：A 7. 随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（ ）（参考数据：，） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】C 【解析】 【分析】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，得到，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒， 由题意得， 两边同时取对数，得，即， 即， 所以秒. 故选：C. 8. 已知是在R上的奇函数，满足，且时，函数，函数恰有3个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知是在R上的奇函数且关于x=1对称，函数恰有3个零点，等价于和有3个交点，当时，函数的解析式已知，用数形结合的方法可求得a的取值范围。 【详解】由题得，令，定义域为，恰有3个零点，即和的图像在定义域内有3个交点，，故函数的一个周期是4，又时，函数，且图像关于轴x=1对称，由此可做出函数图像如图，若两个函数有3个交点，则有，解得，则a的取值范围是. 故选：D 【点睛】对数函数和指数函数有交点，无法直接求出交点坐标，采用数形结合的方法求参数是此类题的核心解题思路，有一定的难度。 9. 已知函数，若在区间上既有最大值，又有最小值，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本函数的图象与性质，得出的图象，再结合条件及图象，即可求解. 【详解】因为，当时，，易知在区间上单调递增，且， 当时，，对称轴为，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 图象如图所示，由，得到或（舍）， 又在区间上既有最大值，又有最小值，由图知，，， 所以选项A，B和C错误，选项D正确， 故选：D. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于利用基本函数的图象与性质，求作出的图象，再数形结合，即可求解. 10. 已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先通过函数的奇偶性、单调性，利用分式不等式的性质，将题意转化为两个二次不等式至少一个有解，再令，利用二次函数的性质，分段求解二次函数最值，转化为关于的不等式恒成立问题求解的范围可得. 【详解】已知是奇函数，故， 则原不等式可化简为：（*）， 当时，（*）式可化为， 由在上单调递增，则，即； 当时，（*）式可化为， 由在上单调递增，则，即； 由题意可得，对， 不等式在上有解，或不等式在上有解. 令，图象开口向上，且对称轴，且. ①对，若不等式在上有解， 当时，由，可知， 要使不等式在上有解， 则对恒成立， 所以，故； ②对，若不等式在上有解， （i）当，即时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 要使不等式在上有解， 则有，即对恒成立， 故，故； （ii）当，即时， 由在上单调递减， 则， 要使不等式在上有解， 则有对恒成立， 故，故； 综合（i）（ii）可知，要使对，不等式在上有解， 则； 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：A. 二、填空题（共5道小题，每题5分，共25分．每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上） 11. _____． 【答案】8 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得. 【详解】因为，， ，， ， 故答案为：. 12. 函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的图象求出定点的坐标，代入求出的值，然后计算函数值即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 令，解得，则， 所以点坐标为， 又点在幂函数的图象上，所以，解得， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知正数满足，则的最小值为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】先化简根式，然后根据基本不等式的性质求解即可. 【详解】由题意，， 所以. 所以. 当且仅当即时等号成立，此时的最小值为24. 故答案为：24. 14. 已知函数，，，其中表示a，b中最大的数．若，则________；若对恒成立，则t的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】由函数的定义，求，由时，，当时，可得已知条件等价于在上恒成立，化简可求的范围． 【详解】由已知， 若，则，所以， 当时，，当时，， 因为对恒成立； 所以当时，恒成立， 所以当时，恒成立， 若，则当时，，矛盾， 当时，可得恒成立，所以， 所以t的取值范围是为， 故答案为：，. 15. 已知函数（且）.给出下列四个结论： ①存在实数a，使得有最小值； ②对任意实数a（且），都不是R上的减函数； ③存在实数a，使得的值域为R； ④若，则存在，使得. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出关于y轴的对称函数为，利用与y的图像在上有交点判断④. 【详解】当时，当时，，所以有最小值0，①正确； 若是R上的减函数，则，无解，所以②正确； 当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R； 当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R； 由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误； 又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题：（共3道小题，共35分．请把正确答案填在答题纸上） 16. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求： （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可得出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）分和两种情况讨论，根据题意得出关于实数的不等式（组），解出即可. 【小问1详解】 解不等式，即，解得，得 对于函数，有，解得，则 ，则； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，得到，符合题意， 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是. 17. 函数，其中． （1）若，求的零点； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，即可求解零点， （2）令得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当时，，令，则，故， 所以的零点为. 【小问2详解】 令，则，，故， 由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故， 所以的取值范围为 18. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“区间”． 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有． （1）分别判断区间是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）； ①； ②； （2）若是函数的“区间”，求m的取值范围； （3）已知定义在上，且图象连续不断的函数满足：对任意，且，有．求证：存在“区间”，且存在，使得不属于的所有“区间”． 【答案】（1）①是，②不是； （2）； （3） 对于任意区间，记， 依题意，在上单调递减，则. 因为，所以， 即S的长度大于的长度，故不满足性质①. 因此，如果为的“Q区间”，只能满足性质②，即， 即只需存在使得，或存在使得. 因为不恒成立，所以上述条件满足，所以一定存在“Q区间" . 记，先证明函数有唯一零点； 因为在上单调递减，所以在上单调递减. 若，则为的唯一零点； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 若，则，即， 由零点存在定理，结合单调性，可知存在唯一，使得； 综上，函数有唯一零点，即， 已证的所有“Q区间”都满足条件②，所以. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接判断即可得出结论； （2）根据是函数的“区间”确定其满足性质1，据此分类讨论求二次函数值域，检验即可得解； （3）由所给函数性质分析出满足性质2，转化为不恒成立，存在“区间”，再构造函数，证明有唯一零点，且. 【小问1详解】 对①，当，，满足性质1，是函数的“区间”， 对②，当时，，当时，，故不满足性质1,2， 不是函数的“区间”. 【小问2详解】 记， ，注意到， 因此，若为函数的“区间”，则其不满足性质②，必满足性质①，即. 当时，在上单调递增，且， 所以不包含于，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，所以，不合题意. 综上，. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：根据所给函数的新定义，理解应用新定义，是解决问题的关键，其中注意分类讨论思想、特殊化思想的应用，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $