6.3.2余弦定理 讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“余弦定理”核心知识点，系统梳理定理内容、变形公式及两类应用（已知三边求角、已知两边夹角求第三边），衔接正弦定理形成解三角形知识体系，为三角章节学习提供坚实支架。 资料以“四基”为设计核心，例题涵盖基础应用（如已知三边求角）与创新情境（如公式记忆错误条件判断），培养数学思维；融入自动卸货汽车、滕王阁高度测量等实际问题，发展数学眼光。同步练习分层设计，解析详尽，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达问题的能力。

【原卷版】 第6章 三角 6.3.2 余弦定理 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 【附录】本节相关考点 考点一 余弦定理 余弦定理： ；， ； 变形 ；；； 例1、在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（     ） A． B． C． D． 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（     ） A． B． C． D． 例3、小马同学和小虎同学记忆公式十分马虎，他们要求一个等腰的面积， 小马同学把余弦定理记忆为： 小虎同学把正弦定理记忆为： 则小马同学能把该三角形面积求对是小虎同学能把该三角形面积求对的（     ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 例4、在中，已知，则的值为 . 例5、如图，在中；，、、分别是、、上的点， 若，则 ． 例6、如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到） 例7、在△ABC中，，B＝45°，解这个三角形． 例8、已知中，，求各角的度数． 例9、在中，角所对应的边分别为. （1）若，求的值； （2）若，，试判断的形状. 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 1、利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． （2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． 2、利用余弦定理可解决以下两类三角形问题： （1）已知两边和它们的夹角，求其他边与角； （2）已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 3、教材强调 1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（    ） A．45° B．60° C．90° D．135° 2、小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 3、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ． 4、边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 5、已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为 . 6、由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 7、如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 8、在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 9、上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    （1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； （2）求露营区面积的最大值. 10、某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． （1）若米，求角的余弦值； （2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ （3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【解析版】 第6章 三角 6.3.2 余弦定理 高中数学 “四基” 是学科核心素养的根基，涵盖基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验。 “四基” 相互支撑、层层递进，既是高中数学学习的核心目标，也是提升逻辑思维、培养问题解决能力的重要路径，为后续学科深造与实际应用筑牢根基。 “四基”包括基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 基础知识：包括概念、公理、定理、性质、法则等，是需要记的， 基础技能：有运算技能、推理技能、作图技能等，是需要练的。 基本思想：包括抽象、推理、模型，是需要积淀的。 基本活动经验：需要有活动的寄托，需要有经验的积累。 【附录】本节相关考点 考点一 余弦定理 余弦定理： ；， ； 变形 ；；； 例1、在中，角，，所对的边分别为，，，且，则角的大小是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据余弦定理求出，从而求出的大小. 【答案】B 【解析】因为， 所以， 因为， 所以， 故选：B 【说明】本题考查了已知三角函数值求角、已知三边(三边关系)解三角形 利用余弦定理解三角形 例2、在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（     ） A． B． C． D． 【提示】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【答案】B 【解析】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 【说明】本题考查了二倍角的正切公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 例3、小马同学和小虎同学记忆公式十分马虎，他们要求一个等腰的面积， 小马同学把余弦定理记忆为： 小虎同学把正弦定理记忆为： 则小马同学能把该三角形面积求对是小虎同学能把该三角形面积求对的（     ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据正确的正余弦定理,求出在什么样的特殊情况下用错误的正余弦定理也能求出正确结果,计算出特殊情况,求出结果. 【答案】D 【解析】根据题意,当小马同学能做对时,即, 解得即,因为是等腰三角形,所以当是等腰直角三角形时小马能做对. 当小虎同学能做对时 即 化简得,即是等边三角形时小马能做对.所以是既不充分也不必要条件. 故选:D. 【说明】本题考查了判断命题的充分不必要条件、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 例4、在中，已知，则的值为 . 【提示】根据余弦定理求解. 【答案】 【解析】由余弦定理，， . 故答案为：. 【说明】本题考查了利用余弦定理解三角形 例5、如图，在中；，、、分别是、、上的点， 若，则 ． 【提示】通过四边形 是平行四边形，确定，设，在，中分别应用余弦定理即可求解. 【答案】4 【解析】因为，所以，又， 所以， 又，所以四边形 是平行四边形， 所以, 又 ，所以 ， 即 均为等腰三角形。 设，则， 又， 所以， 因为， 所以， 在中由余弦定理： ， 代入， 解得： ， 在中， 由余弦定理得： 代入数据可得： 解得：， 所以​ 故答案为：4 【说明】本题考查了利用余弦定理解三角形 例6、如图，自动卸货汽车采用液压机构．已知车厢的最大仰角为，油泵顶点与车厢支点之间的距离为，的长为，与过的水平线交于点，的长为.则与水平线之间的夹角的大小为 .（以角度制表示，精确到） 【提示】首先在中求和，再在中，根据正弦定理，即可求解. 【答案】 【解析】中，根据余弦定理， ，则， 中，根据余弦定理，即，得， 则，所以. 故答案为： 【说明】本题考查了利用余弦定理进行几何图形中的计算 例7、在△ABC中，，B＝45°，解这个三角形． 【提示】由余弦定理可求出，再由余弦定理即可求出，即可求出. 【答案】 【详解】根据余弦定理得， ， . 又， . 【说明】本题考查了利用余弦定理解三角形；属于已知两边及一角解三角形 例8、已知中，，求各角的度数． 【提示】由题意可设：，，，利用余弦定理可求得，结合的范围，可得，同理可得，由三角形内角和定理即可求得角． 【答案】，，. 【解析】， 设，，，， 由余弦定理可得：． 由，可得， 同理可得，可得． ． 【说明】本题考查了利用余弦定理解三角形，属于已知三边(三边关系)解三角形 例9、在中，角所对应的边分别为. （1）若，求的值； （2）若，，试判断的形状. 【提示】（1）利用两角和差的正弦公式进行转化求解即可； （2）利用余弦定理结合直角三角形的定义进行判断即可. 【答案】（1）；（2）为直角三角形. 【解析】（1）因为，所以， 即，所以， 因为，所以. （2）因为，，由余弦定理得：， 即，所以， 所以为直角三角形，其中∠B为直角. 【说明】本题综合考查了利用余弦定理解三角形、三角函数与解三角形综合 高中数学 “四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）的同步练习是衔接课堂学习与能力提升的关键纽带，必要性不言而喻。 1、利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． （2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． 2、利用余弦定理可解决以下两类三角形问题： （1）已知两边和它们的夹角，求其他边与角； （2）已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 3、教材强调 1、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（    ） A．45° B．60° C．90° D．135° 【答案】A 【解析】中，， 可得：， 由余弦定理可得： ， ， ， 故选：A. 2、小张同学尺规作图，画一个三角形，三条高的长度分别为，则小张同学（    ） A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形 C．能作出一个钝角三角形 D．能作出无数个钝角三角形 【答案】C 【解析】设边上的高分别为，则， 所以最大角的余弦值满足，， 所以能作出一个钝角三角形. 故选：C. 3、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则 ． 【答案】 【解析】根据正弦定理由可得， 又，所以， 故, 故答案为： 4、边长是5、7、9的三角形的外接圆半径等于 ． 【答案】 【解析】不妨令的三边、、， 由余弦定理， 所以， 由正弦定理，所以. 故答案为： 5、已知有一内角与其半角不为同一象限角，且，，则边长的取值范围为 . 【答案】 【解析】中，，，， 则，即， 因为有一内角与其半角不为同一象限角， 所以内角为钝角或直角，则（或）为钝角或直角， 则或， 由余弦定理得（其中）或（其中）， 即（其中）或（其中）， 解得或，又， 则或，即边长的取值范围为. 故答案为：. 6、由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】连接， 因为在圆内接四边形中，，，，， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，， ，即， 解得或（舍去），则， 所以圆内接四边形的面积. 故答案为：. 7、如图，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米 【答案】 【解析】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 8、在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 9、上海某区计划将某乡村规划成休闲度假区，该度假区形状如图，设想在其中规划出三个功能区：为露营区，为垂钓区，为活动区.已知为直角三角形，，，，为内一点，且.    （1）安全起见，垂钓区周围需要筑护栏，已知， ①求的大小； ②求护栏的长度（精确到0.01）； （2）求露营区面积的最大值. 【提示】（1）①应用正弦定理求角的大小；②应用余弦定理求边长； （2）由余弦定理及基本不等式得，再由三角形面积公式求最大面积. 【答案】(1)①；②千米；(2). 【解析】（1）①由题设，， 而，即，故； ②由上可知，而，则， 所以千米. （2）由题设， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即露营区面积的最大值. 10、某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，． （1）若米，求角的余弦值； （2）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？ （3）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【提示】（1）由余弦定理即可求解； （2）由三角形面积公式及余弦定理即可求解； （3）由三角形面积公式，正弦定理，三角恒等变换得面积表达式，再结合余弦函数的性质即可求最大值． 【答案】(1) (2)米 (3)米，米， 【解析】（1）由余弦定理得，． （2），解得， 又为钝角，所以， 由余弦定理得， 米． （3），当且仅当时等号成立， 此时，， 设， 在中，由正弦定理得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以应设计米，米，． 第18页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $