6.3.2- 6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过表格系统梳理平面向量正交分解及坐标表示的知识体系，将正交分解的建系选底、线性表示、定义坐标等要点与加减运算的坐标法则分层呈现，清晰展现从基础概念到运算应用的内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，如基础题“求向量坐标”、综合题“三点共线参数求解”，结合“平移法”“定义法”等方法指导，培养数学思维与数学语言表达能力。课时精练覆盖选择、解答题，助力不同层次学生巩固提升，为教师精准教学提供支持。

6.3.2 6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 【知识清单】 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj 定义坐标 有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y) 特殊向量的坐标 i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0) 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 特别强调： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (2)①向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关； ②当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 【题型1】平面向量的正交分解及坐标表示 求平面向量坐标的方法 (1)定义法：若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当a＝xi＋yj时，向量a的坐标即为(x，y)． (2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标．设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 【例题精讲】 1．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7） 【答案】B 【解答】解：∵A（1，2）、B（3，5）， ∴（2，3） 将向量向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到， 知与的方向相同，大小也相等，只是位置不同罢了， 于是（2，3） 故选：B． 2．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量（i＝1，2，3，4）满足条件：||＝1（i＝1，2，3，4）且•0（i＝1，2，3），则（　　） A． B．|4|＝2或2 C．（i＝1，2，3，4）中任意两个都是一对单位正交向量 D．，是一对单位正交向量 【答案】D 【解答】解：∵•0（i＝1，2，3），∴或．或． ∴可取（1，0），（0，1），（1，0），（0，1）或（0，﹣1）． （1，0），（0，1），（﹣1，0），（0，1）或（0，﹣1）． 取（0，﹣1）同样可得． 即可排除A，B，C． 因此D正确． 故选：D． 3．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2） 【答案】B 【解答】解：∵平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4）， ∴（﹣2，1）﹣（﹣1，3）＝（﹣1，﹣2），（3，4）﹣（﹣1，3）＝（4，1）． ∴（﹣1，﹣2）+（4，1）＝（3，﹣1）． 故选：B． 4．已知，若，则实数对（λ1，λ2）为（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．无数对 【答案】B 【解答】解：∵（2λ1+λ2，λ1+3λ2），， ∴，解得． ∴实数对（λ1，λ2）＝（﹣1，1）． 故选：B． 5．如图所示，若向量1、2是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为（　　） A．（3，4） B．（2，4） C．（3，4）或（4，3） D．（4，2）或（2，4） 【答案】A 【解答】解：以向量、公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系 ∵1＝（1，0），2＝（0，1） ∴2（2，1），得（1，）， ∵（1，3）， ∴22（1，）+（1，3）＝（3，4） 即2在平面直角坐标系中的坐标为（3，4） 故选：A． 5．（多选）在平面α中，已知A（1，2），B（3，﹣2），点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，则P点的坐标为（　　） A．（4，3） B．（，） C．（2，﹣6） D．（5，﹣6） 【答案】BD 【解答】解：设P（x，y）， ∵点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|， ∴或， ∵A（1，2），B（3，﹣2）， ∴，， ∴或，解得或， 故P点坐标为（）或（5，﹣6）． 故选：BD． 6．（多选）如图，已知{，}是一组基底．对于向量，下列说法正确的是（　　） A．可以表示为43 B．可以表示为34 C．的坐标为（4，3） D．的坐标为（3，4） 【答案】AC 【解答】解：由题意知，（5，4）﹣（1，1）＝（4，3）＝43， 可以表示为43，选项A正确； 的坐标为（4，3），选项C正确． 故选：AC． 【题型2】平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可用有向线段终点的坐标减去起点的坐标先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行． 【例题精讲】 1．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由点题意可得，且， 所以与向量同向的单位向量为． 故选：B． 2．已知向量（3，2m），（m+1，﹣2），若||＝||，则m＝（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．0 【答案】A 【解答】解：由||＝||，可得， 即，又（3，2m），（m+1，﹣2）， 则有3（m+1）﹣4m＝0，解得m＝3． 故选：A． 3．已知向量（1，sinθ），，其中θ∈R，则的最大值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：向量（1，sinθ），，其中θ∈R， （1﹣cosθ，sinθ）， ∴|| ， 则当sin（θ）＝﹣1时，取最大值是3． 故选：B． 4．已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　） A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12] 【答案】D 【解答】解：由，|，可知， 故点A、B在以O为圆心，为半径的圆上， 取AB的中点H，可知|OH|＝1， 所以点H在以O为圆心，1为半径的圆上， 则 ， 所以， 又，， 则，故， 即|的取值范围是[8，12]． 故选：D． 5．已知向量满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对于A，因为， 所以（2，1），（﹣1，2），故A错误； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，2+2＝0，所以，故C正确； 对于D，2×2﹣1×（﹣1）≠0，故D错误． 故选：C． 6．（多选）已知向量，若，则x等于（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2 【答案】CD 【解答】解：由， 可得，， ∴，， 又∵， ∴x2+x﹣2＝0，解得x＝1或﹣2． 故选：CD． 7．（多选）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（　　） A． B． C．若且A（2，3），则B（3，1） D． 【答案】BD 【解答】解：由题意，，A错误； ，B正确； 令O为坐标原点，则，点B（1，5），C错误； ，D正确． 故选：BD． 【题型3】平面向量加、减坐标运算的应用 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． 【例题精讲】 1．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　） A． B． C．5 D． 【答案】C 【解答】解：因为A（﹣2，3），C（1，﹣1），所以，， 则． 故选：C． 2．在扇形AOB中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．若，（8，6），C为的中点，则（　　） A．（9，3） B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可知，， C为的中点， 则coscos∠AOB＝2cos2∠COA﹣1，解得cos∠COA（负值舍去）， 故， 故，， 故． 故选：B． 3．已知点A（3，1），B（﹣6，5），且C为AB上靠近B的三等分点，则C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由点A（3，1），B（﹣6，5），且C为AB上靠近B的三等分点， 可得，则， ， 所以C的坐标为． 故选：B． 4．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（2，1），，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（　　） A． B．（1，2） C．（2，0） D．（4，1） 【答案】D 【解答】解：因为点A（2，1），， 所以， 因为B绕点A沿顺时针方向旋转即B绕点A沿逆时针方向旋转， 根据题干定义， 所以P的坐标为（2，0）+（2，1）＝（4，1）． 故选：D． 5．若，，（　　） A．10 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为，， 所以， 所以． 故选：B． 6．（多选）下列说法正确的是（　　） A．在△ABC中，已知，A＝45°，C＝75°，则a＝2 B．向量，，则 C．向量，可以作为平面向量的一组基底 D．已知点A（1，5）、B（4，﹣7），点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【解答】解：对于A，∵A＝45°，C＝75°，∴B＝60°， 由正弦定理得，即，解得a＝2，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，∵﹣1×4﹣3×2＝﹣10≠0，∴不共线， 即向量，可以作为平面向量的一组基底，故C正确； 对于D，点P是线段AB的三等分点，设P（x，y）， ①，即，解得x＝3，y＝﹣3，∴P（3，﹣3）； ②，即，解得x＝2，y＝1，∴P（2，1）；故D错误． 故选：AC． 7．（多选）下列各组向量中，可以用来表示向量（1，2）的是（　　） A．（0，0），（3，5） B．（1，1），（1，2） C．（1，1），（1，3） D．（2，1），（﹣4，﹣2） 【答案】BC 【解答】解：若（0，0），（3，5），则共线， 所以不能用表示向量，A项不符合题意； 若（1，1），（1，2），则不存在实数λ，使λ， 所以不共线，可以用表示向量，B项符合题意； 若（1，1），（1，3），则不存在实数λ，使λ， 所以不共线，可以用表示向量，C项符合题意； 若（2，1），（﹣4，﹣2），则， 所以共线，不能用表示向量，D项不符合题意． 故选：BC． 课时精练 1．已知，且，则（　　） A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，6） 【答案】B 【解答】解：因为，且，则（2，3）． 故选：B． 2．向量满足，则（　　） A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4） 【答案】A 【解答】解：由（﹣1，5），（5，﹣3）， 得2（﹣1，5）﹣（5，﹣3）＝（﹣6，2）， 所以（﹣6，2）＝（﹣3，1）． 故选：A． 3．已知向量，，，则实数m的值为（　　） A．﹣1 B． C． D．1 【答案】D 【解答】解：由，， 得， 又， ∴，即（﹣2+2m）2+25＝（﹣2﹣2m）2+9， 解得：m＝1． 故选：D． 4．已知（1，0），（0，1），若2，则（　　） A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 【答案】A 【解答】解：（1，0），（0，1），2， 则． 故选：A． 5．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　） A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5） 【答案】A 【解答】解：因为向量（﹣2，1），（1，1）， 所以323（﹣2，1）﹣2（1，1）＝（﹣8，1）． 故选：A． 6．已知点A（﹣2，1），B（1，4），C（0，﹣3），则（　　） A．（5，﹣1） B．（﹣3，3） C．（1，7） D．（﹣1，7） 【答案】A 【解答】解：因为A（﹣2，1），B（1，4），C（0，﹣3）， 所以（3，3），（2，﹣4）， 所以（5，﹣1）． 故选：A． 7．已知，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（　　） A．（﹣15，31） B．（15，﹣31） C．（3，7） D．（﹣3，﹣7） 【答案】D 【解答】解：因为（2，1），（﹣3，4）， 所以，， 由题意，，则． 故选：D． 8．已知O为坐标原点，在扇形AOB中，为劣弧的中点，则（　　） A．（4，3） B． C． D．（4，2） 【答案】B 【解答】解：， 则， 扇形AOB的半径r＝5， 又C为劣弧的中点，则， 所以cos∠AOB＝2cos2∠AOC﹣1， 所以，则， 由C（rcos∠AOC，rsin∠AOC），则． 故选：B． 9．（多选）已知△ABC中，点D（1，2），E（2，0），F（3，2）分别为AB，BC，CA的中点，则（　　） A． B． C．点A的坐标为（2，4） D．△ABF的面积为4 【答案】ACD 【解答】解：E（2，0），F（3，2），所以，故A选项正确； 因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以，故B选项错误； 设A（x，y），B（m，n），C（p，q）， 则有，，， 解得A（2，4），B（0，0），C（4，0），故C选项正确； 由C可知， 所以△ABF的面积为S△ABC﹣S△BCF＝8﹣4＝4，故D选项正确． 故选：ACD． 10．（多选）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：向量和均不共线，且， 则不共线． A．∵1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，∴不共线，A正确． B．∵，∴，故为共线向量，B错误． C．∵﹣3×2﹣2×3＝﹣12≠0，∴不共线，C正确． D．∵，∴，故为共线向量，D错误． 故选：AC． 11．（多选）已知平面向量，且，则（　　） A．m＝﹣1 B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：，同时平方可得，0， 故，故BC错误， ， 则2+2m＝0，解得m＝﹣1，，故AD正确． 故选：AD． 12．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线． （1）求实数λ的值； （2）若，求的坐标； （3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）． 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 即，得． 因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得． （2）． （3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以． 设A（x，y），则， 因为，所以，解得， 即点A的坐标为（10，7）． 13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数λ的值； （2）若，，求； （3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）A（10，7）． 【解答】解：（1）（λ+1）， 当A，E，C三点共线时，存在实数μ，使得μ， 即（λ+1）μ（﹣2）＝﹣2μμ， 即，解得． （2）由（1）知， 所以， 所以． （3）（6，0），（﹣7，﹣2）， 所以（6，0）+（﹣7，﹣2）＝（﹣1，﹣2）， 设A（a，b），则C（a﹣1，b﹣2）， 所以（a﹣4，b﹣7）， 在平行四边形ABCD中，，即，解得， 所以A（10，7）． 14．已知平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D的坐标分别是B（﹣1，3），C（3，4），D（2，2）． （1）用坐标表示； （2）求的模长； （3）求顶点A的坐标． 【答案】（1）（4，1）；（2）；（3）（﹣2，1）． 【解答】解：（1）因为B（﹣1，3），C（3，4）， 所以． （2）因为B（﹣1，3），C（3，4），D（2，2）， 所以， 所以， 所以． （3）设点A坐标为（x，y），则， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以， 则， 解得x＝﹣2，y＝1， 即点A坐标为（﹣2，1）． 15．已知，是平面内两个不共线的向量，2． （1）若A，E，C三点共线，求实数λ的值； （2）若四边形ABCD为平行四边形，点D（3，5），且（2，1），（2，﹣2），求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）（9，5）． 【解答】解：，是平面内两个不共线的向量，2． （1）． 因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得， 即，得． 所以，解得． （2）设C（x，y），则； 因为，则， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以． 所以，解得， 即点C的坐标为（9，5）． 16．已知向量，． （1）求向量的坐标； （2）求向量的模． 【答案】（1）（10，6）；（﹣2，﹣4）；（2）． 【解答】解：（1）向量，， 则，（﹣2，﹣4）； （2）， 故． 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2 6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 【知识清单】 知识点一　平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解． (2)平面向量的坐标表示 产生过程 建系选底 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底 线性表示 对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj 定义坐标 有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y) 特殊向量的坐标 i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0) 知识点二　平面向量加、减运算的坐标表示 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 特别强调： (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2. (2)①向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关； ②当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 【题型1】平面向量的正交分解及坐标表示 求平面向量坐标的方法 (1)定义法：若i，j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量，则当a＝xi＋yj时，向量a的坐标即为(x，y)． (2)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标．设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标． 【例题精讲】 1．设点A（1，2）、B（3，5），将向量按向量（﹣1，﹣1）平移后得到为（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，7） 2．定义两个互相垂直的单位向量为“一对单位正交向量”，设平面向量（i＝1，2，3，4）满足条件：||＝1（i＝1，2，3，4）且•0（i＝1，2，3），则（　　） A． B．|4|＝2或2 C．（i＝1，2，3，4）中任意两个都是一对单位正交向量 D．，是一对单位正交向量 3．已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是（﹣2，1）（﹣1，3）（3，4），则向量的坐标是（　　） A．（2，2） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（4，2） 4．已知，若，则实数对（λ1，λ2）为（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．无数对 5．如图所示，若向量1、2是一组单位正交向量，则向量2在平面直角坐标系中的坐标为（　　） A．（3，4） B．（2，4） C．（3，4）或（4，3） D．（4，2）或（2，4） 5．（多选）在平面α中，已知A（1，2），B（3，﹣2），点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，则P点的坐标为（　　） A．（4，3） B．（，） C．（2，﹣6） D．（5，﹣6） 6．（多选）如图，已知{，}是一组基底．对于向量，下列说法正确的是（　　） A．可以表示为43 B．可以表示为34 C．的坐标为（4，3） D．的坐标为（3，4） 【题型2】平面向量加、减运算的坐标表示 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可用有向线段终点的坐标减去起点的坐标先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量加、减的坐标运算可完全类比数的运算进行． 【例题精讲】 1．已知向量与单位向量同向，且，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．已知向量（3，2m），（m+1，﹣2），若||＝||，则m＝（　　） A．3 B．﹣3 C．4 D．0 3．已知向量（1，sinθ），，其中θ∈R，则的最大值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知平面直角坐标系xOy中，||＝||，||＝2，设C（3，4），则|2|的取值范围是（　　） A．[6，14] B．[6，12] C．[8，14] D．[8，12] 5．已知向量满足，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（多选）已知向量，若，则x等于（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2 7．（多选）已知，，下列选项中关于，的坐标运算正确的是（　　） A． B． C．若且A（2，3），则B（3，1） D． 【题型3】平面向量加、减坐标运算的应用 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件：相等向量的对应坐标相等． (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标． 【例题精讲】 1．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　） A． B． C．5 D． 2．在扇形AOB中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．若，（8，6），C为的中点，则（　　） A．（9，3） B． C． D． 3．已知点A（3，1），B（﹣6，5），且C为AB上靠近B的三等分点，则C的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（2，1），，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P的坐标为（　　） A． B．（1，2） C．（2，0） D．（4，1） 5．若，，（　　） A．10 B． C． D． 6．（多选）下列说法正确的是（　　） A．在△ABC中，已知，A＝45°，C＝75°，则a＝2 B．向量，，则 C．向量，可以作为平面向量的一组基底 D．已知点A（1，5）、B（4，﹣7），点P是线段AB的三等分点，则点P的坐标可以为 7．（多选）下列各组向量中，可以用来表示向量（1，2）的是（　　） A．（0，0），（3，5） B．（1，1），（1，2） C．（1，1），（1，3） D．（2，1），（﹣4，﹣2） 课时精练 1．已知，且，则（　　） A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（4，6） 2．向量满足，则（　　） A．（﹣3，4） B．（3，4） C．（3，﹣4） D．（﹣3，﹣4） 3．已知向量，，，则实数m的值为（　　） A．﹣1 B． C． D．1 4．已知（1，0），（0，1），若2，则（　　） A．（2，1） B．（1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣1） 5．已知向量（﹣2，1），（1，1），则32（　　） A．（﹣8，1） B．（﹣4，5） C．（﹣4，1） D．（﹣8，5） 6．已知点A（﹣2，1），B（1，4），C（0，﹣3），则（　　） A．（5，﹣1） B．（﹣3，3） C．（1，7） D．（﹣1，7） 7．已知，，若表示向量，，的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为（　　） A．（﹣15，31） B．（15，﹣31） C．（3，7） D．（﹣3，﹣7） 8．已知O为坐标原点，在扇形AOB中，为劣弧的中点，则（　　） A．（4，3） B． C． D．（4，2） 9．（多选）已知△ABC中，点D（1，2），E（2，0），F（3，2）分别为AB，BC，CA的中点，则（　　） A． B． C．点A的坐标为（2，4） D．△ABF的面积为4 10．（多选）已知向量和均不共线，且，则向量可以是（　　） A． B． C． D． 11．（多选）已知平面向量，且，则（　　） A．m＝﹣1 B． C． D． 12．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线． （1）求实数λ的值； （2）若，求的坐标； （3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线． （1）求实数λ的值； （2）若，，求； （3）已知点D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标． 14．已知平行四边形ABCD的三个顶点B，C，D的坐标分别是B（﹣1，3），C（3，4），D（2，2）． （1）用坐标表示； （2）求的模长； （3）求顶点A的坐标． 15．已知，是平面内两个不共线的向量，2． （1）若A，E，C三点共线，求实数λ的值； （2）若四边形ABCD为平行四边形，点D（3，5），且（2，1），（2，﹣2），求点C的坐标． 16．已知向量，． （1）求向量的坐标； （2）求向量的模． 第19页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $