正余弦定理的简单应用 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

正余弦定理的简单应用 一.重要知识点梳理 （一）．正弦定理： ，其中R是三角形外接圆的半径。 变形式： (1)边化角：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (2)角化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3) 适用条件： ①已知两边及一边对角求边角 ②已知两角一边求边角 （二）．余弦定理 ； 变形式：角化边：； ； 适用条件： ①已知三边求角 ②已知三边比例关系求角 ③已知两边一角求边角 （三）．三角形面积公式 (r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. （四）.诱导公式在三角形中的应用 因为：， ，同理，， ，同理，， ，同理，， ，，， （五）.三角形多解及形状判断 1.三角形解的个数问题 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 2.判断三角形形状的思路： 转化为三角形的边来判断： (1)△ABC为直角三角形或或； (2)△ABC为锐角三角形且且； (3)△ABC为钝角三角形且且； (4)按等腰或等边三角形的定义判断. 转化为角的三角函数(值)来判断： (1)若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形； (2)若cosA<0，则△ABC为钝角三角形； (3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形； (4)若，则C=90°，△ABC为直角三角形； (5)若sinA=sinB或sin(A-B)=0，则A=B，△ABC为等腰三角形； (6)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形。 在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定。 二．典例分类分析 （一）正弦定理 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝30°，b＝2，c＝，则角A的大小为(　　) A.45° B.135°或45° C.15° D.105°或15° 【答案】　D 【详解】因为B＝30°，b＝2，c＝ 由正弦定理得 因为c>b，所以C>B，故C＝45°或135°， 可得A＝180°－B－C＝105°或15°. 2．在中，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意可知，， 又， 则由正弦定理可得，. 故选：D 3.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（    ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2 【答案】D 【详解】∵：：：2：3，且， ∴，，，则， 故 故选： 4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵＜A＜π， ∴A= ， 由正弦定理可得， ∵a=2，c=， ∴sinC== ， ∵a＞c，∴C=，故选B. 5．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得， 则， 由， 得， 即 则， 即， 则，又在锐角△ABC中 则， 故选：B 6．在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= . 【答案】 【详解】：因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以. 8．在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． （二）.余弦定理 1.在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由余弦定理， 将，，，代入得， 则有，且，解得. 故选：B. 2．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，， 根据余弦定理： 可得 ，即 由 故. 故选：A. 3．中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，， 所以， 所以， 又， 所以最小角的余弦值为， 故选：B 4．在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】C 【详解】因为，整理得， 由余弦定理可得， 且，所以. 故选：C. 5．已知，，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以 所以， 故选：C 6．设的内角的对边分别为，且，则 ． 【答案】4 【详解】：由及正弦定理，得．又因为，所以．由余弦定理得：，所以． 7．在中，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由正弦定理得，则，又因为， 所以. （三）.三角形面积问题 1.在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 利用余弦定理得到： 正弦定理： 故 故选： 2.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由余弦定理可得： ，解得 所以： 3．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 4．记的内角的对边分别为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得. 设边上的高为， 因为，所以， 即边上的高为. 故选：D 5．在中，，，，则的面积为_________． 【答案】 【详解】由已知，，，所以，由A为内角，得，所以． 故答案为：. 6.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则的值为 ． 【答案】 【详解】：由，可得，因，所以，所以，由余弦定理可得，解得 7．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ． 【答案】. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以．又因为， 由余弦定理，可得， 所以，即为锐角，且，从而求得， 所以的面积为. 故答案为：. 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）由于， ，则．因为， 由正弦定理知，则． （2）因为，由余弦定理，得， 即，解得，而，， 所以的面积． 9．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 10．的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)或； (2)当时，周长为；当时，周长为； 【详解】（1）在中，由正弦定理得：，所以可化为：. 因为，所以，所以. 因为，所以或. （2）因为的面积为，所以,即，解得：. 由余弦定理得：. 当时， 有，所以，解得：符合题意，所以的周长为. 当时， 有，所以，解得：符合题意，所以的周长为. 11．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 【答案】(1)(2) . 【详解】：（1）由题设得，即.由正弦定理得. 故. （2）由题设及（1）得，即. 所以，故. 由题设得，即. 由余弦定理得，即，得. 故的周长为. （四）.三角形多解问题 1．在中，已知，则满足条件的三角形（    ） A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定 【答案】A 【详解】由正弦定理可得，又 所以，所以， 因为，所以 ,又 所以或 ∴满足条件的三角形有2个． 故选：A. 2.在中，，，. 若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】：由正弦定理，即，所以， 因为只有一解， 若，则， 若显然满足题意， 所以或，所以或， 解得或； 故选：D 3.（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】：对于A，因为，所以由正弦定理可得，无解； 对于B，，所以由正弦定理可得，且，有一解； 对于C，因为，所以由正弦定理可得，解得，此时，有一解； 对于D，因为，所以由正弦定理可得，且，所以B有两个解，不符合题意． 故选：BC （五）.三角形形状问题 1．已知角是的内角，向量且与共线，则可以判断的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】因为与共线， 所以， 所以 因为，所以， 所以，即， 所以 为等腰三角形， 故选：A 2.在△ABC中，如果 ，且B为锐角，试判断此三角形的形状（ ）． A．等腰三角形                  B．直角三角形                C．等腰直角三角形             D．等腰或直角三角形 【答案】C 【详解】∵， ∴， 又因为B是锐角， 所以． ∵， ∴． 由正弦定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选C． 3．已知在中，，判断的形状为（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【详解】， ， 或 或 是等腰或直角三角形 故选：C． 4．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则的形状是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能判断 【答案】B 【详解】运用正弦定理，得到，结合正弦的两角和公式，，代入，得到 得到，结合三角形的性质可知，，所以 ，解得，故该三角形为直角三角形，故选B． 5．若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角， 则设边对的锐角为角，根据余弦定理得，解得； 设边对的锐角为，根据余弦定理得，解得， 设边对的锐角为角,根据余弦定理得恒成立; 所以实数的取值范围是. 故选:. 6.（多选）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，， B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【详解】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确； 对于，在锐角中，，，，， ，因此不等式恒成立，正确； 对于，在中，由，利用正弦定理可得：， ，，，或，或， 是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误. 对于，由于，，由余弦定理可得：， 可得，解得，可得，故正确. 故选：. 7.在中，角，，所对的边分别为，，，，．是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】存在正整数，使得为钝角三角形 【详解】由题意，知，要使为钝角三角形， 需，得． 因为为正整数，所以或． 当时，，，此时不能构成三角形； 当时，，，满足题意． 综上，存在正整数，使得为钝角三角形． （六）三角形周长、面积最值问题 1．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由正弦定理可得：， ， ，. （2）由余弦定理得：， 即. （当且仅当时取等号）， ， 解得：（当且仅当时取等号）， 周长，周长的最大值为. 2．记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C. (1)求A；(2)若a＝2，求△ABC的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）5. 【详解】：(1)由asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C， 得asin A＝bsin B＋(c－b)sin C， 由正弦定理，得a2＝b2＋(c－b)c＝b2＋c2－bc. 由余弦定理，得cos A＝＝＝. 又A∈(0，π)，所以A＝. (2)由余弦定理cos A＝＝，a＝2，所以b2＋c2－20＝bc, 因为b2＋c2≥2bc， 所以b2＋c2－20＝bc≥2bc－20， 所以bc≤20，当且仅当b＝c＝2时取等号. 所以△ABC的面积S＝bcsin A≤5. 所以△ABC面积的最大值为5. 3．的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) ;(2). 【详解】根据题意，由正弦定理得， 因为，故， 消去得． ，，因为故或者， 而根据题意，故不成立，所以， 又因为，代入得，所以. (2)因为是锐角三角形，又，所以， 则：． 因为，所以，则， 从而，故面积的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 正余弦定理的简单应用 一.重要知识点梳理 （一）．正弦定理： ，其中R是三角形外接圆的半径。 变形式： (1)边化角：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. (2)角化边：sin A＝，sin B＝，sin C＝. (3) 适用条件： ①已知两边及一边对角求边角 ②已知两角一边求边角 （二）．余弦定理 ； 变形式：角化边：； ； 适用条件： ①已知三边求角 ②已知三边比例关系求角 ③已知两边一角求边角 （三）．三角形面积公式 (r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. （四）.诱导公式在三角形中的应用 因为：， ，同理，， ，同理，， ，同理，， ，，， （五）.三角形多解及形状判断 1.三角形解的个数问题 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 2.判断三角形形状的思路： 转化为三角形的边来判断： (1)△ABC为直角三角形或或； (2)△ABC为锐角三角形且且； (3)△ABC为钝角三角形且且； (4)按等腰或等边三角形的定义判断. 转化为角的三角函数(值)来判断： (1)若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形； (2)若cosA<0，则△ABC为钝角三角形； (3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形； (4)若，则C=90°，△ABC为直角三角形； (5)若sinA=sinB或sin(A-B)=0，则A=B，△ABC为等腰三角形； (6)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形。 在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定。 二．典例分类分析 （一）正弦定理 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝30°，b＝2，c＝，则角A的大小为(　　) A.45° B.135°或45° C.15° D.105°或15° 2．在中，已知，，，则（    ） A． B． C．3 D． 3.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若：：：2：3，则a：b：（    ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．2：：1 D．1：：2 4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ） A． B． C． D． 5．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（　　） A． B． C． D． 6．在中,内角所对的边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= . 8．在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值． （二）.余弦定理 1.在中，角的对边分别是，已知，，，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ） A． B． C． D． 3．中，分别是三个内角的对边，，则最小角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．在中，已知，则角A等于（    ） A．150° B．120° C．60° D．30° 5．已知，，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 6．设的内角的对边分别为，且，则 ． 7．在中，，则的取值范围是 ． （三）.三角形面积问题 1.在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 2.在中，，，分别为内角，，所对的边长，若，，则的面积是（ ） A．3 B． C． D． 3．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 4．记的内角的对边分别为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则的面积为_________． 6.在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，，则的值为 ． 7．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为 ． 8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)求的值； (2)若，求的面积． 9．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 10．的内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，且的面积为，求的周长. 11．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. （四）.三角形多解问题 1．在中，已知，则满足条件的三角形（    ） A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定 2.在中，，，. 若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 3.（多选）在中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（    ） A． B． C． D． （五）.三角形形状问题 1．已知角是的内角，向量且与共线，则可以判断的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2.在△ABC中，如果 ，且B为锐角，试判断此三角形的形状（ ）． A．等腰三角形                  B．直角三角形                C．等腰直角三角形             D．等腰或直角三角形 3．已知在中，，判断的形状为（    ）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则的形状是 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能判断 5．若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（    ）． A． B． C． D． 6.（多选）下列命题中，正确的是（ ） A．在中，， B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 7.在中，角，，所对的边分别为，，，，．是否存在正整数，使得为钝角三角形？若存在，求；若不存在，说明理由． （六）三角形周长、面积最值问题 1．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 2．记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C. (1)求A；(2)若a＝2，求△ABC的面积的最大值. 3．的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $