重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题

重庆一中高 2027 届高二上期半期考试 数学试题卷 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2. 作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3. 考试结束后, 将答题卡交回。 一、单项选择题. 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 1. 方程 表示的曲线为( ) A. 线段 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不表示任何图形 2. 双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为( ) A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 已知曲线 在点(1,1)处的切线与直线 垂直,则 的值为 ( ) A. 3 B. C. D. 4. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 ,则当 取得最小值时, ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 已知数列 是公差为 -1 的等差数列,则 ( ) A. B. C. 2 D. 4 6. 已知椭圆 的左顶点为 ,点 均在 上且关于 轴对称. 若直线 的斜率之积为 ,则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 7. 已知椭圆 的两个焦点为 ,过原点的直线与该椭圆交于 两点,若 的面积为 4,则 的周长为( ) A. 12 B. C. D. 6 8. 数列 满足 ,若 成立,则正整数 的最大值为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 二、多项选择题. 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 9. 已知直线 ,圆 ,则下列结论正确的是 ( ) A. 直线 和圆 总有公共点 B. 直线 被圆 截得的最短弦长为 C. 若圆 与圆: 有且只有一条公切线,则实数 D. 当 时,圆 上恰有两个点到直线 的距离等于 1 10. 已知直线 与抛物线 相交于 两点, 的焦点为 为坐标原点,则下列结论正确的是( ) A. 若直线 过焦点 ,则 为钝角 B. 若 ,则直线 的斜率为 C. 若 ,则直线 过定点(0,2) D. 若 的外接圆与抛物线 的准线相切,则该圆的半径为 11. 将数列 所有项排成如下数阵: …… …… 从第二行开始每一行比上一行多两项, 且从左到右均构成以 2 为公比的等比数列, 第一列数 成等差数列,若 ,则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. 位于第 45 行第 89 列 D. 4048 在数阵中出现 1 次 三、填空题. 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 已知等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 _____. 13. 若直线 与曲线 相切,则 _____. 14. 双曲线 的右焦点为 ,若在圆 上存在点 ,使得 的中点在 的渐近线上,则双曲线 的离心率的取值范围是_____. 四、解答题。本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 13 分) 如图为正四棱锥 为底面 的中心. . (1)求点 到平面 的距离； (2)若 为 的中点,求直线 与平面 所成角的正弦值. 16. (本小题满分 15 分)已知抛物线 过点 ,其焦点为 ,若 . (1)求 的值以及抛物线 的方程； (2)过点 斜率为 的直线交抛物线于 两点,求 面积的范围. 17. (本小题满分 15 分) 已知数列 满足 . (1)证明: 数列 为等差数列,并求数列 的通项公式; (2) 设 ,记数列 的前 项和为 . (I) 求 ; (II) 若 ,求 的取值范围. 18. (本小题满分 17 分) 若一个数列 满足 是公比为 的等比数列,则称数列 是公比为 的二级等比数列. 如数列: ,此数列是公比为 2 的二级等比数列. 已知数列 中, . (1) 记 为数列 的前 项的和,且 . 求数列 的通项公式,并判断数列 是否为二级等比数列,请说明理由; (2) 若数列 是公比为 3 的二级等比数列,是否存在实数 ,使得 ? 若存在,求出 ; 不存在,请说明理由. 19. (本小题满分 17 分)已知双曲线 的渐近线方程为 , 且过点 . 按照如下方式依次构造点 : 过 作斜率为 的直线与 的下支交于点 ,令 为 关于 轴的对称点,记 的坐标为 . (1)若 ,求 的坐标 ； (2)证明: 数列 是等比数列,并求其公比 (用 表示); (3) 设 为 的面积,证明: 对任意正整数 为定值. ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高 2027 届高二上期半期考试 数学参考答案 一、单项选择题: BCDC AABD 7. 【详解】椭圆 的焦点在 轴上, ,所以该椭圆的焦距为 ； 又直线 过原点 ,且 ,由对称性知四边形 为矩形,故 的面积为 , 则 ,故 ,所以 的周长为 故选: B. 8.【详解】因为数列 满足 ,可得 , 可得数列 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,则 ,即 ,则 则 , 因为 ,解得 ,即所求 的最大值为 10 . 故选: D. 11. AB 9.【详解】对于 ,直线 的方程为 ,变形可得: ,令 ,解得 ,所以直线恒过定点 ,且点 在圆 内,故 正确; 对于 ,因为直线过定点 ,且点 在圆 内,则经过 两点的直线与直线 垂直时, 直线 被圆 截得的弦长最小,此时圆心 到直线 的距离为 , 所以最小弦长为 ,故 B 正确; 对于 ,圆的方程 ,即 ,其圆心为(1, - 4),半径为 , 需满足 ,若圆 与圆 有且只有一条公切线,则两圆内切,则有 ,故 错误. 对于 ,圆 ,其圆心为 ,半径为 ,当 时,直线 的方程为 , 圆心 到直线 的距离为 ,由于 ,所以圆上恰有 2 个点到直线的距离为 1 , 故 D 正确；故选:ABD. 10.【详解】对于 ,联立方程可得 ,故应为钝角, 正确; 对于 ,因为 ,所以直线 过焦点 ,且 ,设直线 的倾斜角为 ,当 在第一象限时,如图,过点 分别向准线作垂线段 ,过点 向 作垂线段 ,设 , 则 , , ,则 , , , ,当 在第二象限时,同理可得 ,所以直线 的斜率为 ,故 错误: 对于 ,因为直线 的斜率必存在,设直线 的方程为 , ,联立方程 消去 得 ,则 ,因为 ,所以 ,解得 ,满足 ,所以直线 过定点(0,2),故 正确； 对于 ,因为线段 的垂直平分线为 ,所以 外接圆圆心的纵坐标为 ,所以外接圆半径为 ,故 D 正确. 故选: ACD. 11.【详解】对于选项 ,由第一列数 成等差数列,记为 . 设公差为 ,又由 , ,解得: ,则第一列的通项公式为 . 又从第二行开始每一行比上一行多两项, 且从左到右构成以 2 为公比的等比数列, 可得, ,故 正确. 又因为每一行的最后一个数为 ,且 ,可得 在第 45 行的最后一列,因为这一行共有 个数,则 在第 45 行第 88 列,所以 错误. 对于选项 ,由题设可知第 行的第 个数的大小为 , 令 ,若 ,则 ,无整数解；若 ,则 ,得 ; 若 ,则 ,无整数解: 若 ,则 ,得 ; 若 ,则 ,无整数解: 三、填空题: 12. 14 13. -1 14. 14.【详解】设 为圆 上一点,得到 的中点 ,求得 ,结合直线 与圆 有公共点,得到 ,得 . 四、解答题: 15. 解:(1)取 的中点 ,连 因为 为等腰三角形,所以 . 中由勾股定理得 . 中由勾股定理得 .2 分 4 分 设点 到平面 的距离为 . 由等体积法可得: . .6 分 (2) 如图以 为原点,以 为 轴,以 为 轴,以 为 轴,建立 直角坐标系. 每个点的坐标如下: . 分 设平面 的法向量为 , , , 则 .11 分 设直线 与平面 所成的角为 , 则 . 13 分 16. 解: 点坐标代入抛物线方程得 , 解方程组得, . 抛物线方程为 .5 分 (2) ,设直线 ,其中 . 因 ,故 . 直线 与抛物线联立得: 由韦达定理得: , .8 分 由点到直线的距离公式得 . .13 分 令 换元得: 所以 .15 分 17.解: (1) 由 . 则数列 是以 为首项,2 为公差的等差数列, .2 分 则 , 所以数列 的通项公式为 4 分 (2) (I) . 于是 , 则 所以 ............. 9 分 (II) ,即 . 分离参数得: . 令 ,则 . 时, 时, . ,所以 . 15 分 18.解: (1) 令 代入 代入 得 2 分 . 故 时, 两式作差得: 由待定系数法可得: 又 时, 即数列 是等比数列,首项为 8 ,公比为 2 . .6 分 所以 ,故数列 是公比为 2 的二级等比数列. .8 分 (2)数列 为公比为 3 的二级等比数列 是首项 公比为 3 的等比数列. .10 分 所以 .13 分 . ① 由①及 ,故 . 原不等式可化为: . 解得: .17 分 19.解: 渐近线为 . 又过点 ,代入双曲线的方程得, 即双曲线的方程为 (1) ,过 对应的直线方程为 ,与双曲线联立得: 或 (舍去). 代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点 .4 分 (2)过 斜率为 直线为: ,与双曲线 联立得: 由韦达定理得 将 代入直线方程,并取相反数得 ② 得: 由条件可知首项为 , 所以数列 是公比为 的等比数列. .10 分 (3)要证明 为定值,只需证明 与 求面积时,都看作以 为底,则原问题转化为高相等,即需证明两点 到直线 的距离相等,进而转化为证明 ,即只需证明 。以下为其证明。 将点 的坐标代入双曲线方程得到 两式作差整理得: 由合比的性质得, ③ 同理可得 ④ 由第 (2) 问的①②可知数列 是公比为 的等比数列；数列 是公比为 的等比数列。④式可化为 由③⑤两式得到: . 故 ,所以 为定值 .17 分 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $