第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 单元卷 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

2025-2026学年沪科版八年级数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．（4分）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．两个锐角之和为钝角 C．邻补角一定互补 D．有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（4分）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（　　） A．1，2，3 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，2，4 3．（4分）一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 4．（4分）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　） A．45° B．60° C．105° D．120° 6．（4分）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE平分∠ACD，交BO的延长线于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，下列结论错误的是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠BOC＝3∠2 C． D．∠BOC＝90°+∠2 7．（4分）若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 8．（4分）某项测试的选择题部分只有4道题，每题给出A、B、C、D四个选项，其中只有一项是正确答案，每题5分，计20分．现有小周、小秦、小汉、小唐4人参加了测试，他们的答题情况和测试成绩如下： 答题者 第1题 第2题 第3题 第4题 测试成绩 小周 A B B A 0分 小秦 A B A D 5分 小汉 B D C D 10分 小唐 B C D B 15分 根据以上信息，下列判断正确的是（　　） A．第1题的正确答案是C B．第2题的正确答案是D C．第3题的正确答案是A D．第4题的正确答案是D 9．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH． A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③ 10．（4分）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．（5分）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　 　 ． 12．（5分）命题“相等的两个角是内错角”的逆命题是 　 　 命题（填“真”或“假”）． 13．（5分）把一副三角板按如图所示的方式摆放，∠A＝60，∠F＝45°，DE⊥BC，则∠CHE的度数为 　 　 ． 14．（5分）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是　 　 ． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．（8分）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E． （1）求证：∠A＝2∠E； （2）试探究∠BOC与∠E之间的数量关系，并说明理由． 16．（8分）如图，△ABC的周长为32，AB＝8，边BC上的中线AE＝6，△ACE的周长为23，求边AC的长． 17．（8分）如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这三个命题中，真命题的个数为 　 　 ； （2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据） 如图，已知 　 　 ， 求证：　 　 证明：　 　 18．（8分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P． （1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　 度，∠P＝　 　 度． （2）∠A与∠P的数量关系为 　 　 ，并说明理由． 【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为 　 　 ． 19．（10分）如图1，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，我们把形如图1的图形称为“8字形”． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图2，点M是线段AO上一点，连接CM，求∠OMC+∠OCM+∠A+∠B的度数； （3）如图3，点E是DC延长线上一点，∠ABC与∠BCE的平分线交于点P，试猜想∠P，∠A与∠D之间的数量关系，并说明理由． 20．（10分）在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来可拼成一个平角和度量，计算验证了三角形的内角和等于180°．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于180°．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，△ABC中的三个内角分别为∠1，∠2，∠3．将∠2撕下，按图2的方式拼摆，使∠2与∠1的顶点重合，∠2的一边与AB重合． 理由：由操作可知∠B＝∠2， 所以AD∥　 　 （依据：　 　 ）． 所以，∠DAC+　 　 ＝180°（依据：　 　 ）． 即∠1+　 　 +　 　 ＝180°． 任务一：补全小颖的说理过程； 任务二：小聪受小颖的启发，一个角也不撕，直接过点A作AD∥BC，也能说明三角形的内角和等于180°，请你帮助小聪写出说理过程． 21．（12分）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD． 求证：AB∥CD． 证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知）， ∴∠1∠　 　 ，∠2∠　 　 （　 　 ）． ∵BE∥CF（　 　 ）， ∴∠1＝∠2（　 　 ）． ∴∠ABC∠BCD（　 　 ）． ∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）． ∴AB∥CD（　 　 ）． （2）说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 22．（12分）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性． 23．（14分）如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C＝2∠B，∠BFC﹣∠BEC＝20°，求∠C的度数． 2025-2026学年沪科版八年级数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明单元卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D C B B D B A 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1．【解答】解：A、错误，应该是两直线平行，同位角相等，不符合题意； B、错误，两个锐角之和可能为锐角，直角或钝角，不符合题意； C、正确，符合题意； D、错误，应该是过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题为假命题，不符合题意， 故选：C． 2．【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故A选项错误； B、1+2＜4，不能组成三角形，故B选项错误； C、2+3＞4，能组成三角形，故C选项正确； D、2+2＝4，不能组成三角形，故D选项错误； 故选：C． 3．【解答】解：一个三角形的两个内角分别是50°和60°，则第三个内角的度数是180°﹣50°﹣60°＝70°， 故选：C． 4．【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高， 故选：D． 5．【解答】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，A、B、C、D标记如下： 根据题意可知：∠ABD＝90°，∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°， ∵∠A＝60°， ∴∠1＝∠A+∠ABC＝60°+45°＝105°， 即如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于105°， 故选：C． 6．【解答】解：由题意可得：，， 又∵∠DCE是△BCE的外角， ∴， ∴∠1＝2∠2，故选项A不符合题意； ∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴，， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝90°+∠2， 故选项C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 7．【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴5＜x＜9， ∴|x﹣5|﹣2|x﹣12| ＝x﹣5+2x﹣24 ＝3x﹣29， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 8．【解答】解：因为小周得0分， 所以第3题答案不是B，第4题答案不是A，第1题答案不是A，第2题答案不是B， 因为小秦得5分，且小秦第1题和第2题的答案都不正确， 所以第4题的答案可能是D，第3题的答案可能是A， 当第3题答案是A时， 因为小唐得分15分，且第3题答案不正确， 所以小唐第1题，第2题，第4题答案都正确，即第2题答案为C，第4题答案为B，第1题答案为B， 所以小汉第1题答案正确，第2题和第4题答案都不正确，即小汉得分为5分，这与题干矛盾， 所以第3题的答案不是A， 所以第4题的答案是D， 因为小唐得了15分，而他第4题的答案B是错误的，所以他第1、2、3题的答案B、C、D都是正确的． 因此，4道题的正确答案依次为B、C、D、D． 故选：D． 9．【解答】解：∵BE是中线， ∴AE＝CE， ∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD为高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°， ∴∠ABC＝∠CAD， ∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF， ∴∠AFG＝∠AGF，故②正确； ∵AD为高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ACB＝∠BAD， ∵CF是∠ACB的平分线， ∴∠ACB＝2∠ACF， ∴∠BAD＝2∠ACF， 即∠FAG＝2∠ACF，故③正确； 根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误； 故选：B． 10．【解答】解：如图，连接AE，CD，设△ABC的面积为m． ∵BD＝2AB， ∴△BCD的面积为2m，△ACD的面积为3m， ∵AC＝AF， ∴△ADF的面积＝△ACD的面积＝3m， ∵EC＝3BC， ∴△ECA的面积＝3m，△EDC的面积＝6m， ∵AC＝AF， ∴△AEF的面积＝△EAC的面积＝3m， ∴△DEF的面积＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36， ∴m＝2， ∴△ABC的面积为2， 故选：A． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11．【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等， 故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12．【解答】解：命题“相等的两个角是内错角”的逆命题为“内错角相等”，此逆命题为假命题． 故答案为假． 13．【解答】解：∠CHE＝180°﹣∠C﹣∠DEF﹣∠DEC ＝180°﹣30°﹣45°﹣90° ＝15°， 故答案为：15°． 14．【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD， ∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO， ∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y， 则有， 解得， ∴∠C＝70°， 故答案为70°． 三．解答题（共9小题，满分90分） 15．【解答】解：（1）由题意可得：，， ∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠OBC， ∴， 即， 化简得：∠A＝2∠E． （2）∠BOC＝90°+∠E． 理由如下：∵CO平分∠ACB， ∴， 在△BOC中，， 即：， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴， 即， 由（1）可知，∠A＝2∠E， ∴∠BOC＝90°+∠E． 16．【解答】解：设AC＝x，BE＝CE＝y，则BC＝2y，根据题意列方程可得： C△ABC＝x+8+2y＝32，C△ACE＝x+6+y＝23， ， 解得x＝10，y＝7， ∴边AC的长为10． 17．【解答】解：（1）由 ①②，得 ③；由①③，得②；由②③，得①；均正确， 故答案为3 （2）已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F， 证明：如图所示： ∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知）， ∴∠3＝∠2（等量代换）， ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等）， ∵∠C＝∠D（已知）， ∴∠4＝∠C（等量代换）， ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 证明步骤同上． 故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F； 18．【解答】【探究】 解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P， ∴∠CBP∠ABC，∠BCP∠ACB， ∴∠BCP+∠CBP（∠ABC+∠ACB）130°＝65°， ∴∠P＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：50，115； （2）∠P∠A＝90°．理由如下： ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠P（∠ABC+∠ACB）＝180°， ∴∠P（180°﹣∠A）＝180°， ∴∠P∠A＝90°； 故答案为：∠P∠A＝90°； 【应用】 解：∠Q＝90°∠A．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q， ∴∠CBQ（180°﹣∠ABC）＝90°∠ABC， ∠BCQ（180°﹣∠ACB）＝90°∠ACB， ∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°∠ABC+90°∠ACB）（∠ABC+∠ACB）， 又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠Q（180°﹣∠A）＝90°∠A； 故答案为：∠Q＝90°∠A． 19．【解答】解：（1）证明：∵△AOB和△COD的内角和都为180° ∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）在△AOB 中，∠AOC＝∠A+∠B， 在△MOC中，∠OMC+∠OCM+∠MOC＝180°， ∴代入得：∠OMC+∠OCM+∠A+∠B＝180°； （3），理由如下： 由（1）知∠A+∠ABO＝∠OCD+∠D， ∴∠ABO＝∠OCD+∠D﹣∠A， ∵BP是∠ABC的平分线， ∴， ∵∠BCD+∠BCE＝180°， ∴∠BCE＝180°﹣∠BCD＝180°﹣∠OCD， ∵CP是∠BCE 的平分线， ∴， 在△BPC中，∠PBC+∠BCP+∠P＝180°， ∴， ∴， ∴． 20．【解答】解：任务一： 理由：由操作可知∠B＝∠2， 所以AD∥BC（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以∠DAC+∠3＝180°（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即∠1+∠2+∠3＝180°． 故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同旁内角互补；∠2；∠3； 任务二： 因为AD∥BC， 所以，∠DAB＝∠2，∠DAC+∠3＝180°． 即∠DAB+∠1+∠3＝180°． 所以∠1+∠2+∠3＝180°． 21．【解答】解：（1）∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知） ∴∠1∠ABC，∠2∠BCD（角平分线的定义） ∵BE∥CF（已知） ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∴∠ABC∠BCD（等量代换） ∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质） ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 故答案为：ABC；BCD；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为： 两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 22．【解答】已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C 求证：∠A＝∠D 证明：∵∠1＝∠3 又∵∠1＝∠2 ∴∠3＝∠2 ∴EC∥BF ∴∠AEC＝∠B 又∵∠B＝∠C ∴∠AEC＝∠C ∴AB∥CD ∴∠A＝∠D 23．【解答】解：由三角形的外角性质，∠BFC＝∠A+∠C，∠BEC＝∠A+∠B， ∵∠BFC﹣∠BEC＝20°， ∴（∠A+∠C）﹣（∠A+∠B）＝20°， 即∠C﹣∠B＝20°， ∵∠C＝2∠B， ∴∠B＝20°，∠C＝40°． 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $