第13章三角形中的边角关系、命题与证明测试2025-2026学年沪科版（2024）八年级数学上册

命题与证明测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形一定是(     ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2.下列长度的三条线段能组成三角形的是(     ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.对于命题“若，则”，下面四组关于，的值中，能说明这个命题是假命题的是(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4.下列句子中，不是命题的是(     ) A. 三角形的内角和等于度 B. 对顶角相等 C. 过一点作已知直线的垂线 D. 两点确定一条直线 5.如图，点在的延长线上，于点，交于点若，，则的度数为(     ) A. B. C. D. 6.如图，三角形中，为上的一点，且，则为(     ) A. 高 B. 角平分线 C. 中线 D. 不能确定 7.的三个内角，，满足关系式，则此三角形(     ) A. 一定是直角三角形 B. 一定是钝角三角形 C. 一定有一个内角为 D. 一定有一个内角为 8.如图，中，，将沿折叠，点落在处，则的度数为(     ) A. B. C. D. 9.如图，，，，求的度数(     ) A. B. C. D. 10.如图，，、分别平分的内角、外角，平分外角交的延长线于点以下结论：其中正确的结论有(     ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，已知三角形的三个内角平分线交于点，于点，已知，则          ． 12.命题“若，则”的逆命题是________________________． 13.三角形有两条边的长度分别是和，则最长边的取值范围是____________． 14.当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”如果一个“半角三角形”的“半角”为，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为    ______   ． 15.如图，，则______________． 16.如图，在中，已知，，分别为，，的中点，且，则图中阴影部分的面积为____________． 17.如图，在中，，，于，于，与交于，则____________． 18.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若，则_____________ 三、计算题：本大题共3小题，共18.0分。 19.已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，若， 求的度数； 写出与的数量关系______，并证明你的结论． 20.已知中，，，求、、的度数． 21.已知 如图，，，是的平分线，是的平分线，求的度数； 如果，，其它条件不变，则______． 四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题分 完成下面的推理说明： 已知：如图，，、分别平分和．     求证：．     证明：、分别平分和已知， ____，____________ ．    _______ ，       __________． _________                          等式的性质． __________________ ． 说出的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 23.本小题分 已知：如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点求证：． 24.本小题分 在中，为边上的中线，且将周长分为与两部分，求三角形各边长． 25.本小题分 如图，平分，平分若，则______． 如图，平分，平分外角若，则______． 如图，平分外角，平分外角试确定和的数量关系并说明理由． 26.本小题分 已知的两边与的两边平行，即，． 如图，若则______ 如图，猜想与有怎样的关系？并说明理由． 如图，猜想与有怎样的关系？并说明理由． 根据以上的情况，请你归纳概括出一个真命题． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，此类题利用列方程求解可简化计算． 利用三角形的内角和定理先求出各角的度数，即可判断三角形的形状． 【解答】解：根据三角形的内角和为，可知三个角分别为，，， 因此这个三角形是直角三角形． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了三角形的三边关系，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解． 【解答】 解：，不能构成三角形，故此选项不合题意； B.，不能构成三角形，故此选项不合题意； C.，能构成三角形，故此选项符合题意； D.，不能构成三角形，故此选项不合题意． 故选C． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立。 说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可． 【解答】 解：、，，且，满足“若，则”，故A选项不符合题意； B、，，且，此时虽然满足，但不成立，故B选项符合题意； C、，，且，满足“若，则”，故C选项不符合题意； D、，，此时不满足，故D选项不符合题意． 故选B． 4.【答案】  【解析】【试题解析】 解：、三角形的内角和等于度是命题； B、对顶角相等是命题； C、过一点作已知直线的垂线，没有对一件事情进行判断，不是命题； D、两点确定一条直线是命题； 故选：． 根据命题的定义即表示对一件事情进行判断的语句叫命题，分别对每一项是否是命题进行判断即可． 此题考查了命题的定义，表示对一件事情进行判断的语句叫命题，关键是能根据命题的定义对每一项进行判断． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形内角和定理：三角形的三个内角和为． 首先根据，得到的度数，因为，为对顶角，所以的度数，观察图已知是的外角，所以根据三角形外角定理，最终得到的度数． 【解答】 解：，， ， ． 故选B． 6.【答案】  【解析】解：设边上的高为， ， ， 故选：． 三角形和三角形共用一条高，再根据，列出面积公式，可得出． 熟记三角形面积公式，并对其进行简单应用． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 利用三角形内角和定理以及已知条件求出即可． 【解答】 解： 又， ， ， 一定有一个内角是， 故选：． 8.【答案】  【解析】解：， ， 由折叠知，，， ， ， 故选：． 根据三角形的内角和定理求得，再由折叠的性质得的度数，最后根据平角的性质求得结果． 本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的性质，折叠的性质，关键是求得的度数． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形的外角性质计算即可． 【解答】 解：是的外角， ， 是的外角， ， 故选B． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形的外角和，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，属于中档题． 根据三角形的内角和定理、三角形的外角和以及角平分线的定义判断即可． 【解答】 解：，， ， ，故正确； 、分别平分的内角、外角， ， ，故正确； ，， ， ， ， ， ，故正确； ， ， ，故正确； 所以正确的结论有个． 故选D． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是三角形内角和定理和角平分线定义的有关知识，根据角平分线的定义和三角形内角和定理可以得到，又因为，，即可得到，进而求解． 【解答】 解：三角形的三个内角平分线交于点，于点， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为． 12.【答案】若，则  【解析】解：命题“若，则”的逆命题是若，则， 故答案为：若，则 根据命题的逆命题进行解答即可． 此题考查命题问题，关键是根据命题的题设和结论进行颠倒得出逆命题即可解答． 13.【答案】  【解析】解：根据三角形三边关系定理知：最长边的取值范围是：，即． 故答案为：． 已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和． 此题主要考查的是三角形的三边关系，即：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 14.【答案】  【解析】解：， ， 最大内角的度数． 故答案为：． 根据半角三角形的定义得出的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可． 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 15.【答案】  【解析】【分析】 此题主要是三角形内角和定理的运用．根据三角形的内角和定理分别求得，，就可求得最后结果． 【解答】 解：， ． ． 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：是的中点，， ， 是的中点， ， 是的中点， ， 故答案为：． 根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行解答便可得结果． 本题主要考查了三角形的中线性质，三角形的面积计算，关键是熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分． 17.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为在三角形中，三内角之和等于，锐角三角形三个高交于一点． 【解答】 解：如图，延长交于点， 在中，三边的高交于一点，所以， ，且， ， ， ， 在中，三内角之和为， ， 故答案为． 18.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查三角形内角和定理设围成的小三角形为，分别用、、表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【解答】 解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 故答案为． 19.【答案】解：，，， ． 是的角平分线， ． 为的外角， ． 是的高， ． ． 证明如下： 由知，   又． ， ．  【解析】先根据三角形内角和可得到，再根据角平分线与高线的定义得到，，则，然后利用计算即可． 根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 20.【答案】解：中，， ，，  【解析】根据已知可表示出，再根据三角形内角和定理即可分别求得三个角的度数． 此题主要考查三角形内角和定理：三角形内角和是． 21.【答案】  【解析】解：，是的平分线， ，； 同理， 在中，， 在中，根据三角形的外角的性质可以得到：； 在和中，根据三角形的外角的性质，即可得到： 即： 则． 根据三角形的外角的性质，外角等于不相邻的两个内角的和以及平行线、角平分线的性质即可求解； 根据外角等于不相邻的两个内角的和可以求解． 本题主要考查了三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，平行线和角平分线的性质，结合图形找出各角间的关系是解题的关键． 22.【答案】解：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； 两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．  【解析】【分析】 本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 根据平行线的性质，可得，根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的判定，即可得出； 在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【解答】 解：、分别平分和已知 ， 角平分线的定义 已知 两直线平行，内错角相等 等量代换 等式的性质 内错角相等，两直线平行 故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； 见答案． 23.【答案】证明：平分，已知 角平分线的定义 是的外角，已知 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 等量代换 是的外角， 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 等量代换  【解析】本题考查了角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，根据角平分线的定义可得，再次利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式证明即可． 24.【答案】解：设，． 当时，如图所示， 根据题意，得， ， 解得， ． 因为，所以长度分别为，，的三条线段能组成三角形． 当时，如图所示， 根据题意，得，， 解得，． 因为，所以长度分别为，，的三条线段能组成三角形． 综上所述：这个三角形各边长分别为，，或，，．   【解析】本题考查了三角形的中线及三角形的三边关系，根据中线的定义得到，设，，则，分类讨论： 当，时；当，时，然后分别求出和，即可得到三角形三边的长． 25.【答案】    【解析】解：平分，平分， ， ， ， ， ； 平分，平分， ，， ，，， ， ， ； 平分，平分 ，， ，， ， ， ． 根据角平分线性质可得，根据三角形内角和为可得，即可解题； 根据角平分线性质可得，，根据三角形内角和为可得，，即可解题； 根据角平分线性质可得，，根据三角形内角和为可得，即可解题． 本题考查了角平分线的性质，考查了三角形内角和为的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角的和的性质． 26.【答案】； ， ， ， ， ， ； ， 理由是：，， ，， ； 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补  【解析】解：， ， ， ， ， 故答案为：； ， ， ， ， ， ； ， 理由是：，， ，， ； 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 根据平行线的性质得出，，即可得出答案； 根据平行线的性质得出，，即可得出答案； 根据平行线的性质得出，，即可得出答案； 根据结果得出即可． 本题主要考查平行线的性质、命题与证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $