精品解析：广东省广州市执信中学2025-2026学年高三上学期12月阶段测试数学试题

2025-2026学年第一学期 高三级数学科12月阶段测试试题 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数集是整数与数集是整数之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的表示与集合间关系判断 【详解】当为整数时，可取所有奇数， 当为整数时，可取所有奇数，故， 故选：C 2. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 【答案】A 【解析】 【详解】由题知圆心（ , ）在直线y＝x上，即＝， ∴D＝E.故选A. 考点：圆的一般方程. 3. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则化简复数，然后根据其对应点所在象限列出实部、虚部满足的不等式组求解. 【详解】设， 因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 【点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5. 将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（ ） A. cm B. 6 cm C. cm D. cm 【答案】B 【解析】 【分析】先求出水的体积，设出圆锥中水的底面半径，利用体积相等，求出圆锥的高． 【详解】解：由圆柱体体积公式知，水的体积为（cm3）． 当水倒入圆锥形器皿之后，体积不变． 设倒圆锥形器皿的水面半径， 则，即，解得， 所以水面高度为：. 故选：B. 【点睛】本题考查圆锥、圆柱的体积，考查计算能力，是基础题． 6. 若多项式，则 （ ） A. 9 B. 10 C. -9 D. -10 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二项式定理的系数，先求的系数，再由，可求的系数，即可得答案． 【详解】多项式， 等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1， ∴; 又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0， ∴， ∴. 故选：D． 【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，搞清各项系数是解决本题关键，属于中档题． 7. 如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为三点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由，得到，从而，再由，得到，然后求得求解. 【详解】因为， 所以，则， 所以，则， 又， 则，又，则， 所以，由，得， 因此，又， 解得，所以， 则，解得， 所以，则， 故选：C 8. 如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ的方程，再结合两点间距离公式求解作答. 【详解】以线段AB的中点O为原点，射线OB为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图， 则，令点为曲线PQ上任意一点，则， 因此曲线PQ是以点A，B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为， 显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内，设，，有， 修建这两条公路的总费用 ，当且仅当时取等号， 由，且，解得，即时， 所以修建这两条公路的总费用最低是万元. 故选：B 【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（ ） A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平均数，中位数，方差和极差的定义求解. 【详解】因为点与点关于点对称， 所以，则， 又，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD 10. 正方体中，点分别为棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、直线方向向量与平面法向量的关系逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2. A：因为， 所以， 因为， 所以不成立，故本选项说法不正确； B：因为， 所以， 因为， 所以，而平面， 所以平面，因此本选项说法正确； C：设平面的法向量为， 因为，所以， 于是有，， 因为，平面， 所以平面，因此本选项说法正确； D：因为，所以，而， 显然不存在实数，使得成立，所以不成立，因此本选项说法不正确， 故选：BC 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据零点个数，求参数的取值范围，可判断B的真假；根据等差、等比数列的概念可判断C的真假；根据C的结论，进一步计算可判断D的真假. 【详解】当时，，显然不符合题意； 当时，分别画出与的图像，如图所示： 显然有一个小于0的零点，有2个大于0的零点，所以A选项正确； 令，可得，设，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递减， 所以的最小值为， 要使得有两个大于0的零点，则，故B选项错误； 由题意，所以， 由于成等差数列，所以，所以， 所以，所以成等比数列，C选项正确； 由，得，所以， 由于，解得， 又 ，则 ，故 ， 则 ，又 故舍去， 因为，所以，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可. 【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得， 代入抛物线方程，得，解得， 则点到轴的距离为． 故答案为：． 13. 在中，内角的对边分别为，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系，结合两角和的正弦公式，整理可得，由正弦定理得，代入即可得答案. 【详解】由题意得，则， 所以， 由正弦定理得， 所以， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和. 【答案】（1）； （2）若选择条件①，； 若选择条件②，； 若选择条件③，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的d，根据求和公式可得，又，即可得解； （2）根据为等差数列，为等比数列，则： ，分组求和即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，又因为， 且，所以，故， 所以； （2）由（1）可知，，又，所以. 若选择条件①，可得， ； 若选择条件②，可得， ； 若选择条件③，可得， . 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列基本能量的运算，考查了数列的分组求和法，有一定的计算量，属于中档题. 16. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）3个 【解析】 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. 【小问3详解】 由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 17. 如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点. （1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明. （2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线. （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）证线面平行则需在面内找一线与之平行即可平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线.（2）根据图形分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，然后写出的坐标，求出面得法向量m，根据即可求得结果. 试题解析： （1）略； （2）连结，∵，∴为正三角形. ∵为的中点，∴， 又∵侧面侧面，且面面， 平面，∴平面， 在平面内过点作交于点， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，. ∵为的中点，∴点的坐标为， ∴. ∵，∴，∴， 设平面的法向量为， 由得， 令，得，所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 点睛：考察立体几何的线面角，要注意线面角一定是锐角，同时在用向量解决问题时一定要注意点的坐标的准确性. 18. 已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方，求、的坐标； （3）设为线段的中点，求点到直线的距离的最小值． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程，求出坐标及直线l的方程，代入椭圆方程，分析计算，即可得答案. （2）设，则，由题意得，代入计算，结合椭圆的方程，可得A点坐标，进而可求出直线AB的方程，与椭圆联立，即可得B点坐标. （3）当直线垂直于轴时，分析可得，当直线不垂直于轴时，设直线方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，可得M点坐标，进而可得直线OM的方程，根据点到直线的距离，可得d的表达式，将A点坐标代入所求，化简整理，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 设焦距为2c，由题意，解得，即， 当直线垂直于轴时，则， 将代入椭圆方程得，解得， 所以. 【小问2详解】 设，则， 因为，所以， 则，即， 又，联立可得，， 所以，即， 所以直线AB的斜率，则直线AB的方程为， 联立，得，解得或， 因为，所以B点横坐标为，代入可得B点纵坐标， 所以. 【小问3详解】 由（1）得，当直线垂直于轴时，，点到直线的距离； 当直线不垂直于轴时，设斜率为k，则方程为，， 联立，得， ， 所以， 则，所以 则直线OM的方程为，即， 所以到直线的距离， 由求根公式得， 不妨取代入可得， 令，则，所以， 则， 因为，且单调递减， 所以， 综上，点到直线的距离的最小值. 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中. （1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望； （2）设结束后，细胞数量为的概率为 . （i）求； （ii）证明：. 【答案】（1）分布列为 （2）（i）； （ii）证明如下： 代表分裂后有个细胞的概率，设细胞在后分裂为个新的细胞，这两个细胞在剩下的中，其中一个分裂为个细胞，一个保持一直分裂为个细胞，此事件的概率 ， 得， ， 其中，. 令,， 记，,令，得. 当,,递增； 当，,递减. 故， 也就是. 【解析】 【分析】（1）求出的取值及不同取值对应的概率，进而列出分布列，利用期望公式求出期望； （2）（i）求出第时分裂为个细胞的概率，再用等比数列求和公式，即可求解； （ii）求出第时分裂为个细胞的概率，再用等比数列求和公式，求出，再利用导数法确定函数的单调性，从而确定最值，即可得证. 【小问1详解】 个结束后，的取值可能为,其中, ， ，， 所以分布列为 . 【小问2详解】 （i）表示分裂结束后共有个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成个细胞. 不妨设在第时分裂为个细胞，之后一直有 个细胞， 此事件概率， 所以 . （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是求解时，利用等比数列的知识求解；二是求解的最值时，根据解析式的特点，利用导数来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期 高三级数学科12月阶段测试试题 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 考试时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数集是整数与数集是整数之间的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）所表示的曲线关于y＝x对称，则必有 A. D＝E B. D＝F C. F＝E D. D＝E＝F 3. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 将若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面高度为（ ） A. cm B. 6 cm C. cm D. cm 6. 若多项式，则 （ ） A. 9 B. 10 C. -9 D. -10 7. 如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为三点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 如图，B地在A地的正东方向处，C地在B地的北偏东方向处，河流的沿岸（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远．现要在曲线上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用分别是a万元/、万元/，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则，，，这组数满足（ ） A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 10. 正方体中，点分别为棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______． 13. 在中，内角的对边分别为，，则的值为__________． 14. 已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，且公比为q，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和. 16. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 17. 如图，三棱柱中，，，分别为棱的中点. （1）在平面内过点作平面交于点，并写出作图步骤，但不要求证明. （2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方，求、的坐标； （3）设为线段的中点，求点到直线的距离的最小值． 19. 现有一种不断分裂的细胞，每个时间周期内分裂一次，一个细胞每次分裂能生成一个或两个新的细胞，每次分裂后原细胞消失，设每次分裂成一个新细胞的概率为，分裂成两个新细胞的概率为；新细胞在下一个周期内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的细胞，在第一个周期中开始分裂，其中. （1）设结束后，细胞的数量为，求的分布列和数学期望； （2）设结束后，细胞数量为的概率为 . （i）求； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $