精品解析：浙江省衢州市柯城区城南初级中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

衢州市柯城区城南初级中学2025学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴半径， ∴点P在外． 故选：B． 2. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ） A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大 C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球的可能性最小 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：， 故选B； 【点睛】本题考查概率定义及树状图法求概率，解题的关键是正确理解概率的定义． 3. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形对角互补即可求解． 【详解】解：四边形内接于，， ∴， 故选：B． 4. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0，求出交点的纵坐标是解题的关键．根据y轴上点的横坐标为0，令，进行计算即可得解． 【详解】当时，， 所以抛物线与y轴的交点坐标为， 故选择：C 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（　　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接AD, ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 6. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，由旋转性质得，，进而，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后得到， ∴，，又， ∴， ∴， 故选：B． 7. 已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（ ） A. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】先确定抛物线的顶点坐标为，然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况． 【详解】解：的顶点坐标为， ∴若将抛物线的顶点平移到原点需将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（ ）． A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，理解垂径定理的作用是解题的关键．由垂径定理求得，中利用勾股定理即可求得半径． 【详解】解：由题意知：， ， ， ， 设圆的半径为， ， ， ， ， ， 解得，． 故选：A． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像可以知道，进而得出的正负，求出一次函数经过的象限，进而得出答案. 【详解】解：根据图像可得： ， ， 故经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D. 【点睛】本题考查的二次函数图像与的关系，进而得出系数的正负值，再根据一次函数性质求出答案即可. 10. 如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了四点共圆，垂径定理的推论，勾股定理，由垂径定理的推论可得，则可证明点，，，在以为直径的圆上，则的最大值为的长，据此求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点，，，在以为直径的圆上， ， ∵， ∴, 在中，根据勾股定理得， 故选A． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查比例中项及比例的基本性质，根据比例中项的定义及比例的基本性质得．解题的关键是掌握：如果比例线段的中项是两条相同的线段，即或，那么线段叫做线段、的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得：或， 又∵为线段的长度， ∴不符合题意，舍去， 即． 故答案为：． 12. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 187 446 730 1790 10836 成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为__．（精确到 【答案】0.9 【解析】 【分析】观察表格数据，根据频率的近似数估计概率解题即可. 【详解】解：根据表格数据可知： 苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9， 所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9． 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了用频率估计概率.正确估算出频率的近似数是解题的关键. 13. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和． 【详解】解：如图，连接,则，过点作于 螺帽是正六边形 ， , ． 故答案为：． 14. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割及二次根式的应用，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ． 因为， 所以． 故答案为：． 15. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据题意用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了． 故答案为：． 16. 如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据对称性表示出A，B两点的坐标，利用勾股定理列式求解即可． 【详解】∵A，B关于直线对称， ∴设，则， 如图所示， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∵在上， ∴， 即， 整理得：， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为或； 故答案是或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用及对称点的表示，解题的关键是设点的坐标，表示出AB的长度． 三、解答题（本大题有8小題，共72分） 17. 如图， 中， ．求证： ． 【答案】 证明：∵， ， ， 【解析】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 由，推出，推出可得结论； 【详解】略 18. 已知：，且． （1）求代数式的值； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） ，， 【解析】 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键； （1）设，则，代入求值即可； （2）将上一问中的代入所给方程求值即可． 【小问1详解】 解：设，则， ∴原式； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角． 求作：． 小芸的作法如下：如图．①作线段的垂直平分线m；②作线段的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，为半径作圆；④则为的外接圆；⑤在弧上取一点P，连结，，所以． 根据小芸设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接，，； 由作图可知，（①_________），（填推理的依据） ∴， ∴为的外接圆． ∵点C，P在上，， ∴（②_________）．（填推理的依据） 【答案】（1） 如图所示即为所求作图形： （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等，同弧所对的圆周角相等 【解析】 【分析】（1）根据步骤作图即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质证明为的外接圆，再根据同弧所对的圆周角相等即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是正确作出图形，灵活应用所学知识解决问题． 20. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求一个事件的概率． 当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，所以小灯泡发光的的概率为； 列表可知随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，可以使小灯泡发光的情况有种情况，从而可求小灯泡发光的概率． 【小问1详解】 解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光， 小灯泡发光的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下， 随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况， 只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光， 可以使小灯泡发光的情况有种情况， 可以使小灯泡发光的概率为． 21. 如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且，与交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）圆周角定理，得到，的度数为，平行得到，进而得到，垂径定理，得到，进而得到的度数为，即可求出的度数； （2）勾股定理，求出的长，即可求出的长． 本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．熟练掌握圆周角定理和垂径定理，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是半圆O的直径，， ∴，的度数为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． （1）由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； （2）设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； （3）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出函数表达式． （1）根据栅栏总长列式得出表达式即可； （2）根据矩形面积公式求出S与x的关系式，根据，及外墙长列不等式组解决即可； （3）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵外墙长且， ， 解得：， ∴S与x的关系式为； 【小问3详解】 解： ， ， ∴当时，S最大，此时，， ∴当时，矩形羊圈的面积S最大，最大值为． 23. 如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的证明及性质，勾股定理，不规则图形的面积的计算，掌握不规则图形的面积的计算是正确解答的前提． （1）由三角形中位线的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质可得，进而求出答案； （2）过D作，根据圆周角和等腰三角形三线合一的性质，得出为等边三角形，再用扇形的面积减去的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过D作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 又∵扇形的面积， ∴阴影部分面积． 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． （1）求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； （2）若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； （3）若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合题，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意得：，，从而得到，即可求解； （3）分两种情况讨论：若点P在x轴上方时，若点P在x轴下方时，即可求解． 【小问1详解】 解∶直线，当时，． 当时，． ，． 将，代入得 解得 抛物线的表达式． 【小问2详解】 解∶根据题意得∶，， ． ， 开口向下，有最大值． 当时，l取最大值． 当时，． 此时； 【小问3详解】 解：存在． 当时，． 解得，． ． 分两种情况讨论： 若点P在x轴上方时，如图1，此时， 根据题意得∶ ，， ． ． ． 解得， 若点P在x轴下方，如图2，此时．    ． ． ． 解得，(舍去) 的值为或或． 此时点的横坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衢州市柯城区城南初级中学2025学年第一学期期中质量检测 九年级数学试题卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知的半径为3，当时，点P与的位置关系为（　　） A. 点在圆内 B. 点在圆外 C. 点在圆上 D. 不能确定 2. 盒子里有个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（ ） A. 一定是红球 B. 摸出红球的可能性最大 C. 不可能是黑球 D. 摸出黄球的可能性最小 3. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（　　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 6. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，此时点C恰好落在边上．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线，下列哪种平移方式可使该抛物线的顶点平移到原点（ ） A. 向右平移2个单位，再向上平移3个单位 B. 向右平移2个单位，再向下平移3个单位 C. 向左平移2个单位，再向上平移3个单位 D. 向左平移2个单位，再向下平移3个单位 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，当弦的长，液面的最大深度，则圆的半径（ ）． A. 5 B. C. 6 D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知线段c是线段a、b的比例中项，如果，，则______． 12. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 187 446 730 1790 10836 成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为__．（精确到 13. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______． 14. 玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为__________．（结果保留根号） 15. 物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点A的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点A转过的度数为时，重物上升了________． 16. 如图，“爱心”图案是由函数的部分图像与其关于直线的对称图形组成．点A是直线上方“爱心”图案上的任意一点，点B是其对称点．若，则点A的坐标是______． 三、解答题（本大题有8小題，共72分） 17. 如图， 中， ．求证： ． 18. 已知：，且． （1）求代数式的值； （2）当时，求的值． 19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题： 已知：是的一个内角． 求作：． 小芸的作法如下：如图．①作线段的垂直平分线m；②作线段的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，为半径作圆；④则为的外接圆；⑤在弧上取一点P，连结，，所以． 根据小芸设计的尺规作图过程． （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：连接，，； 由作图可知，（①_________），（填推理的依据） ∴， ∴为的外接圆． ∵点C，P在上，， ∴（②_________）．（填推理的依据） 20. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 21. 如图，是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且，与交于点E． （1）若，求的度数； （2）若，求的长． 22. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设． （1）由题意可知，则_______________（用含的代数式表示）； （2）设矩形羊圈的面积为S，请写出S与的关系式，并写出的取值范围； （3）请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出的最大值． 23. 如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线，经过两点，与轴的另一个交点为． （1）求点和点的坐标，以及抛物线的表达式； （2）若点为抛物线上第一象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的表达式，当取最大值时，求出点的坐标； （3）若点为抛物线上轴右侧的一点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，是否存在点使得，若存在，求出此时点的横坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $