精品解析：河南省洛阳市金水初级中学2025-2026学年上学期九年级数学12月学情反馈试卷

2025年秋学期九年级数学12月学情反馈试卷 一、选择题：（每小题3分，10小题共30分．） 1. 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值 A. 也扩大3倍 B. 缩小为原来的 C. 都不变 D. 有的扩大，有的缩小 【答案】C 【解析】 【详解】根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角A的三角函数值不变． 故选C． 2. 两条抛物线y = x 2与y = －x 2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相反 D. 都有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的性质解答即可． 【详解】两个函数的顶点坐标都是（0，0），二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下． 故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称；一个有最小值，一个有最大值． 故选D． 【点睛】考查学生动手能力，只需快速画出简易图形即可求解． 3. 已知反比例函数，下列结论中正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. y随着x的增大而减小 D. 函数图象是中心对称图形，但不是轴对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 根据反比例函数 的性质，包括图象上的点、象限分布、增减性和对称性，逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：当 时，，∴ 点 在图象上，A正确，符合题意； 选项B：∵ ，∴ 图象在第二、四象限，不在第一、三象限，B错误，不符合题意； 选项C：∵ ，∴ 在每个象限内， 随 的增大而增大，C错误，不符合题意； 选项D：反比例函数图象关于原点对称（中心对称），也关于直线 和 对称（轴对称），∴ D错误，不符合题意． 故选：A． 4. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 通过解方程，利用特殊角的三角函数值 ，求出 的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又 ∵ ，且 为锐角， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 5. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 抛物线方程为顶点形式，直接读取顶点坐标． 【详解】解：∵是顶点形式， ∴顶点坐标为， 故选：B． 6. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形， 先根据勾股定理逆定理说明，再根据可得答案. 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可知， ∴， ∴. 在中，. 故选：D. 7. 已知a为锐角，sina=cos500则a等于（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数公式sin（90°-a）=cosa，即可求出a的度数. 【详解】∵sin（90°-50°）=cos500，且sina=cos500， ∴a=90°-50°=400. 故选C. 【点睛】本题考查了三角函数的相关知识.牢记公式：sin（90°-a）=cosa是解题的关键. 8. 二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图所示的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由二次函数图象判断字母系数a的正负，再与一次函数的图象比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，，，错误； D、由抛物线可知，，过点，由直线可知，过点，正确． 故选D． 【点睛】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或. 故选C． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 10. 如图，顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知腰长AB=1，△ ABC为第一个黄金三角形，△ BCD为第二个黄金三角形,△ CDE为第三个黄金三角形,以此类推……，第2020个黄金三角形的周长为（     ）．  A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】相似三角形对应角相等，对应边成比例，所以可求出前几个三角形的周长，进而找出其内在规律：第n个黄金三角形的周长为kn-1（2+k）． 【详解】∵AB=AC=1， ∴△ABC的周长为2+k； △BCD的周长为k+k+k2=k（2+k）； △CDE的周长为k2+k2+k3=k2（2+k）； 依此类推，第2020个黄金三角形的周长为； 故答案为：C． 【点睛】此题属于规律性问题，结合黄金三角形考查相似三角形的性质问题，找出各个三角形周长之间的关系是解题的关键． 二、填空题：（每小题4分，6小题共24分．） 11. 若点，都在反比例函数的图像上，则________（填>，<或=）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数值的大小，根据点，都在反比例函数的图像上，求得的值，进而可得结论． 【详解】解：点，都在反比例函数的图像上， ， ， ． 故答案为：<． 12. 已知，是锐角，则________． 【答案】 【解析】 【分析】据锐角三角函数的定义，设∠A=，放在直角三角形ACB中，设BC=5x，则AC=12x，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】如图所示，在Rt△ABC中，设∠A=， ∵tan＝=， ∴设BC=5x，则AC=12x， 在Rt△ABC中， AB=， ∴sin==. 故答案为. 【点睛】本题考查了锐角三角函数. 构造以为锐角的直角三角形是解题的关键. 13. 将抛物线y=2x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是______________. 【答案】y=2x2+8x+5． 【解析】 【详解】试题分析：按照“左加右减，上加下减”的规律，向左平移2个单位，将抛物线y=2x2先变为y=2（x+2）2，再沿y轴方向向下平移3个单位抛物线y=2（x+2）2，即变为：y=2（x+2）2-3． 故所得抛物线的解析式是：y=2x2+8x+5． 考点: 二次函数图象与几何变换． 14. 在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是______． 【答案】米 【解析】 【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是6米，坡比为． ∴垂直高度为3米． 根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是：3（米）． 故答案为：米． 【点睛】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）＝垂直高度÷水平宽度． 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论①： ② ③ ④当时， 其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， 则， ∵对称轴位于x轴的右侧， 则． ， ∵抛物线与y轴交于正半轴， 则． ∴．故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵图象过点，即时，， ∴， 而， ∴， ∴， 即，故②正确； ③∵， ∴．故③正确； ④∵图象过点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点为， 因为抛物线开口向下， 则当时，，故④正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④， 故答案为：①②③④． 16. 对于实数a，b，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于x的函数，则该函数的最大值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 根据的定义，比较和的大小，再分别求各段最大值． 【详解】解：令， 所以， 当，即时，，故， 此时，抛物线开口向下，对称轴为轴，该函数的最大值为； 当，即时，，故， ∵， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， 综上，函数y的最大值为0． 故答案为：0． 三、解答题：（本大题11小题，共96分．） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的性质化简各项，再结合实数的混合运算顺序计算，即可解题． 【详解】解： ． 18. 解直角三角形：已知：，，，求a 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形，根据在直角三角形中，，代入计算求出a即可． 【详解】解：在中，，如下图， ， ，， ， ． 19. 已知抛物线图像，经过点，，三点，求抛物线的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数表达式，根据待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线的表达式为， 将，，代入， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 20. 已知抛物线． （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它与x轴两个交点A，B的坐标，并求出的长．（点A在点B左边） 【答案】（1），直线 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标和对称轴及与x轴的交点，理解函数与方程的关系是解题的关键． （1）将抛物线化成顶点式，即可得出答案； （2）令，求出和x轴的交点坐标，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 它的顶点坐标为，对称轴为直线 ； 【小问2详解】 解：令， 得， 解得：， 与x轴两个交点， ． 21. 如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o≈0.47，tan28o≈0.53） 【答案】小敏不会有碰头危险 【解析】 【分析】应根据三角函数值算出能站的最大高度是多少，然后和1.85比较即可. 【详解】作CD⊥AC交AB于D， 则∠CAD=28°， 在Rt△ACD中，CD=AC•tan∠CAD=4×0.53=2.12（米）． 因为2.12＞1.85， 所以，小敏不会有碰头危险． 【点睛】本题考查锐角三角函数的应用，需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法. 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数＝的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝（＞0）的图象相交于点B（2，1）． （1）求的值和一次函数的解析式； （2）结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集． 【答案】（1）m=2，y=x-1；（2）x＞2． 【解析】 【分析】（1）将B的坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，将A和B的坐标分别代入一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解集得到k与b的值，确定出一次函数解析式； （2）由B的横坐标为2，将x轴正半轴分为两部分，找出一次函数在反比例函数图象上方时x的范围，即为所求不等式的解集． 【详解】解：（1）把点B（2，1）代入y＝，得1＝， ∴m＝2． 把A（1，0）和B（2，1）代入y＝，得 ，解得， ∴一次函数的解析式为y＝． （2）x＞2． 23. 一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东60°方向有一座小岛F，继续向东航行80海里到达C处，测得小岛F此时在轮船的北偏西30°方向上．轮船在整个航行过程中，距离小岛F最近是多少海里？(结果保留根号) 【答案】距离小岛F最近距离为20海里． 【解析】 【分析】过点F作DF⊥AC，根据三角函数关系，用DF表示出AC，再由AC=80可得出DF的长度，也即最短距离． 【详解】过点F作DF⊥AC，垂足为D 在Rt△ADF中，∠FAD=30°，tan∠FAD＝ ∴AD=， 在Rt△CDF中，∠FCD=60°，tan∠DCF＝ ∴CD= ∵AC=AD+CD=80 ∴，解得：DF＝20（海里） 答：距离小岛F最近距离为20海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，有一定难度，关键在于运用三角函数关系用DF表示出AC，最终求出DF的长度． 24. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为． （1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？ （2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确． 【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可； （2）由（1）可知y是x的二次函数，根据二次函数的性质分析即可． 【详解】（1）∵， ∴当x=25时，占地面积y最大； （2） =， ∴当x=26时，占地面积y最大． 即当饲养室长为26m时，占地面积最大． ∵26-25=1≠2， ∴小敏的说法不正确． 考点：二次函数的应用；最值问题． 25. 如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△A0B的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+1；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）把点A坐标代入反比例函数的解析式中求出k的值，再把A点坐标代入一次函数解析式中求出b的值； （2）两个解析式联立列出方程组，求得点B坐标即可，再求出点C坐标，把△A0B的面积转化成△A0C的面积+△C0B的面积即可． 试题解析：（1）∵已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4），∴﹣k+4=k，解得k=2，故反比例函数的解析式为，又知A（1，2）在一次函数的图象上，故2=1+b，解得b=1，故一次函数的解析式为； （2）由题意得：，解得x=﹣2或1，∴B（﹣2，﹣1），令y=0，得x+1=0，解得x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴S△A0B=S△A0C+S△C0B=×1×2+×1×1=1+=． 考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题． 26. 一种火爆的网红电子产品，每件产品成本元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系． 直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 若一次性批发量不超过件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）当且为整数时，； 当且为整数时， ； 当且为整数时，； （2）一次批发件时所获利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可； （2）设所获利润（元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解. 【详解】解：（1）当且为整数时，y=40； 当且为整数时，设y=kx+b， 将（20，40），（60，20）代入，得： 解得：k=，b=50， ∴； 当且为整数时，； （2）设所获利润（元）， 当且为整数时， 元， 当且为整数时，w=480 , ∴当且为整数时， 当x=34时，最大，最大值为元． 答：一次批发件时所获利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键. 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线的对称轴且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求出点B的坐标； （2）求抛物线解析式． （3）求的面积． （4）若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）5 （4）的面积的最大值为， 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出直线与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标； （2）设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值； （3）是以为底，为高，通过A，B，C三点坐标可得和的长度，进而算出的面积； （4）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后利用配方法可求得的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵，当时，，当时，， ∴，， 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称， ∴点B的横坐标为， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：∵抛物线过，， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，， ，， ， 故答案为5； 【小问4详解】 解：设． 过点P作轴交于点Q， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴当时，的面积有最大值是4， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期九年级数学12月学情反馈试卷 一、选择题：（每小题3分，10小题共30分．） 1. 在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值 A. 也扩大3倍 B. 缩小为原来的 C. 都不变 D. 有的扩大，有的缩小 2. 两条抛物线y = x 2与y = －x 2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（ ） A. 顶点相同 B. 对称轴相同 C. 开口方向相反 D. 都有最小值 3. 已知反比例函数，下列结论中正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. y随着x的增大而减小 D. 函数图象是中心对称图形，但不是轴对称图形 4. 若，则锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 6. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知a为锐角，sina=cos500则a等于（ ） A. 200 B. 300 C. 400 D. 500 8. 二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c在同一坐标系内的图象可能是图所示的（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，顶角为36°的等腰三角形,其底边与腰之比等于 k，这样的三角形叫做黄金三角形．已知腰长AB=1，△ ABC为第一个黄金三角形，△ BCD为第二个黄金三角形,△ CDE为第三个黄金三角形,以此类推……，第2020个黄金三角形的周长为（     ）．  A. B. C. D. 二、填空题：（每小题4分，6小题共24分．） 11. 若点，都在反比例函数的图像上，则________（填>，<或=）． 12. 已知，是锐角，则________． 13. 将抛物线y=2x2先沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的解析式是______________. 14. 在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是______． 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论①： ② ③ ④当时， 其中正确的结论有________（填序号）． 16. 对于实数a，b，定义符号，其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于x的函数，则该函数的最大值为________． 三、解答题：（本大题11小题，共96分．） 17. 计算：； 18. 解直角三角形：已知：，，，求a 19. 已知抛物线图像，经过点，，三点，求抛物线的表达式． 20. 已知抛物线． （1）求它的顶点坐标和对称轴； （2）求它与x轴两个交点A，B的坐标，并求出的长．（点A在点B左边） 21. 如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin28o≈0.47，tan28o≈0.53） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数＝的图象经过点A（1，0），与反比例函数＝（＞0）的图象相交于点B（2，1）． （1）求的值和一次函数的解析式； （2）结合图象直接写出：当＞0时，不等式＞的解集． 23. 一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东60°方向有一座小岛F，继续向东航行80海里到达C处，测得小岛F此时在轮船的北偏西30°方向上．轮船在整个航行过程中，距离小岛F最近是多少海里？(结果保留根号) 24. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为． （1）如图1，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？ （2）如图2，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确． 25. 如图，已知反比例函数y=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）． （1）试确定这两个函数的表达式； （2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并求△A0B的面积． 26. 一种火爆的网红电子产品，每件产品成本元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系． 直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 若一次性批发量不超过件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？ 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线的对称轴且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求出点B的坐标； （2）求抛物线解析式． （3）求的面积． （4）若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $