精品解析：吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县萨日朗学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

萨日朗中学九年期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数顶点式的性质，形如的抛物线的顶点坐标为，直接代入题目中的常数项即可确定顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，根据方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负解答即可． 【详解】∵ 方程 是一元二次方程， ∴ ， ∵ 方程有实数根， ∴ 判别式， 解得， ∴ 且． 故选：D． 4. 如图，将绕点顺利针方向旋转得，若，则等于（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得∠BCB′=∠ACA′=40°，∠A=∠A′，再利用AC⊥A′B′可计算∴∠A′=50°，所以∠A=∠A′=50°． 【详解】解：如图所示， ∵△ACB绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，点B与B′对应， ∴∠BCB′=∠ACA′=40°，∠A=∠A′， ∵AC⊥A′B′， ∴∠CDA′=90°， ∴∠A′=90°-40°=50°， ∴∠A=∠A′=50°． 故选B． 【点睛】题目主要考查旋转的性质及角度计算，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键． 5. 如图，交于点，与相切于点点在上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由图象可知：开口向下，即，故A正确； 对称轴为直线，则有，即，与y轴交于正半轴，即 ∴，，故B正确，C错误； ∵对称轴为直线， ∴点与关于对称轴对称， ∴当时，则有，故D正确； 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在______（填“内、上或外”）． 【答案】内 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系即可判断． 【详解】解：∵的半径为5， 又∵线段OP的长为， ∴点P在内． 故答案为：内 8. 将二次函数先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的新函数的解析式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：将二次函数先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的新函数的解析式为：． 故答案为． 9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为___________度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形．观察图形可得，图形由8个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形旋转8次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：45． 10. 如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，____________________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，设，则，再由垂径定理可得，最后由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ， ， ∵是的半径，弦于点P，， ， 在中，， ∴， 解得，即， 故答案为：13． 11. 如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x），由此即可求解． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，根据垂直于墙的一共有4条边，则一共要花去4x米，则平行于墙的长为（40-4x）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程 【答案】， 【解析】 【分析】根据提公因式因式分解法进行求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 13. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴是直线，顶点坐标是 【解析】 【分析】本题考查将抛物线一般式化为顶点式、顶点式的图象与性质等知识，熟记抛物线的图象与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法将抛物线一般式化为顶点式即可得到答案； （2）根据抛物线顶点式的图象与性质直接求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由（1）中可知，对称轴是直线，顶点坐标是． 14. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】由旋转的性质得：，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）画出绕原点顺时针旋转得到的． 【答案】（1） 所作如图所示： ∴由坐标系可知：点的坐标是； （2）作如图所示． 【解析】 【分析】本题主要考查点的坐标关于原点对称及旋转的性质，熟练掌握点的坐标关于原点对称及旋转的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于原点对称的点，然后问题可求解； （2）根据旋转的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）若，求的度数； （2）求证． 【答案】（1） （2） 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，可得，根据三角形的内角和定理得出，根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出的度数即可； （2）连接，根据，可得，根据平行线的性质可得，从而证得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用． 18. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）3元 （3）售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：， 由于要让利于游客，舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元. 【小问3详解】 解：设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则 ， ∵， ∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 19. 如图，以的边为直径的与边相交于点，，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵，， ∴为的中位线， ∴， ， ∴， 为的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由三角形中位线定理可得，结合题意可得，即可得证； （2）证明是等边三角形，从而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的直径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 20. 如图，在中，．点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作交或于点．当点不与点重合时，以为邻边作矩形，设点的运动时间为秒（），矩形的面积为． （1）直接用含的代数式表示线段的长； （2）求S与之间的函数关系式； （3）当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，，然后可分当时，当时，进而问题可求解； （2）由题意易得，，然后分当时，当时，进而分类进行求解即可； （3）把代入（2）中函数关系式可进行求解． 【小问1详解】 解：∵点为的中点，， ∴， 由题意得：， ∴当时，则， 当时，则； 综上所述：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，同理可得是等腰直角三角形， ∴， ∴， 综上所述：S与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（2）可得： 当时，则，解得：； 当时，则，解得：． 21. 综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （1）小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证：，且； 【深入探究】 （2）若，点为的中点，旋转过程中，当点在一条直线上时，如图②，求证：． 【答案】 （1）证明：和都是等腰直角三角形，且， ，，， ， ， ，， 如图①，延长交于点， ，， ， ． （2）证明：如图②，过点作， ， 为的中点， ， ， ， ，． 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）通过等腰直角三角形的边、角相等关系，利用“”证明三角形全等，再结合角度计算推出垂直关系； （2）通过作平行线构造全等三角形，利用“”证明全等得到边的等量关系，再结合（1）的全等结论及等腰直角三角形的性质，推导线段间的数量关系． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定定理（、）及等腰直角三角形的角度、边长关系是解题关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点逆时针旋转，得到三角形．抛物线经过点，，． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）设点是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）抛物线上有一动点，对称轴上有一动点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）存在点， （4）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由旋转得，，将，代入抛物线解析式，列方程组求解、，回代即可得到解析式； （2）将抛物线配方为顶点式，结合对称轴与给定区间端点的函数值，即可确定的取值范围； （3）先求的面积，再将四边形面积分割为多个三角形面积和，设的坐标列方程求解即可； （4）分 “为对角线”“为对边” 两种情况，利用平行四边形中点重合或平移性质，结合抛物线与对称轴坐标关系即可求的坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵将此三角板绕原点逆时针旋转，得到三角形， ∴，， ∴，， 把，代入得 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，； 【小问3详解】 存在， 如图，连接， ∵， ∴， 设点的坐标为（其中）， ∴， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问4详解】 抛物线对称轴为， 设点，，分以下两种情况： ①如图，以为对角线，四边形是平行四边形， ∴与互相平分，即中点与中点重合， ∵中点为，中点为 ∴，解得， 代入抛物线得， ∴； ②以为平行四边形的边： 如图，四边形是平行四边形， ∴且， ∴移动到与移动到的平移方式相同， ∵移动到，水平移动，垂直移动，（即横坐标，纵坐标）， ∴的横坐标的横坐标，即， 解得， 代入抛物线得， ∴ 如图，四边形是平行四边形， ∴，， ∴移动到与移动到的平移方式相同， ∵移动到，水平移动，垂直移动，（即横坐标，纵坐标）， ∴的横坐标的横坐标，即， 解得， 代入抛物线得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数的性质、图形的旋转、平行四边形的性质、图形面积的计算，利用坐标分析图形变换（旋转）、结合函数性质与几何图形性质分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萨日朗中学九年期中测试 数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，将绕点顺利针方向旋转得，若，则等于（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 5. 如图，交于点，与相切于点点在上．若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的部分图象如图所示，其对称轴是直线，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知与点P在同一平面内，若的半径为5，线段的长为3，则点P在______（填“内、上或外”）． 8. 将二次函数先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度得到的新函数的解析式为_________． 9. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为___________度． 10. 如图所示，是的半径，弦于点P，已知 ，，____________________． 11. 如图，在一面靠墙（墙长不限）的空地上用长为米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆且面积为平方米的矩形鸡场，若设垂直于墙的一边长为米，则可列方程______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程 13. 已知抛物线． （1）将化成的形式； （2）直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标． 14. 如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 15. 如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，请解答下列问题： （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的对应点的坐标； （2）画出绕原点顺时针旋转得到的． 17. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）若，求的度数； （2）求证． 18. 为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 19. 如图，以的边为直径的与边相交于点，，过点作于点． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为，求的长． 20. 如图，在中，．点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作交或于点．当点不与点重合时，以为邻边作矩形，设点的运动时间为秒（），矩形的面积为． （1）直接用含的代数式表示线段的长； （2）求S与之间的函数关系式； （3）当时，直接写出的值． 21. 综合与实践探究 【问题背景】学习旋转之后，某学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的logo，小鸣在设计logo的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系，因此，他和同学在一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且． 【初步探究】 （1）小鸣将绕点在平面内自由旋转，连接后，发现它们之间存在着一定的关系，如图①，求证：，且； 【深入探究】 （2）若，点为的中点，旋转过程中，当点在一条直线上时，如图②，求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为，，，将此三角板绕原点逆时针旋转，得到三角形．抛物线经过点，，． （1）求该抛物线的解析式； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）设点是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点，使四边形的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （4）抛物线上有一动点，对称轴上有一动点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $