浙江省杭州市行知中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区行知中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知圆的半径为5cm，同一平面内一点到圆心的距离是6cm，则这点在(    ) A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 2.下列事件中，属于不可能事件的是(    ) A. 小明买彩票中奖 B. 任意抛掷一只纸杯，杯口朝下 C. 任意三角形的两边，其差小于第三边 D. 在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球 3.如图，点A、B、C在上，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 4.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 5.将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是(    ) A. B. C. D. 6.已知线段，，则a，b的比例中项线段等于(    ) A. 36 B. 5 C. 2 D. 6 7.如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是(    ) A. 有最大值4，无最小值 B. 有最大值4，有最小值3 C. 有最大值4，有最小值 D. 有最大值3，有最小值 8.如图，四边形ABCD是的内接四边形，E在BC的延长线上，若：：：3：3，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.若二次函数的图象经过，三点，则(    ) A. B. C. D. 10.如图，AB是的直径，点C，D在上位于直径AB两侧，且，连结CD交AB于点E，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.一个仅装有球的不透明布袋里共有8个球，只有颜色不同，若从中任意摸出一个球是红球的概率是，则这个布袋里红球的个数是        . 12.抛物线与x轴的交点个数为        个. 13.若扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积是        结果保留 14.若，则的值为      . 15.如图，点O为正八边形ABCDEFGH的中心，连接DA、DB，则        度. 16.已知二次函数的图象的对称轴为若关于x的一元二次方程为实数，在的范围内有解，则t的取值范围是        . 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 如图，一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4，如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止 转盘转动一次，求指针所指区域的数字是偶数的概率； 转盘转动两次，求指针两次所据区域的数字之和是偶数的概率用树状图或列表法 18.本小题6分 某二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x 0 1 2 3 4 y 0 1 0 m 求此二次函数的表达式：______； 的值是______. 19.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， 画出绕点B顺时针旋转后得到； 点的坐标为______； 在的条件下，求出点C经过的路径长. 20.本小题8分 如图，AB为的直径，CD是弦，且于点连接AC、OC、 证明：； 若，，求弦CD的长. 21.本小题8分 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端B处，其身体看成一点运动的路线是抛物线的一部分如图所示 求演员弹跳离地面的最大高度； 已知人梯高，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是则这次表演是否成功抛物线经过点B为成功，否则不成功？请说明理由. 22.本小题12分 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组的成本为60元，经过市场调查发现，当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组.设每组手办降价x元. 用x的代数式表示： ①每一组手办的利润是______. ②每天可销售的手办组数是______. 当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ 当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 23.本小题12分 在二次函数中. 若函数图象的顶点在x轴上，求t的值. 若点在抛物线上，令，求证： 如果，，都在这个二次函数图象上，且，求m的取值范围. 24.本小题12分 如图1，点A，B，C都在上，且AD平分，交于点 求证：是等腰三角形. 如图2，BC是的直径，AD与BC相交于点 ①若，，求的半径. ②若于点H，试探究线段CH，AB，DH之间的数量关系，并说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：， 这点在圆外， 故选： 根据点与圆的位置关系即可得． 本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、小明买彩票中奖是随机事件，不符合题意； B、任意抛掷一只纸杯，杯口朝下是随机事件，不符合题意； C、任意三角形的两边，其差小于第三边是必然事件，不符合题意； D、在一个没有红球的盒子里摸球，摸到了红球是不可能事件，符合题意． 故选： 根据事件发生的可能性的大小进行判断即可． 本题主要考查了随机事件的知识，了解事件的分类是解答本题的关键，难度不大． 3.【答案】A  【解析】解：， ， 故选： 根据圆周角定理进行计算，即可解答． 本题考查了圆周角定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】解：顶点坐标为 故选： 根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键． 直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】 解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数的图象向右平移2个单位所得函数的解析式为； 由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象再向下平移3个单位所得函数的解析式为 故选 6.【答案】D  【解析】解：设a，b的比例中项线段为c， 则：， ， 故选： 利用比例中项的平方等于两外项的乘积，进行计算即可． 本题考查比例中项．熟练掌握比例中项的平方等于两外项的乘积是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为， 此抛物线开口向下， 此函数有最大值，最大值为4； ， 当时，函数最小值为 故选： 直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可． 本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解． 8.【答案】D  【解析】解：：：：3：3， 设，则 ，即，解得， ， ，， 故选： 设，则，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：， 图象的开口向上，对称轴是直线， 当时，y随x的增大而增大， 点关于直线的对称点为， ， ， 故选： 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：如图，连接OC、BC， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 的度数为， 故选： 如图，连接OC、BC，由圆周角定理可求，由等边对等角，三角形内角和求，，则，由圆周角定理求，由等边对等角可求，由三角形内角和定理得，即，计算求解即可． 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 11.【答案】2  【解析】解：这个布袋里红球的个数是个 故答案为： 将摸出一个球是红球的概率乘以球的总数即可求出个布袋里红球的个数． 本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 12.【答案】2  【解析】解：令，则，即， ， 有两个实数根， 交点个数为2个， 故答案为： 抛物线与x轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程之间的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13.【答案】  【解析】解：根据题意，扇形的圆心角为，半径为4， 则该扇形的面积为 故答案为： 直接利用扇形的面积公式求解即可． 本题考查扇形的面积公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：， ， 故答案为 若，则，把这个式子代入所要求的式子化简就可以得到值． 对已知的式子进行正确的变形是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接OA， 点O为正八边形ABCDEFGH的中心， ， 故答案为： 连接OA，OB，利用圆周角定理求解． 本题考查正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理． 16.【答案】  【解析】解：对称轴为直线 解得， 二次函数解析式为， 在时，， 则的解相当于与直线的交点， 当时，在的范围内有解， 故答案为： 根据对称轴求出b的值，然后求与在x的范围内有交点问题即 本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键． 17.【答案】    【解析】解：一个可以自由转动的转盘被分成4等份，每份内标有数字1，2，3，4， 转盘转动一次，指针所指区域的数字是偶数的概率； 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中指针两次所据区域的数字之和是偶数的结果有8种， 指针两次所据区域的数字之和是偶数的概率 直接由概率公式求解即可； 画树状图，共有16种等可能的结果，其中指针两次所据区域的数字之和是偶数的结果有8种，再由概率公式求解即可． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18.【答案】    【解析】观察表格中的x、y的值，可知、是对称点， 所以抛物线的对称轴是直线， 所以顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入解析式中：， 解得， 所以这个二次函数的表达式为，即； 当时，， ， 故答案为： 根据表格中的点的坐标特点先确定定点的坐标，设顶点式即可求解； 将代入抛物线的解析式中可得； 本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解决本题的关键是观察表格数据确定抛物线的顶点坐标． 19.【答案】如图所示，即为所求    ， 点C经过的路径长   【解析】解：如图所示，即为所求； 由图形可知，点的坐标为， 故答案为：； ， 点C经过的路径长 根据旋转变换的性质作图； 根据图形得出点的坐标； 根据勾股定理求出BC的长，再根据弧长公式求解． 本题考查了作图-旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键． 20.【答案】为的直径，CD是弦，且， ，   弦CD的长为8  【解析】证明：为的直径，CD是弦，且， ， 解：为的直径，CD是弦，且于点E， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦CD的长为 由AB为的直径，CD是弦，且，根据垂径定理得，即可根据圆周角定理证明 由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得 此题重点考查垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识，推导出及是解题的关键． 21.【答案】演员弹跳离地面的最大高度是米  能成功表演．理由是： 当时，， 即点在抛物线上， 因此，能表演成功  【解析】解：将二次函数化成， ， 当时，y有最大值，最大值为， 演员弹跳离地面的最大高度是米； 能成功表演．理由是： 当时，， 即点在抛物线上， 因此，能表演成功． 将二次函数化简为，即可解出的值； 当时代入二次函数可得点B的坐标在抛物线上． 本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 22.【答案】①②  降价5元或15元  降价10元时，最大利润为3600元．  【解析】①由题意，由每组手办的利润为售价减去成本，且原售价100元， 降价x元后售价为元． 又成本为60元， 利润为：元． ②由题意，原销量为80组，每降价1元销量增加4组， 降价x元后销量为组． 故答案为：元； 由题意得：， ， 答：每组手办降价5元或15元时利润可以为3500元． 由题意得，每天的利润为 又， 可得当时，有利润y的最大值为3600元． ①依据题意，由每组手办的利润为售价减去成本，且原售价100元，从而降价x元后售价为元，又成本为60元，故利润为：元，进而可以得解； ②依据题意，由原销量为80组，每降价1元销量增加4组，可得降价x元后销量为组，进而可以得解； 依据题意得：，可得，从而，，进而可以判断得解； 依据题意，可得每天的利润为，进而可以判断得解． 本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． 23.【答案】t的值为  见解答  或  【解析】解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； 证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与y轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随x的增大而减小，且， ， 解得， 此时m满足的条件为；  ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时m满足的条件是， 综上所述，或 根据顶点在x轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； 把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论； 根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线与y轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有，可得m满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，m满足的条件是 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点坐标的特征，二次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 24.【答案】证明：平分， ， ， 即是等腰三角形； 解：①如图，连接OD， 设，则， 由知， 又， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得，不合题意，舍去， 即的半径为8； ②；理由如下： 如图，过点D作于点Q， 是的直径， 平分，，， ，， 由知， 在和中， ， ， ， 四边形QDHA是矩形，   【解析】由AD平分，得，则； ①连接OD，设，则，可证明，则在中由勾股定理得，，解得，不合题意，舍去，即的半径为8； ②，理由如下：过点D作于点Q，可证明，则而，则四边形QDHA是矩形，则 本题属于圆的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $