期末复习13角的期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学角的复习讲义通过“知识点梳理-题型精讲-备考通关”三级架构构建知识体系，运用表格呈现角的分类、余补角关系等核心内容，借助逻辑链梳理角的计算应用脉络，系统覆盖概念、度量、特殊关系等8大知识点，清晰展现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的角的表示到综合的余补角计算，结合钟面角、方向角等实际场景题型，培养几何直观与应用意识。每个题型配备典例解析与跟踪训练，辅以分类讨论、方程求解等技巧指导，帮助不同层次学生提升运算能力与推理意识，助力教师实施精准复习教学。

期末复习13 角的讲义 期末必备 知识点梳理 1.角的基本概念 2.角的表示方法 3.角的度量 4.角的分类 5.角的大小比较与和差运算 6.角的特殊关系与性质 7.角的计算与应用 8.易错点提示 常考题型 精讲精炼 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.钟面角的特征与计算方法 4.方向角的定义与规范表示 5.方向角的实际计算与应用问题 6.角的度量单位与角度制详解 7.三角板中角度计算技巧 8.几何图形中角度计算问题 9.角度的四则运算 10.尺规作图:作一个角等于已知角 11.角平分线的性质与有关计算 12.余角的定义与求解方法 13.补角的定义与求解方法 14.余角.补角的综合计算与应用. 期末备考 题型通关 压轴题(13) 【知识点01.角的基本概念】 1.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点为顶点，两条射线为角的边。 2.动态定义：一条射线绕其端点旋转形成的图形，起始位置射线为始边，终止位置射线为终边。 3.关键要点：角的大小与边的长短无关，仅由两边张开程度决定；平角是始边与终边成直线（180°），周角是始边与终边重合（360°），二者均为角而非直线或射线。 【知识点02.角的表示方法】 1.三个大写字母：如∠AOB（顶点 O 在中间，两边为 OA、OB），无歧义时适用。 2.一个大写字母：如∠O（顶点 O 处只有一个角时可用）。 3.数字：如∠1（靠近顶点画弧线标数字）。 4.希腊字母：如∠α、∠β（靠近顶点画弧线标希腊字母）。 【知识点03.角的度量】 1.单位与换算：基本单位为度（°）、分（′）、秒（″），换算关系为 1°=60′，1′=60″；高级单位化低级单位乘 60，低级单位化高级单位除以 60。 2.量角器使用步骤： (1)点点重合：量角器中心与角的顶点重合。 (2)线边重合：量角器 0° 刻度线与角的一条边重合。 (3)读数：角的另一条边所对的刻度即为角的度数（注意内外圈刻度区分）。 【知识点04.角的分类】 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 0°＜α＜90° - 直角 α=90° 常用符号 “Rt∠” 表示 钝角 90°＜α＜180° - 平角 α=180° 始边与终边成直线 周角 α=360° 始边与终边重合 零角 α=0° 始边与终边未张开 【知识点05.角的大小比较与和差运算】 1.比较方法 *度量法：用量角器量出度数再比较。 *叠合法：将两个角的顶点与一条边重合，观察另一条边位置判断大小。 2.和差运算 *基本关系：∠AOB=∠AOC+∠COB（C 在∠AOB 内部）；∠AOC=∠AOB - ∠COB。 *度分秒运算：加减时度、分、秒分别相加减，满 60 进 1，不够减则借 1 当 60；乘除时分别运算，结果按 60 进制处理。 【知识点06.角的特殊关系与性质】 1.角平分线 *定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线。 *性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 *判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2.余角与补角 关系 定义 性质 计算方法 互余 两角和为 90° 同角（等角）的余角相等 若∠α，则余角为 90° - ∠α 互补 两角和为 180° 同角（等角）的补角相等 若∠α，则补角为 180° - ∠α （注：互余、互补是两角间的数量关系，与位置无关） 3.对顶角与邻补角（两条直线相交时） *对顶角：两边互为反向延长线的两个角，性质为对顶角相等。 *邻补角：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，性质为邻补角和为 180°（即互补）。 【知识点07.角的计算与应用】 一、基础角度计算（度分秒运算 + 和差关系） 1. 度分秒的换算与四则运算 (1)换算规则 高级单位→低级单位：度 ×60 = 分，分 ×60 = 秒（逐级换算，不可跳级） 低级单位→高级单位：秒 ÷60 = 分，分 ÷60 = 度（余数保留为低级单位) (2)四则运算方法 加法：度 + 度、分 + 分、秒 + 秒，满 60 进 1 减法：度 - 度、分 - 分、秒 - 秒，不够减则借 1 当 60（1°=60′，1′=60″） 乘法：分别乘度、分、秒，结果满 60 进 1 除法：先把度化为分（或秒）统一单位，再除，余数转回高级单位 2. 角的和差关系计算（无特殊性质） 核心公式 若点 C 在∠AOB 内部：∠AOB = ∠AOC + ∠COB；∠AOC = ∠AOB - ∠COB；∠COB = ∠AOB - ∠AOC 若∠AOC = ∠COD + ∠DOB，且∠AOB = ∠AOC + ∠COB，则∠AOB = ∠COD + ∠DOB + ∠COB（多段和差） 二、结合特殊性质的角度计算（角平分线 + 余补角 + 对顶角） 1. 角平分线相关计算 核心性质 若 OC 平分∠AOB，则∠AOC = ∠COB = ½∠AOB；∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB 若 OD 平分∠AOC，OE 平分∠COB，则∠DOE = ½∠AOB（角平分线夹角公式） 2. 余角与补角相关计算 核心公式 余角：若∠α + ∠β = 90°，则∠β = 90° - ∠α（∠α 为锐角） 补角：若∠α + ∠γ = 180°，则∠γ = 180° - ∠α 拓展关系：一个角的补角比它的余角大 90°（推导：(180° - ∠α) - (90° - ∠α) = 90°） 3. 对顶角与邻补角相关计算（两条直线相交） 核心性质 对顶角相等：若直线 AB、CD 相交于点 O，则∠AOC = ∠BOD，∠AOD = ∠BOC 邻补角互补：∠AOC + ∠AOD = 180°，∠AOC + ∠BOC = 180°（相邻且和为 180°） 三、实际场景中的角度应用（方位角 + 钟表角度） 1. 方位角计算 定义与表示 *以正北、正南方向为基准，描述物体方向的角，格式为 “北（南）偏东（西）x°” *特殊方位：西北 = 北偏西 45°，东北 = 北偏东 45°，西南 = 南偏西 45°，东南 = 南偏东 45° 2. 钟表角度计算 核心规律 *钟表一圈为 360°，共 12 个大格，每个大格 = 360°÷12=30°；每个大格分 5 个小格，每个小格 = 6° *时针速度：0.5°/ 分钟（30°÷60 分钟）；分针速度：6°/ 分钟（360°÷60 分钟） *夹角公式：|30H - 5.5M|（H 为小时数，M 为分钟数），若结果＞180°，则夹角 = 360° - 结果 四.解题技巧总结 1.遇分类讨论：当射线位置不明确时（如 “OC 与∠AOB 的位置关系”），需分 “内部 / 外部” 两种情况计算。 2.遇方程求解：角度未知时，设未知数（x° 或 x°x′），根据性质列方程（如角平分线、余补角关系）。 3.遇实际场景：先转化为几何图形（方位角画坐标系，钟表画圆形），再结合性质计算。 4.验算技巧：计算后检查角度是否符合逻辑（如锐角＜90°，钝角 90°180°，补角＞余角）。 【知识点08.易错点提示】 1.角的表示：一个大写字母表示时，顶点处必须只有一个角，避免歧义。 2.度量读数：量角时易混淆内外圈刻度，需确保 0° 刻度线与边正确重合。 3.度分秒换算：注意 60 进制，避免与 10 进制混淆，运算时做好进位与借位。 4.概念混淆：平角、周角与直线、射线的区别；余角、补角与位置无关，仅为数量关系。 【题型1.角的概念理解】 【典例】下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【跟踪训练1】如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 【跟踪训练2】如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【题型2.角的表示方法】 【典例】如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【跟踪训练1】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪训练2】如图，总共有 个角． 【题型3.钟面角的特征与计算方法】 【典例】一个挂钟，在 3 时整的时候，时针与分针的最小夹角是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【跟踪训练2】亲爱的同学，数学考试是点整开考，请问此时时针与分针的夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【题型4.方向角的定义与规范表示】 【典例】以学校为观测点，小明家在学校南偏西方向，距离学校500米处，那么以小明家为观测点，学校在小明家 偏 °方向． 【跟踪训练1】如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【跟踪训练2】在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．如图，一艘轮船行驶到B处时，测得小岛的方向分别为北偏西和北偏东方向，则的度数是 ． 【题型5.方向角的实际计算与应用问题】 【典例】在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 【跟踪训练2】如图，小张从家（图中A处）出发，向南偏东的方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西的方向走到小明家（图中C处），则的度数为（　　） A． B． C． D． 【题型6.角的度量单位与角度制详解】 【典例】角度换算： （1）用度，分，秒表示为 ； （2） ； 【跟踪训练1】若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】把角度转化成度的形式： 【题型7.三角板中角度计算技巧】 【典例】将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【跟踪训练2】如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型8.几何图形中角度计算问题】 【典例】如图所示，，，则的度数是 ． 【跟踪训练1】在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2】已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【题型9.角度的四则运算】 【典例】已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知，则的补角是 ． 【跟踪训练2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型10.尺规作图:做一个角等于已知角】 【典例】如图，尺规作，作图痕迹中弧是以点为圆心，以 长为半径所画的弧． 【跟踪训练1】如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 【跟踪训练2】如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【题型11.角平分线的性质与有关计算】 【典例】如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点 A． B． C． D． 【跟踪训练1】直线与相交于E点，，平分，且，则 ， ． 【跟踪训练2】如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【题型12.余角的定义与求解方法】 【典例】，是的余角，则的度数为 ． 【跟踪训练1】如图，，则图中互为余角的角共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【跟踪训练2】一个锐角是，它的余角是 度． 【题型13.补角的定义与求解方法】 【典例】若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【跟踪训练1】.如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是 ． 【跟踪训练2】若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型14.余角.补角的综合计算与应用】 【典例】小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．与互余 C． D．与互补 【跟踪训练1】一个角的余角是这个角的补角的三分之一，则这个角的度数是 ． 【跟踪训练2】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 2．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 4．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 7．如图，在的内部，平分．若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 8．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 10．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 11．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 12．小天和小河一起通过创编数学题目考察对方解决问题能力．他们找到了一个基本图形设定相同的已知条件来创编：如图1，点A，O，B依次在直线上，点O为的中点． (1)小天创编了一道解答题，解答时要求写出求解过程和必要步骤，题目如下： 如图2，直线保持不动，将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，设转动时间为t秒（）． ①当时，求的度数； ②在转动过程中，当射线与射线的夹角为时，求t的值． (2)小河创编了一道多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．题目如下： 如果点C在线段上，且，，，则以下结论正确的是（    ） A．点C可能与点A重合    B．点C可能与点O重合 C．有理数x可能等于2    D．有理数x可能等于1 现在，请你解答他们创编的题目． 13.如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习13 角的讲义 期末必备 知识点梳理 1.角的基本概念 2.角的表示方法 3.角的度量 4.角的分类 5.角的大小比较与和差运算 6.角的特殊关系与性质 7.角的计算与应用 8.易错点提示 常考题型 精讲精炼 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.钟面角的特征与计算方法 4.方向角的定义与规范表示 5.方向角的实际计算与应用问题 6.角的度量单位与角度制详解 7.三角板中角度计算技巧 8.几何图形中角度计算问题 9.角度的四则运算 10.尺规作图:作一个角等于已知角 11.角平分线的性质与有关计算 12.余角的定义与求解方法 13.补角的定义与求解方法 14.余角.补角的综合计算与应用. 期末备考 题型通关 压轴题(13) 【知识点01.角的基本概念】 1.静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点为顶点，两条射线为角的边。 2.动态定义：一条射线绕其端点旋转形成的图形，起始位置射线为始边，终止位置射线为终边。 3.关键要点：角的大小与边的长短无关，仅由两边张开程度决定；平角是始边与终边成直线（180°），周角是始边与终边重合（360°），二者均为角而非直线或射线。 【知识点02.角的表示方法】 1.三个大写字母：如∠AOB（顶点 O 在中间，两边为 OA、OB），无歧义时适用。 2.一个大写字母：如∠O（顶点 O 处只有一个角时可用）。 3.数字：如∠1（靠近顶点画弧线标数字）。 4.希腊字母：如∠α、∠β（靠近顶点画弧线标希腊字母）。 【知识点03.角的度量】 1.单位与换算：基本单位为度（°）、分（′）、秒（″），换算关系为 1°=60′，1′=60″；高级单位化低级单位乘 60，低级单位化高级单位除以 60。 2.量角器使用步骤： (1)点点重合：量角器中心与角的顶点重合。 (2)线边重合：量角器 0° 刻度线与角的一条边重合。 (3)读数：角的另一条边所对的刻度即为角的度数（注意内外圈刻度区分）。 【知识点04.角的分类】 角的类型 度数范围 特殊说明 锐角 0°＜α＜90° - 直角 α=90° 常用符号 “Rt∠” 表示 钝角 90°＜α＜180° - 平角 α=180° 始边与终边成直线 周角 α=360° 始边与终边重合 零角 α=0° 始边与终边未张开 【知识点05.角的大小比较与和差运算】 1.比较方法 *度量法：用量角器量出度数再比较。 *叠合法：将两个角的顶点与一条边重合，观察另一条边位置判断大小。 2.和差运算 *基本关系：∠AOB=∠AOC+∠COB（C 在∠AOB 内部）；∠AOC=∠AOB - ∠COB。 *度分秒运算：加减时度、分、秒分别相加减，满 60 进 1，不够减则借 1 当 60；乘除时分别运算，结果按 60 进制处理。 【知识点06.角的特殊关系与性质】 1.角平分线 *定义：从角的顶点出发，把角分成两个相等角的射线。 *性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。 *判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上。 2.余角与补角 关系 定义 性质 计算方法 互余 两角和为 90° 同角（等角）的余角相等 若∠α，则余角为 90° - ∠α 互补 两角和为 180° 同角（等角）的补角相等 若∠α，则补角为 180° - ∠α （注：互余、互补是两角间的数量关系，与位置无关） 3.对顶角与邻补角（两条直线相交时） *对顶角：两边互为反向延长线的两个角，性质为对顶角相等。 *邻补角：有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，性质为邻补角和为 180°（即互补）。 【知识点07.角的计算与应用】 一、基础角度计算（度分秒运算 + 和差关系） 1. 度分秒的换算与四则运算 (1)换算规则 高级单位→低级单位：度 ×60 = 分，分 ×60 = 秒（逐级换算，不可跳级） 低级单位→高级单位：秒 ÷60 = 分，分 ÷60 = 度（余数保留为低级单位) (2)四则运算方法 加法：度 + 度、分 + 分、秒 + 秒，满 60 进 1 减法：度 - 度、分 - 分、秒 - 秒，不够减则借 1 当 60（1°=60′，1′=60″） 乘法：分别乘度、分、秒，结果满 60 进 1 除法：先把度化为分（或秒）统一单位，再除，余数转回高级单位 2. 角的和差关系计算（无特殊性质） 核心公式 若点 C 在∠AOB 内部：∠AOB = ∠AOC + ∠COB；∠AOC = ∠AOB - ∠COB；∠COB = ∠AOB - ∠AOC 若∠AOC = ∠COD + ∠DOB，且∠AOB = ∠AOC + ∠COB，则∠AOB = ∠COD + ∠DOB + ∠COB（多段和差） 二、结合特殊性质的角度计算（角平分线 + 余补角 + 对顶角） 1. 角平分线相关计算 核心性质 若 OC 平分∠AOB，则∠AOC = ∠COB = ½∠AOB；∠AOB = 2∠AOC = 2∠COB 若 OD 平分∠AOC，OE 平分∠COB，则∠DOE = ½∠AOB（角平分线夹角公式） 2. 余角与补角相关计算 核心公式 余角：若∠α + ∠β = 90°，则∠β = 90° - ∠α（∠α 为锐角） 补角：若∠α + ∠γ = 180°，则∠γ = 180° - ∠α 拓展关系：一个角的补角比它的余角大 90°（推导：(180° - ∠α) - (90° - ∠α) = 90°） 3. 对顶角与邻补角相关计算（两条直线相交） 核心性质 对顶角相等：若直线 AB、CD 相交于点 O，则∠AOC = ∠BOD，∠AOD = ∠BOC 邻补角互补：∠AOC + ∠AOD = 180°，∠AOC + ∠BOC = 180°（相邻且和为 180°） 三、实际场景中的角度应用（方位角 + 钟表角度） 1. 方位角计算 定义与表示 *以正北、正南方向为基准，描述物体方向的角，格式为 “北（南）偏东（西）x°” *特殊方位：西北 = 北偏西 45°，东北 = 北偏东 45°，西南 = 南偏西 45°，东南 = 南偏东 45° 2. 钟表角度计算 核心规律 *钟表一圈为 360°，共 12 个大格，每个大格 = 360°÷12=30°；每个大格分 5 个小格，每个小格 = 6° *时针速度：0.5°/ 分钟（30°÷60 分钟）；分针速度：6°/ 分钟（360°÷60 分钟） *夹角公式：|30H - 5.5M|（H 为小时数，M 为分钟数），若结果＞180°，则夹角 = 360° - 结果 四.解题技巧总结 1.遇分类讨论：当射线位置不明确时（如 “OC 与∠AOB 的位置关系”），需分 “内部 / 外部” 两种情况计算。 2.遇方程求解：角度未知时，设未知数（x° 或 x°x′），根据性质列方程（如角平分线、余补角关系）。 3.遇实际场景：先转化为几何图形（方位角画坐标系，钟表画圆形），再结合性质计算。 4.验算技巧：计算后检查角度是否符合逻辑（如锐角＜90°，钝角 90°180°，补角＞余角）。 【知识点08.易错点提示】 1.角的表示：一个大写字母表示时，顶点处必须只有一个角，避免歧义。 2.度量读数：量角时易混淆内外圈刻度，需确保 0° 刻度线与边正确重合。 3.度分秒换算：注意 60 进制，避免与 10 进制混淆，运算时做好进位与借位。 4.概念混淆：平角、周角与直线、射线的区别；余角、补角与位置无关，仅为数量关系。 【题型1.角的概念理解】 【典例】下列说法正确的是（   ） A．角是两条射线组成的图形 B．延长一个角的两边 C．周角是一条射线 D．反向延长射线得到一个平角 【答案】D 【分析】本题主要考查角，熟练掌握角的相关定义是解题的关键． 根据角的定义进行判断即可． 【详解】解：对于A，有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，如果两条射线的端点不同，这样的两条射线组成的图形不一定是角，故A错误； 对于B，角的两条边是射线，只能反向延长，故错误； 对于C，角应该有一个顶点，由两条射线组成，不正确； 对于D，反向延长射线，成为平角的顶点，得到一个以为顶点的平角，故正确． 故选：D． 【跟踪训练1】如图，在已知角内画射线．画一条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角． 【答案】 3 6 10 【分析】本题考查了对角的概念的应用，图形类探索与规律，关键是能根据已知图形得出规律． 根据图形数出角的个数即可得出前三个空的答案． 【详解】在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 故答案为3，6，10． 【跟踪训练2】如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角， 故选：A． 【题型2.角的表示方法】 【典例】如图，可以表示成或 ，可以表示成 ，可以表示成 或 ． 【答案】 B BAD ACB 【分析】根据角的表示方法可得可以表示成或，可以表示成，可以表示成或，据此可得出答案． 【详解】解：根据角的表示方法可得可以表示成或， 可以表示成， 可以表示成或． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，准确识图，解决问题的关键是熟练掌握角的表示方法． 【跟踪训练1】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 【跟踪训练2】如图，总共有 个角． 【答案】10 【分析】根据图形分别表示出所有角即可． 【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键． 【题型3.钟面角的特征与计算方法】 【典例】一个挂钟，在 3 时整的时候，时针与分针的最小夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查钟面角，钟面分成了12个大格，每格是，只要看3点整时，分针和时针的夹角占了几个大格，就可知道夹角的度数． 【详解】解：3点整，分针和时针的夹角的度数：， 所以一个挂钟，在3时整的时候，时针与分针的最小夹角是90度； 故选：C． 【跟踪训练1】（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． （2）根据钟面角的定义以及图形中的角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 【跟踪训练2】亲爱的同学，数学考试是点整开考，请问此时时针与分针的夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了钟表表盘与角度相关的特征，钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，点整时，时针指到上，分针指到上，点整时针和分针夹角是份即可得出答案，解题的关键是理解钟表上个数字，每相邻两个数字之间的夹角为． 【详解】解：∵点整时，时针指到上，分针指到上， ∴点整时针和分针夹角是份，每份， ∴， ∴此时时针与分针的夹角度数是， 故选：． 【题型4.方向角的定义与规范表示】 【典例】以学校为观测点，小明家在学校南偏西方向，距离学校500米处，那么以小明家为观测点，学校在小明家 偏 °方向． 【答案】 北 东 【分析】本题考查位置的相对性，解题的关键是理解观测点互换时方向相反、角度相同． 根据位置相对性的原理，分析观测点从学校换成小明家时方向的变化． 【详解】解：已知以学校为观测点，小明家在学校南偏西方向， 由于位置具有相对性，当观测点换成小明家时，方向相反，角度不变， 南的相反方向是北，西的相反方向是东，所以学校在小明家北偏东方向． 故答案为：北、东、30． 【跟踪训练1】如图，，，则表示北偏西的射线是（   ） A．射线 B．射线 C．射线 D．射线 【答案】B 【分析】此题主要考查了方向角的表达即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度． 根据，，可得射线在北偏西的方向上 ． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴表示北偏西的射线是． 故答案为：B． 【跟踪训练2】在航行、测绘等工作中，经常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．如图，一艘轮船行驶到B处时，测得小岛的方向分别为北偏西和北偏东方向，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角、角的和差等知识点，根据方向角的定义确定相关角的大小成为解题的关键． 由题意可得、，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：如图：由题意可得：、， ∴． 故答案为． 【题型5.方向角的实际计算与应用问题】 【典例】在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西的方向，同时轮船B在南偏东的方向，那么的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角以及角的和差，正确理解方向角的概念以及利用角的和差确定出 的构成是解题的关键．利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：根据题意如图所示： ， 故选：C． 【跟踪训练1】是边长为的等边三角形，是绕C点逆时针旋转后得到的（如图）．那么，这个三角形旋转了 度．点位于C点西偏北 度的方向，距离C点． 【答案】 【分析】本题考查方向角． 根据方向角和等边三角形的知识，结合角之间的关系计算即可． 【详解】解：， ∴这个三角形旋转了， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴点位于C点西偏北的方向． 故答案为：，． 【跟踪训练2】如图，小张从家（图中A处）出发，向南偏东的方向走到学校（图中B处），再从学校出发，向北偏西的方向走到小明家（图中C处），则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向角，平行线的性质解答即可． 本题考查方向角；平行线的性质，数形结合找准对应的角度进行计算是本题的解题关键． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【题型6.角的度量单位与角度制详解】 【典例】角度换算： （1）用度，分，秒表示为 ； （2） ； 【答案】 【分析】本题考查了角度换算，熟练掌握角度单位制是解题关键． （1）先将拆分为，再根据将进行换算即可得； （2）先将拆分为，再根据将进行换算即可得． 【详解】解：（1） ． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 【跟踪训练1】若，则的余角用度、分、秒表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，度、分、秒单位的换算，解题的关键是掌握余角的定义． 根据余角的定义求出余角，再进行单位换算即可． 【详解】解： ， ， 故选：C． 【跟踪训练2】把角度转化成度的形式： 【答案】 【分析】本题考查了角度的单位制，熟练掌握角度单位制的换算是解题关键．根据可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7.三角板中角度计算技巧】 【典例】将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图所示的形状，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，根据三角板中角的特点可得，再由角的和差关系求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪训练1】如图，一副直角三角板的顶点重合在一起，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，掌握角的和差计算是解题的关键． 由题意可知，，则，，即①，②，再根据，可得，代入②可得：③，①③可得：，即可得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：一副三角板的顶点重合在一起， ． ，， ①，②， ， ， ③， ①③，得， ， ． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算、角的大小比较，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论． 【详解】解：A、与的大小关系不确定，故此结论不一定成立，不符合题意； B、的值不固定，故此结论不一定成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， 即，故此结论一定成立，符合题意； D、∵， ∴， 即，故此结论不成立，不符合题意； 故选：C． 【题型8.几何图形中角度计算问题】 【典例】如图所示，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角的和差计算，根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【跟踪训练1】在同一平面内有，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，分射线在内、外两种情况，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：如图1所示，当射线在内时， ； 如图2所示，当射线OC在外时， ； 综上，的度数为或， 故选C． 【跟踪训练2】已知是直角，在的内部有一条射线，满足，在所在平面上另有一条射线，满足，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，关键是分两种情况讨论进行求值．先根据题意求出，，，再分两种情况进行分析，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， 当射线在的内部时，如图： 此时， 当射线在的外部时，如图： 此时． 故答案为：或． 【题型9.角度的四则运算】 【典例】已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 【跟踪训练1】已知，则的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，角度的运算，根据补角的定义即可求解，掌握补角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的补角是， 故答案为：． 【跟踪训练2】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【题型10.尺规作图:做一个角等于已知角】 【典例】如图，尺规作，作图痕迹中弧是以点为圆心，以 长为半径所画的弧． 【答案】/ 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，根据尺规作角的方法，得到弧是以点为圆心，以长为半径的弧，作答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：作图痕迹中弧是以点为圆心，以长为半径所画的弧， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，点在的边上，用尺规作出了．以下作图过程正确的顺序是（    ） ①以为圆心，长为半径画，交于点． ②作射线，则． ③以为圆心，EF长为半径画弧，交于点． ④以为圆心，任意长为半径画，分别交于点E，F A．①-②-③-④ B．③-②-④-① C．④-③-①-② D．④-①-③-② 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据作一个角等于已知角的作法即可得出结论．熟记作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【详解】解：作图过程正确的顺序是：④以为圆心，任意长为半径画，分别交，于点，； ①以为圆心，长为半径画，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交于点； ②作射线，则， 故正确的顺序是④①③②， 故选：D． 【跟踪训练2】如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【答案】/140度 【分析】本题考查的知识点是尺规作等角的方法及角的和差运算；通过尺规作图得，再利用已知角的度数，结合角的和差关系求出所求角的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，(以为圆心画弧，再以为圆心、长为半径画弧得到点，这种作图方法是作角平分线的方法)， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型11.角平分线的性质与有关计算】 【典例】如图，在正方形中，E为边上一点，将正方形沿线段折叠，点C落在点 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算，熟知折叠前后的对应角相等是解题的关键． 根据折叠前后的对应角相等进行计算即可解决问题． 【详解】解：由折叠可知， ， ， ， ． 故选：D． 【跟踪训练1】直线与相交于E点，，平分，且，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算． 由平分可得出，因而易求，的度数． 【详解】解：，平分，且， ， ， ． 故答案为：，． 【跟踪训练2】如图，两个直角共顶点，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线．其中不正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． ①依题意得，则，由此可对该结论进行判断； ②假设，则，进而得，根据已知条件无法判定，由此可对该结论进行判断； ③根据平分得，则，进而得，然后根据角平分线的定义可对该结论进行判断； ④设平分，则，再根据得，则平分，由此可对该结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ②假设， ， ， ∴， ， 根据已知条件无法判定， 故结论②不正确， ③∵平分，， ， 又， ， ， ∴平分， 故结论③正确； ④设平分，如图所示： ， ， ， ， ∴平分， 即的平分线与的平分线是同一条射线， 故结论④正确， 故选：A． 【题型12.余角的定义与求解方法】 【典例】，是的余角，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查余角的概念，掌握互为余角的两角的和为是解题关键．根据余角的定义计算即可． 【详解】解：是的余角， ， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，，则图中互为余角的角共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题主要考查了互余的定义，掌握余角的定义“如果∠A+∠B=90°，那么∠A和∠B互余”成为解题的关键． 求出，，再根据互余的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴图中互为余角的角有和，和，和，和，共4对． 故选：C． 【跟踪训练2】一个锐角是，它的余角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了求一个锐角的余角，度、分、秒的转换，首先根据余角的定义可得：的余角是，再把秒转化为分、分转化为度即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型13.补角的定义与求解方法】 【典例】若的度数为，则的补角的度数为（   ） A．1 B．1 C．6 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，熟练掌握补角的定义，是解题的关键．根据补角的定义，两个角之和为，因此用减去已知角的度数，即可求出补角． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：A． 【跟踪训练1】.如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是 ． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据角的和差关系求出的度数，进而求出的度数，再根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴的补角为； 故答案为：． 【跟踪训练2】若，则的补角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为， 故选：B． 【题型14.余角.补角的综合计算与应用】 【典例】小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A． B．与互余 C． D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角的概念. 由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 即，故选项A不符合题意； B、∵， ∴与互余，故选项B不符合题意； C、当时，，故选项C符合题意； D、∵， ∴与互补，故选项D不符合题意； 故选：C． 【跟踪训练1】一个角的余角是这个角的补角的三分之一，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查余角和补角，找准等量利用方程计算是解题的关键． 利用余角和补角的关系列方程解题即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意，得， 解得：， 故答案为：． 【跟踪训练2】如果和互补，且，则下列表示的余角的式子中：①；②；③；④，能正确表示的余角的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角． 由和互补，得，由的余角为，通过代数变换，判断各式子是否等于． 【详解】解：∵和互补， ∴． 的余角为， ①：，即，故错误； ②：，故正确； ③：，故错误； ④：，故正确． ∴②和④正确，共2个． 故选：B． 1．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则三个角的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的角为直角是解题的关键． 利用正方形的角为直角这一性质，通过角之间的和差关系来推导三个角的数量关系． 【详解】如图， 正方形的每个角都是， ，， ， 又， ∴． 故选：C． 2．如图，若，则下列说法正确的有（   ） ①平分；②平分；③平分；④平分；⑤平分． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．对每个选项逐一分析即可. 【详解】解：在中，，平分，故①说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故②④说法错误，不符合题意； 在中，，平分，故③说法正确，符合题意； 在中，，平分，故⑤说法正确，符合题意； 故③⑤说法正确. 故选：． 3．从时针与分针第一次成的角，到时针与分针第二次成的角，共经过（    ）分钟（结果四舍五入到整数）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了钟表问题，根据分钟每分钟转过的角度为度，时钟每分钟转过的角度为度，列出算式即可求解，掌握钟表基本常识是解题的关键． 【详解】解：∵分针每分钟转，时针每分钟转， ∴（分钟）， 故选：． 4．如图，为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①与互余；②；③与互补；④．下列结论中错误的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴，，，②错误， ∴，故①正确， ∵， ∴， ∵， ∴与互补，故③正确， ∵， ∴．故④正确． 综上所述：错误的结论是②，共1个． 故选A ． 5．一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 6．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 7．如图，在的内部，平分．若，，则 °（用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】由平分，得到，将转化为，将转化为，然后表示的关系． 【详解】∵平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查角平分线的概念及角的和差表示，解题的关键是将转化为，将转化为进行求解． 8．如图，已知与，分别以O，为圆心，以同样长为半径画弧，分别交于点，交于点．以为圆心，以长为半径画弧，交弧于点H，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，掌握基本的尺规作图是解题的关键．根据基本的尺规作图判断，本题的尺规作图是作一个角等于已知角，据此判断即可． 【详解】解：根据作图可知， A、不能判断，故该选项不正确，此选项符合题意； B、∵，即，故该选项正确，此选项不符合题意； C、，故该选项正确，此选项不符合题意； D、，故该选项正确，此选项不符合题意； 故选：A． 9．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 10．如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1，若，求的度数． (2)在图1中，若，直接写出的度数： （用含的代数式表示）． (3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转． ①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论． 【答案】(1) (2) (3)①．理由见解析；②， 【分析】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分关系进行计算． （1）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （2）利用平角的定义可得，由角平分线的定义得，则． （3）①当旋转至题图2的位置时，设，同理可得，则，即，由，，两式相减即可得到结果； ②在图1中，反向延长得到射线  ，由对顶角和角平分线的性质易得，于是，由（2）可知，进而，即；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得，即，由知，于是，将代入上式，化简即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ； （2）解：， ， 平分， ， 是直角，即， ， 故答案为：； （3）解：①．理由如下： 当旋转至题图2的位置时， 设，则， 平分， ， ， ，即， ， ， ， ； ②在图1中，．理由如下： 由已知，过点O的一条射线，使得恰好平分，反向延长得到射线，如图， 则平分， ， 又， ， ， 由（2）知，若，则， ， ，即； 在图2中，．理由如下： 平分， ， 又， ，即， 由①知，， ， ， ， 将代入，得， 整理得． 11．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．    (1)解决问题： 若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (2)探索问题： 当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______． ②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？ (3)知识迁移： 如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于 【答案】(1)线段的长度不发生变化，理由见解析 (2)①，；②6秒，或秒 (3)12 【分析】(1)先求出的长，根据中点定义得到，，再根据，即得； (2)①根据点A表示的数为，点P从点A以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，得到点P表示的数为：，根据点B表示的数为10，点从点以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，得到点表示的数为：；②点与点相距3个单位长度，分两种情况讨论：当点P在点Q左侧时，，解得，当点P在点Q右侧时，，解得，； (3) 设经过分钟后，钟表上的时针与分针的夹角从第一次转到，得到，解得． 本题主要考查了数轴上的动点，钟面角．解题的关键是熟练掌握动点表示的数，两点间的距离公式，时针与分针转动的角速度和转过的角度，列方程解答． 【详解】（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：    ∵点A、B在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∴点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①∵点A、在数轴上表示的数分别为和10， ∴在运动过程中，点表示的数为：，点表示的数为：， 故答案为：，； ②点与点相距3个单位长度，分两种情况： 当点在点左侧时，如图， ， 解得，    当点在点右侧时，如图， ， 解得，    综上所述，运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于， 则， 解得， ∴经过12分钟后，的度数第一次等于． 故答案为：12． 12．小天和小河一起通过创编数学题目考察对方解决问题能力．他们找到了一个基本图形设定相同的已知条件来创编：如图1，点A，O，B依次在直线上，点O为的中点． (1)小天创编了一道解答题，解答时要求写出求解过程和必要步骤，题目如下： 如图2，直线保持不动，将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度转动，设转动时间为t秒（）． ①当时，求的度数； ②在转动过程中，当射线与射线的夹角为时，求t的值． (2)小河创编了一道多项选择题，有多个选项符合题目要求，要求回答时，全部选对的得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．题目如下： 如果点C在线段上，且，，，则以下结论正确的是（    ） A．点C可能与点A重合    B．点C可能与点O重合 C．有理数x可能等于2    D．有理数x可能等于1 现在，请你解答他们创编的题目． 【答案】(1)①；②t的值为9或27； (2) 【分析】（1）①分别求出，，根据即可得解； ②由题意，，分两种情况讨论，当射线与射线重合前，，当射线与射线重合后，，再分别求解即可； （2）设为数轴，且A为原点，向右为正方向，根据题意可知：点C表示的数为，点O表示的数为，点B表示的数为，根据中点可知，可得，即可判断选项，再根据当点C与点A重合时，求出t，可判断选项，根据当点C与点O重合时，求出t，可判断选项． 【详解】（1）①解：当时，则，， ； ②解：由题意得：， 当射线与射线重合前， ， ， 解得：， 当射线与射线重合后， ， ， 解得：， 综上所述，t的值为9或27； （2）解：设为数轴，且A为原点，向右为正方向，如图， 点C在线段上，且， 点C表示的数为， ， 点O表示的数为，   ， 点B表示的数为， 点O为的中点， ， ， 整理得，， 为非负数，即， 故选项和选项正确，符合题意； 当点C与点A重合时，则， ， 故选项正确，符合题意； 点C可能与点O重合，则， ， 选项不正确，不符合题意； 综上，正确的结论有， 故选： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，几何动点问题，角的计算，线段的中点，数轴，绝对值的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 13.如图1，点O是弹力墙上一点，魔法棒从的位置开始绕点O向的位置顺时针旋转，当转到位置时，则从位置弹回，继续向位置旋转．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转． 第1步，从（在上）开始旋转至； 第2步，从开始继续旋转至； 第3步，从开始继续旋转至， …． 例如：当时．，，，的位置如图2所示，其中恰好落在上，；当时，，，，，的位置如图3所示，其中第4步旋转到后弹回，即，而恰好与重合． 根据以上材料，解决如下问题： (1)若，则度数是 ； (2)若，恰好与重合，求的值； (3)若，是否存在对应的值使？若存在，请求出对应的α值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析． （1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可； （2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出的度数即可； （3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出的度数即可． 【详解】（1）解：如图，当，，， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，∵，且， ∴， 由题可得：， 解得：； （3）解：如图，与都不回弹时， ，解得； 如图，当在的左边， ， ∴， ∴，解得：， 如图，当在的右边， 根据题意得：，解得：， 综上，对应的值是或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $