期末复习09一元一次方程及其解法讲义(知识梳理+题型精析+备考通关) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

该初中数学讲义通过表格框架系统梳理一元一次方程知识体系，涵盖方程定义、解法步骤等8大知识点，用核心要素拆解、标准形式归纳等方式呈现，突出等式性质与解法步骤的内在逻辑，形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础型合并同类项到复杂型去分母方程，搭配逆向应用求参数、含绝对值方程等延伸题型，培养运算能力与推理意识。典型例题示范完整解题步骤，易错点提醒助力精准突破，支持学生自主复习，也为教师分层教学提供实用资源。

期末复习09一元一次方程及其解法讲义 期末必备 知识点梳理 1.方程的定义 2.一元一次方程的定义 3.方程的解与解方程 4.等式的性质 5.一元一次方程的解法步骤 6.特殊形式的一元一次方程及解的情况 7.解方程的常见易错点 8.典型例题(完整解题示范) 常考题型 精讲精炼 1.判断:是否为一元一次方程 2.验证:是否为一元一次方程的解 3.解一元一次方程(基础型):合并同类项 4.解一元一次方程(进阶型):去括号 5.解一元一次方程(复杂型):去分母 6.逆向应用:已知方程的解,求参数 7.拓展分析:一元一次方程解的多种情况 8.延伸题型:含绝对值的一元一次方程 期末备考 题型通关 一.单选题(5) 二.填空题(5) 三.解答题(4) 【知识点01.方程的定义】 含有未知数的等式叫做方程。 *核心要素： ①必须是等式（用 “=” 连接）； ②必须含有未知数（通常用 x、y、z 等字母表示，一元一次方程中常用 x）。 示例：2x + 3 = 7（是方程），2x + 3（不是等式，不是方程），3 + 4 = 7（无未知数，不是方程）。 【知识点02.一元一次方程的定义】 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 *关键词拆解： *“一元”：仅含一个未知数（如只有 x，无 y、z 等其他未知数）； *“一次”：未知数的最高次数为 1（即未知数的指数是 1，如 x¹，通常省略指数写成 x，不含 x²、x³ 等）； “整式方程”：等号两边均为整式（整式是单项式或多项式，分母中不含未知数，如+2=3不是一元一次方程，因为分母含未知数）。 *标准形式：ax+b=0（其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0；若 a = 0，则方程变为 b = 0，无未知数或恒成立 / 不成立，不再是一元一次方程）。 *常见形式（非标准但需识别）：如 2x - 5 = 3x + 1、+1=4（可转化为标准形式）。 【知识点03.方程的解与解方程】 *方程的解：使方程等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解（一元一次方程有且只有一个解，特殊情况：当 a=0 且 b=0 时，方程有无数解；当 a=0 且 b≠0 时，方程无解）。 示例：方程 2x + 3 = 7 的解是 x=2（代入后左边 = 2×2+3=7，右边 = 7，两边相等）。 *解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【知识点04.等式的性质】 等式的性质是变形解方程的核心依据，需严格遵守： 性质 1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 *符号表示：若 a = b，则 a ± c = b ± c（c 为任意数或整式）。 *应用：移项（把方程中的某一项从等号一边移到另一边，改变符号）的依据，如方程 2x + 3 = 7，两边减 3 得 2x = 7 - 3（即移项后 3 变成 - 3 移到右边）。 性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 *符号表示：若 a = b，则 ac = bc；若 a = b 且 c ≠ 0，则=​。 *注意：除以的数不能为 0（0 不能作除数），如方程 3x = 6，两边除以 3 得 x=2；若方程 0x = 5，无意义（无解）。 补充性质 *对称性：若 a = b，则 b = a； *传递性：若 a = b，b = c，则 a = c。 【知识点05.一元一次方程的解法步骤】 解一元一次方程的核心思路：通过等式性质将方程逐步转化为 “x = 常数” 的形式，具体步骤如下（根据方程复杂程度可灵活调整）： 步骤 1：去分母（若方程中有分母） *操作：找到所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数，消去分母。 注意：①不要漏乘不含分母的项 ②分子是多项式时，去分母后要加括号 步骤 2：去括号（若方程中有括号） *操作：根据去括号法则（或乘法分配律）去掉括号： 括号前是 “+”，去括号后括号内各项符号不变； 括号前是 “-”，去括号后括号内各项符号改变； 括号前有系数，需将系数乘括号内每一项。 步骤 3：移项 *操作：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项要变号（+ 变 -，- 变 +）。 依据：等式性质 1。 步骤 4：合并同类项 *操作：将等号两边的同类项分别合并，把方程化为ax=b（a≠0）的形式。 步骤 5：系数化为 1 *操作：方程两边同时除以未知数的系数 a（或乘），得到 x =​。 依据：等式性质 2。 步骤 6：检验（可选但建议做，尤其复杂方程） *操作：将解得的未知数的值代入原方程，验证等号两边是否相等。 【知识点06.特殊形式的一元一次方程及解的情况】 根据标准形式ax+b=0（a、b 为常数），分三种情况： 1.当 a ≠ 0 时，方程有唯一解：x=− 2.当 a = 0 且 b = 0 时，方程变为 0 = 0，恒成立，有无数个解 3.当 a = 0 且 b ≠ 0 时，方程变为 0 = b（b≠0），矛盾，无解 【知识点07.解方程常见的易错点】 1.去分母时漏乘不含分母的项； 2.去括号时，括号前是负号或有系数，未正确变号或漏乘括号内项； 3.移项时忘记变号（如把 2x + 3 = x - 1 移项成 2x + x = -1 + 3，错误）； 4.系数化为 1 时，混淆乘除（如方程 3x = 6，错误地两边乘 3 得 x = 18）； 5.分母为小数时，未先转化为整数（如方程+1=3，应先将转化为=5x，再解方程）。 【知识点08.典型例题】 例：解方程−=1解： 1.去分母：两边乘 6（2 和 3 的最小公倍数），得 3 (3x + 1) - 2 (x - 1) = 6； 2.去括号：9x + 3 - 2x + 2 = 6； 3.移项：9x - 2x = 6 - 3 - 2； 4.合并同类项：7x = 1； 5.系数化为 1：x =； 6.检验：代入原方程左边 =−=−=+=1，右边 = 1，解正确。 【题型1.判断:是否为一元一次方程】 【典例】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行判断． 【详解】A．是一元一次方程； B．中，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程； C．中含有两个未知数，不是一元一次方程； D．中没有未知数，不是方程． 故选：A． 【跟踪训练1】若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义得到且，即可得到答案． 【详解】解：方程是关于x的一元一次方程， 且， 解得． 故答案为：． 【跟踪训练2】关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到且，求解即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 【题型2.验证:是否为一元一次方程的解】 【典例】写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的定义．一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．根据定义即可求解． 【详解】解：答案不唯一，如等． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪训练1】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 【跟踪训练2】整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 【题型3.解一元一次方程:合并同类项】 【典例】关于x的方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式基本性质，是解题的关键． 通过移项变形方程，将含未知数的项移到等式左边，常数项移到右边，并注意符号变化，判断即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， 即 ，与选项D一致； 选项A错误，因移项后应为减和7均未变号； 选项B错误，因移项后系数和常数符号均不正确； 选项C错误，因直接求解结果不正确且非变形过程， 故选：D． 【跟踪训练1】规定新运算“*”，对于任意有理数、都有．例如，，如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程，掌握新运算定义是解题关键．根据新运算的定义，将等式 转化为关于的一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 解得， 故答案为：． 【跟踪训练2】我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，．若x是大于3且小于4的有理数，且，则x的值为（    ） A．3.75 B．3.25 C．3.5 D．3.2 【答案】B 【分析】本题考查新定义计算，一元一次方程，理解新定义，能将所求问题转化为一元一次方程是解题的关键．由题意可知，x 在3和4之间，因此整数部分，将代入给定方程，并利用的关系，将方程转化为关于 x 的一元一次方程求解． 【详解】解：∵ x是大于3且小于4的有理数， ∴， 又 ∵， ∴， 即， 由，得， 代入方程：， 解得． 故x的值为3.25， 故选：B． 【题型4.解一元一次方程:去括号】 【典例】对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法．首先看清这种运算的规则，将转化为一元一次方程，通过去括号、移项、系数化为1等过程，即可求得的值． 【详解】解：由题意得：将可化为：， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：， 故答案为：3． 【跟踪训练1】若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，由，得到原方程的解为，且，则，即可解答． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， ∵， ∴原方程的解为，且， ∴． 故选A． 【跟踪训练2】对于方程，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的去括号法则，根据方程的去括号法则即可求解，掌握方程去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， ∴去括号得：， 故选：D． 【题型5.解一元一次方程:去分母】 【典例】解方程，下面去分母变形正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程的去分母步骤。方程两边同乘分母的最小公倍数6，去分母后得到等式. 【详解】解：方程： 两边同乘6： ∵, , , ∴ 即 ，与选项A一致. 其他选项B、C、D均变形错误， 故选A. 【跟踪训练1】已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程求整数解．熟练掌握含参数的一元一次方程求整数解是解题的关键． 通过求解方程得到的表达式，根据解为整数的条件，确定 为 5 的约数，从而求出整数 的值并求和． 【详解】解方程 ． 去分母，两边同乘 6得， 展开 整理 移项 解得 由于为整数，故是5的约数，即或． 当 时，； 当 时，（非整数，舍去）； 当 时，（非整数，舍去）； 当 时，． 因此满足条件的整数 为 1 和，它们的和为 ． 故答案为0． 【跟踪训练2】王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 先分别求出两个方程的解，然后根据方程①的解比方程②的解小4，列出方程，然后即可求解． 【详解】解：对于方程①：， ∵ 当 时，两边同乘6得 ，即，矛盾， ∴ ，即， 对于方程②： 移项得： ∴ 由题意，方程①的解比方程②的解小4，即， ， ， 解得， 因此，的值为2； 故选：C． 【题型6.逆向应用:已知方程的解,求参数】 【典例】关于x的一元一次方程有正整数解，则 （1）此方程的解为 （用含a的代数式表示）； （2）整数a的值为 ． 【答案】 1或 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）将方程化简，用含的代数式表示即可； （2）根据为正整数的条件，确定整数的可能取值即可． 【详解】解：（1）解方程， 展开得：， 移项得：， 合并得：， 解得：（其中）， 故答案为：； （2）由为正整数，且为整数，得 设，则，且为整数，， 由于，故，且为整数， 因此为5的正因数，即或， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，；当时，，均为正整数， 故整数的值为或． 故答案为：或． 【跟踪训练1】若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程求得，再整体代入方程，据此计算即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， 解得：， ∴方程为， ∵， ∴， 故选：B． 【跟踪训练2】已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查了一元一次方程的解．通过解方程得到关于的表达式，再根据为正整数确定的取值． 【详解】解：解方程， 移项得， 所以． 由于为正整数，且为整数，因此必须是5的正因数， 即或． 解得或． 当时，分母，方程无解，故舍去． 因此整数的值为4或8． 故答案为：4或8． 【题型7.拓展分析:一元一次方程解的多种情况】 【典例】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设 ，则关于y的方程化为：， ∵方程的解为， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪训练1】若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解一元一次方程，再根据其解为正整数解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 当，即时，方程的解是， ∵关于x的方程的解为正整数，a为整数， ∴或或或， ∴或或或， 所以满足条件的所有整数a值的个数是4， 故选：D． 【跟踪训练2】我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 【题型8.延伸题型:含绝对值的一元一次方程】 【典例】若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值方程的性质，将方程分为两种情况求解． 【详解】解：， 或， 当时，； 当 时，， 的取值为或 2， 故选： C． 【跟踪训练1】若，，为互不相等的偶数，满足，且，则使等式成立的的值为 ． 【答案】8或32 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，绝对值方程． 首先由条件且，，为互不相等的偶数，，求出，然后解方程，通过分类讨论得到的值即可． 【详解】解：∵为互不相等的偶数， ∴为互不相等的偶数， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， 当时，，，方程化为，解得； 当时，，，方程化为，无解； 当时，，，方程化为，解得； 故的值为8或32． 故答案为：8或32． 【跟踪训练2】已知为实常数，则下列结论正确的是（   ） A．关于的方程的解是 B．关于的方程的解是 C．关于的方程的解是 D．关于的方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据各个选项中的说法可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项A错误； B、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项B错误； C、在方程中，当时，为任意实数，当时，，当时，，，故选项C错误； D、在方程中，，故选项D正确； 故选：D． 一、单选题 1．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 【详解】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 2．方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．方程去分母得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 左右两边同乘12，去分母得：， 去括号得：， 题中的变形漏乘了不含分母的项． 故选：B． 3．若代数式与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，互为相反数的概念，根据相反数的定义，两个代数式的和为零，列出方程，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴， ， ∴， 故选：． 4．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 5．已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（  ） ①若，则； ②若的值与x的值无关，则； ③若，则； ④若关于y的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，准确理解参数的意义和利用绝对值的性质求解是解题的关键． 分别验证四个结论：①计算得，解得正确；②化简后与无关，得，，，正确；③化为，解得正确；④方程，为整数时m有，，，四个非负整数，错误． 【详解】，， ， 若，则， ，正确； ， ， 值与无关， ，， ，， ，正确； ， ， 即， 点到和距离和为，且， 当时等式成立，正确； ， 方程， ， 解为整数，则为的约数：，，， 为非负整数且， ，，，，共个，错误； 正确的个数有个． 故选：． 二、填空题 6．下列说法：①若，且，则是方程的解；②若，且，则是方程的解；③若，则；④若是一元一次方程，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查一元一次方程的定义、方程的解、解一元一次方程、绝对值，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义和性质，注意未知数的系数不为0． 检验每个说法的正确性：①将代入方程验证；②将代入方程验证；③考虑的情况；④根据一元一次方程的定义求的值． 【详解】解：①将代入方程，得，与已知一致，故此选项正确，符合题意； ②将代入方程，得，即，与已知一致，故此选项正确，符合题意； ③当时，若，方程无解，若，方程有无数解，不一定有，故此选项错误，不符合题意； ④方程是一元一次方程，则未知数的指数，且系数，解得或，但即，故，故此选项正确，符合题意； 故答案为：①②④． 7．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 8．我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】（）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值即可； （）分别求出方程的解，再根据“漂亮方程”的定义求出的值，然后把的值代入方程，解方程即可求解； 本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：（）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （）解方程，得， 解方程，得， ∵关于的方程与互为“漂亮方程”， ∴， 解得， ∴方程为， 解得， 故答案为：． 9．关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】本题考查了解绝对值方程，根据绝对值的代数意义，将实数轴按绝对值内表达式的零点（即和）分为三个区间：、和，在每个区间内去绝对值符号，求解方程，并验证解是否满足区间条件即可，熟练掌握绝对值的意义，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， 当时，方程化为， 此时解得； 验证：对于，总有，故解符合题意； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，该解不满足（当时，当时，当 时方程无解），故无解； 当时，方程化为， 此时解得， 验证：对于，总有，故解符合题意； 综上所述，方程的解为 或， 故答案为：或． 10．已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程求解，绝对值的性质等，掌握分情况讨论是解题的关键． 先根据方程求解出，根据方程的解为正整数确定可能的取值，由于为整数，可得出或，将代入，即可求解． 【详解】解： ， ， 方程的解为正整数， 且为的正整数倍， 且为整数， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：， 当时：（舍去）， 当时：，则，随着的减小，会增大，且为整数时，不是的倍数（舍去）； 即：或， 当时，， 当时，， 故答案为：． 三,解答题 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据方程特点灵活运用这些步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的一般步骤，移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． （2）解一元一次方程的一般步骤，去分母，去括号、去分母、移项、合并同类项、系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 12．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查方程的解，同解方程，熟练掌握方程的解的定义，解一元一次方程的步骤是解题的关键： （1）把代入方程，进行求解即可； （2）求出方程的解，再把解代入中，进行求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得：， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 解得：， 把代入，得：， ∴， 解得：． 13．（1）如果关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关，求的值． （2）若关于x的方程的解为整数，求所有满足条件的整数a的和． 【答案】（1）；（2）12 【分析】此题考查了整式加减中无关型问题，整式的化简求值，解一元一次方程，正确理解无关型问题的解题方法是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则计算，然后根据取值与x取值无关得含x系数为0求得a、的值，再化简要求的代数式并代入计算即可； （2）整理一元一次方程求解得出，然后根据题意求解确定a的值即可得出结果． 【详解】解：（1）根据题意得： ， ∵关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （2）， 整理得：，即， 解得：， ∵关于x的方程的解为整数， ∴或， 解得：或 ∴， ∴所有满足条件的整数a的和为12． 14．青一20年来对教育所秉持的温度与坚守，那些关于成长的动人故事背后蕴含着教育的答案，规定；对于若干个数，，，，，先将每两个数只作一次差，再将这些数差的绝对值进行求和，记作，若，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对于，3，4进行上述运算：，且，则，3，4为“校庆数组”． (1)已知数组，3，6，7，则_____； (2)已知数组，，5为“校庆数组”，求的值； (3)已知，，，分别是一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字（各个数位上的数字都是非负整数），且，对于，，，进行上述运算的结果取最大值时，求这个四位数． 【答案】(1)30 (2)或 (3)1199 【分析】（1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据数组，，5为“校庆数组”，得出，解绝对值方程即可； （3）根据，化简绝对值得出，从而得出当a、b取最小值，c、d取最大值时，的值最大，最后求出结果即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵数组，，5为“校庆数组”， ∴， 整理得：， 当时，，解得：； 当时，，此方程无解； 当时，，解得：； 综上分析可知：或． （3）解：∵， ∴ ， ∴当a、b取最小值，c、d取最大值时，的值最大， ∵a是千位数字， ∴a的最小值为1， ∴当，，，时，的值最大，即k取最大值， ∴这个四位数是1199． 【点睛】本题主要考查了绝对值意义，绝对值方程，解一元一次方程，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握绝对值的意义． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习09一元一次方程及其解法讲义 期末必备 知识点梳理 1.方程的定义 2.一元一次方程的定义 3.方程的解与解方程 4.等式的性质 5.一元一次方程的解法步骤 6.特殊形式的一元一次方程及解的情况 7.解方程的常见易错点 8.典型例题(完整解题示范) 常考题型 精讲精炼 1.判断:是否为一元一次方程 2.验证:是否为一元一次方程的解 3.解一元一次方程(基础型):合并同类项 4.解一元一次方程(进阶型):去括号 5.解一元一次方程(复杂型):去分母 6.逆向应用:已知方程的解,求参数 7.拓展分析:一元一次方程解的多种情况 8.延伸题型:含绝对值的一元一次方程 期末备考 题型通关 一.单选题(5) 二.填空题(5) 三.解答题(4) 【知识点01.方程的定义】 含有未知数的等式叫做方程。 *核心要素： ①必须是等式（用 “=” 连接）； ②必须含有未知数（通常用 x、y、z 等字母表示，一元一次方程中常用 x）。 示例：2x + 3 = 7（是方程），2x + 3（不是等式，不是方程），3 + 4 = 7（无未知数，不是方程）。 【知识点02.一元一次方程的定义】 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 *关键词拆解： *“一元”：仅含一个未知数（如只有 x，无 y、z 等其他未知数）； *“一次”：未知数的最高次数为 1（即未知数的指数是 1，如 x¹，通常省略指数写成 x，不含 x²、x³ 等）； “整式方程”：等号两边均为整式（整式是单项式或多项式，分母中不含未知数，如+2=3不是一元一次方程，因为分母含未知数）。 *标准形式：ax+b=0（其中 a、b 为常数，且 a ≠ 0；若 a = 0，则方程变为 b = 0，无未知数或恒成立 / 不成立，不再是一元一次方程）。 *常见形式（非标准但需识别）：如 2x - 5 = 3x + 1、+1=4（可转化为标准形式）。 【知识点03.方程的解与解方程】 *方程的解：使方程等号两边相等的未知数的值，叫做方程的解（一元一次方程有且只有一个解，特殊情况：当 a=0 且 b=0 时，方程有无数解；当 a=0 且 b≠0 时，方程无解）。 示例：方程 2x + 3 = 7 的解是 x=2（代入后左边 = 2×2+3=7，右边 = 7，两边相等）。 *解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 【知识点04.等式的性质】 等式的性质是变形解方程的核心依据，需严格遵守： 性质 1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 *符号表示：若 a = b，则 a ± c = b ± c（c 为任意数或整式）。 *应用：移项（把方程中的某一项从等号一边移到另一边，改变符号）的依据，如方程 2x + 3 = 7，两边减 3 得 2x = 7 - 3（即移项后 3 变成 - 3 移到右边）。 性质 2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等。 *符号表示：若 a = b，则 ac = bc；若 a = b 且 c ≠ 0，则=​。 *注意：除以的数不能为 0（0 不能作除数），如方程 3x = 6，两边除以 3 得 x=2；若方程 0x = 5，无意义（无解）。 补充性质 *对称性：若 a = b，则 b = a； *传递性：若 a = b，b = c，则 a = c。 【知识点05.一元一次方程的解法步骤】 解一元一次方程的核心思路：通过等式性质将方程逐步转化为 “x = 常数” 的形式，具体步骤如下（根据方程复杂程度可灵活调整）： 步骤 1：去分母（若方程中有分母） *操作：找到所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘这个最小公倍数，消去分母。 注意：①不要漏乘不含分母的项 ②分子是多项式时，去分母后要加括号 步骤 2：去括号（若方程中有括号） *操作：根据去括号法则（或乘法分配律）去掉括号： 括号前是 “+”，去括号后括号内各项符号不变； 括号前是 “-”，去括号后括号内各项符号改变； 括号前有系数，需将系数乘括号内每一项。 步骤 3：移项 *操作：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，移项要变号（+ 变 -，- 变 +）。 依据：等式性质 1。 步骤 4：合并同类项 *操作：将等号两边的同类项分别合并，把方程化为ax=b（a≠0）的形式。 步骤 5：系数化为 1 *操作：方程两边同时除以未知数的系数 a（或乘），得到 x =​。 依据：等式性质 2。 步骤 6：检验（可选但建议做，尤其复杂方程） *操作：将解得的未知数的值代入原方程，验证等号两边是否相等。 【知识点06.特殊形式的一元一次方程及解的情况】 根据标准形式ax+b=0（a、b 为常数），分三种情况： 1.当 a ≠ 0 时，方程有唯一解：x=− 2.当 a = 0 且 b = 0 时，方程变为 0 = 0，恒成立，有无数个解 3.当 a = 0 且 b ≠ 0 时，方程变为 0 = b（b≠0），矛盾，无解 【知识点07.解方程常见的易错点】 1.去分母时漏乘不含分母的项； 2.去括号时，括号前是负号或有系数，未正确变号或漏乘括号内项； 3.移项时忘记变号（如把 2x + 3 = x - 1 移项成 2x + x = -1 + 3，错误）； 4.系数化为 1 时，混淆乘除（如方程 3x = 6，错误地两边乘 3 得 x = 18）； 5.分母为小数时，未先转化为整数（如方程+1=3，应先将转化为=5x，再解方程）。 【知识点08.典型例题】 例：解方程−=1解： 1.去分母：两边乘 6（2 和 3 的最小公倍数），得 3 (3x + 1) - 2 (x - 1) = 6； 2.去括号：9x + 3 - 2x + 2 = 6； 3.移项：9x - 2x = 6 - 3 - 2； 4.合并同类项：7x = 1； 5.系数化为 1：x =； 6.检验：代入原方程左边 =−=−=+=1，右边 = 1，解正确。 【题型1.判断:是否为一元一次方程】 【典例】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若方程是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【跟踪训练2】关于x的方程是一元一次方程的条件是 ． 【题型2.验证:是否为一元一次方程的解】 【典例】写出一个解为的一元一次方程 ．（写出一个即可） 【跟踪训练1】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【题型3.解一元一次方程:合并同类项】 【典例】关于x的方程变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】规定新运算“*”，对于任意有理数、都有．例如，，如果，那么的值为 ． 【跟踪训练2】我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，．若x是大于3且小于4的有理数，且，则x的值为（    ） A．3.75 B．3.25 C．3.5 D．3.2 【题型4.解一元一次方程:去括号】 【典例】对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，已知，则 ． 【跟踪训练1】若，则关于的方程的解一定是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无解 【跟踪训练2】对于方程，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5.解一元一次方程:去分母】 【典例】解方程，下面去分母变形正确的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知关于的方程的解是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【跟踪训练2】王老师在如下所示的木板上写了两个关于x的方程，并解出方程①的解比方程②的解小4，则a的值为（   ） ①； ②． A． B． C．2 D． 【题型6.逆向应用:已知方程的解,求参数】 【典例】关于x的一元一次方程有正整数解，则 （1）此方程的解为 （用含a的代数式表示）； （2）整数a的值为 ． 【跟踪训练1】若关于x的一元一次方程有一个解为2025，则方程的解为（    ） A．1011 B．1012 C．1013 D．1014 【跟踪训练2】已知为整数，且关于的方程的解为正整数，则整数 的值为 ． 【题型7.拓展分析:一元一次方程解的多种情况】 【典例】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【跟踪训练1】1．若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有整数值的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练2】我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 【题型8.延伸题型:含绝对值的一元一次方程】 【典例】若为有理数且，则的取值是（    ） A． B． C．或2 D． 【跟踪训练1】若，，为互不相等的偶数，满足，且，则使等式成立的的值为 ． 【跟踪训练2】已知为实常数，则下列结论正确的是（   ） A．关于的方程的解是 B．关于的方程的解是 C．关于的方程的解是 D．关于的方程的解是 一、单选题 1．把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 2．方程，去分母得到了，这个变形（   ） A．分母的最小公倍数找错了 B．漏乘了不含分母的项 C．分子中的多项式没有添加括号，符号不对 D．正确 3．若代数式与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 5．已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（  ） ①若，则； ②若的值与x的值无关，则； ③若，则； ④若关于y的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．下列说法：①若，且，则是方程的解；②若，且，则是方程的解；③若，则；④若是一元一次方程，则．其中正确的结论是 ． 7．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是 ． 8．我们给出一种定义：如果两个一元一次方程的解的和为，那么我们就称这两个方程互为“漂亮方程”．例如：方程和互为“漂亮方程”． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则的值为 ． （）若关于的方程与互为“漂亮方程”，则关于的方程的解是 ． 9．关于的方程（k为常数，）的解为 ．（用含的代数式表示） 10．已知关于x的方程的解为正整数，且当时，恰好使取得最小值，则满足条件的整数a的值为 ． 三,解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．（1）已知是方程的解，求m的值； （2）方程的解与方程的解相同，求m的值． 13．（1）如果关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关，求的值． （2）若关于x的方程的解为整数，求所有满足条件的整数a的和． 14．青一20年来对教育所秉持的温度与坚守，那些关于成长的动人故事背后蕴含着教育的答案，规定；对于若干个数，，，，，先将每两个数只作一次差，再将这些数差的绝对值进行求和，记作，若，则称这组数据为“校庆数组”．例如，对于，3，4进行上述运算：，且，则，3，4为“校庆数组”． (1)已知数组，3，6，7，则_____； (2)已知数组，，5为“校庆数组”，求的值； (3)已知，，，分别是一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字（各个数位上的数字都是非负整数），且，对于，，，进行上述运算的结果取最大值时，求这个四位数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $