精品解析：广东省揭阳市真理中学2025-2026学年九年级上学期第二次综合训练数学试题

2025－2026学年度第一学期第二次综合训练 九年级数学试题 （考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 首先用分别表示3处研学地方，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小芳和小亮选择同一个地方研学的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：用分别表示3处研学地方， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小芳和小亮选择同一个地方研学的有3种情况， ∴小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为． 故选：C． 2. 下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据判别式判断有无实数根，再根据来判断两个根是否互为倒数． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，无实数根，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，属于中考常考题型． 4. 菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，线段的垂直平分线，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明是等边三角形，求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， 是等边三角形， 由作图可知， 故选：A． 5. 方程的一个根为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别把各选项代入方程，判断方程两边是否相等即可求解． 【详解】解：把代入方程得，， ∴是方程的解，故A符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故B不符合题意； 把代入得，， ∴不是方程的解，故C不符合题意； 把代入方程得，， ∴不是方程的解，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟记方程的解的定义是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角互余关系得出∠B=∠ACD，进而利用锐角三角函数关系得出即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， ∴sinB=， 故不能表示sinB的是． 故选B． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键． 7. 将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】解：从左边看，是一个长方形，长方形的中间有一条横向的虚线． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键． 8. 如图，中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦的定义求解． 【详解】解：在中，，，， 由锐角的余弦，得， 故选D． 【点睛】本题考查求锐角的三角函数值，解题的关键是掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边． 9. 下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A. 读一本书，已读的页数与未读的页数 B. 长方形的周长一定，长方形的长与宽 C. 圆的面积和半径 D. 平行四边的面积一定，它的底和高 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例的意义，掌握“两个相关联的量对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系”知识点是解题的关键．根据成反比例的意义，对选项逐一分析判定即可． 【详解】解：读一本书，已读的页数未读的页数总页数（一定），和一定，不满足成反比例的关系，故A选项错误； 长方形的周长一定，则长方形的长与宽之和一定，不满足成反比例的关系，故B选项错误； 圆的面积和半径满足公式，显然不满足成反比例的关系，故C选项错误； 平行四边的面积一定，则它的底和高的乘积一定，满足成反比例的关系，故D选项正确． 故选：D． 10. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 【答案】A 【解析】 【详解】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值． 【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴PE＝PC，PD＝PC， ∴PE＝PC＝PD， 设P（t，t），则PC＝t， ∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD， ∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t， 解得t＝6，∴P（6，6）， 把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利用频率估计概率可判断该结果发生的概率为． 【详解】解：根据某一结果出现的频率统计表，估计在一次实验中该结果出现的概率为， 故答案为：． 12. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故答案为：． 13. 在比例尺是的地图上，幸福路的长度约为，该路段实际长度约为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据比例尺的计算方法，图上距离比上实际距离等于比例（单位要统一），由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设路段实际长度为， ∴，解得，，即路段实际长度约为， ∴路段实际长度约为． 故答案： 【点睛】本题主要考查比例尺的实际运用，掌握比例尺的定义和比例的性质是解题的关键． 14. 如图，矩形中，是的中点，，，是线段上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后根据相似三角形的判定证出，最后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：矩形中，是的中点，，， ， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 在和中，， ， ，即， 解得， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 15. 如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为_____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键．先求出小正方形的边长，再由正方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：点、是线段的两个黄金分割点， ， ∵正方形习字格的边长为， ∴， ∴，即小正方形的边长为， ∴四个黄金分割点组成的小正方形的面积为， 故答案为：． 三、解答题一（每小题7分，共21分） 16. 老师在黑板上书写了一个方程，随后用手掌捂住了一部分，如图所示： （1）若所捂的值为，求的值； （2）若所捂住的是，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据题意可得，整理后，利用因式分解法解答，即可求解； （2）根据题意可得，整理后，利用因式分解法解答，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得，即， 或 解得：； 【小问2详解】 解：根据题意可得，即， 解得：． 17. 在某个滚珠游戏中，放入的滚珠随机落入如图所示的田字格中的某一格（每个格子只能容纳一粒滚珠）． （1）现放入一粒滚珠，这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为______； （2）若依次放入两粒滚珠，求这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式以及画树状图法求概率． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，现放入一粒滚珠，这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，有种等可能的情况，其中成对角线的情况有种，这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率为． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，坐标轴的单位长度为，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数（，）的图象交于点和点，与轴交于点和点，直尺的宽度为，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）若经过、两点的直线解析式为，当时，直接写出自变量的取值范围； （3）连结、，则的面积为________． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，函数与不等式的关系，比例系数的几何意义． （1）由图象确定出的坐标，然后将坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可求得反比例函数解析式； （2）先求得点的横坐标，然后根据图象求得即可； （3）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再计算，然后进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 将点坐标代入中，得：， ， 双曲线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 点的横坐标为4， 由图象可知，当时，或； 【小问3详解】 解：把代入，得， ， ，， ． 故答案为： 20. 如图，在中，，D是上任意一点，过点C作，垂足为E．连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若是的中点，且，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； （2）先根据线段中点的定义可得，由（1）可得，进而可得，于是可证得，然后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的中点， ∴， 由（1）可得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 景德镇瓷器举世闻名．某商家购入一批进价为30元/个的艺术瓷盘进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值； 销售单价x/元 ．．． 36 38 40 42 ．．． 日销售量/个 ．．． 64 62 60 58 ．．． （1）关于的函数表达式为_____．（不用写的取值范围） （2）艺术瓷盘销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且尽量兼顾顾客的利益？ 【答案】（1） （2） 40 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意列一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，，当时，， ∴设关于的函数表达式为， ， 解得，， ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：进价为30元/个，销售单价为元， ∴每个利润为元， ∴， 整理得，， 解得，， ∵尽量兼顾顾客的利益， ∴艺术瓷盘销售单价定为元． 五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出； 当米时，直线的解析式为， 当时，；当时，； 描点，， 直线的图象，如图中所示： 与函数图象没有交点， 不能围出面积为的矩形． （3）的值为8． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，一次函数和二次函数图象的交点问题． （1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为； （2）观察图象得到与函数图象没有交点，所以不能围出； （3）联立得，整理得，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得 ， ， ， ，， 另一个交点坐标为， 为，为， ，． 故答案为：；4；2； （2）略 （3）令， 整理得，， 一次函数与反比例函数的图象有唯一交点， ， ， ． 即一次函数与反比例函数的图象有唯一交点时，的值为8． 23. 综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． （1）过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． （2）如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1） 证明：如图， 设，交于点， 当，则有， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； （2）． 【解析】 【分析】（）设，交于点，当，则有，由四边形是矩形，得，所以，由，则，得，所以，证明，然后通过性质即可求证； 由知，，，所以，然后通过相似三角形性质即可求解； （）取的中点，连接，作，交于，所以，根据四边形是矩形，所以，，可证四边形是平行四边形，所以，由题意得点和点关于对称，，所以，则有，由知，，得，不妨设，，则，由勾股定理得，则有，从而得． 【小问1详解】 略 解：由知，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图， 取的中点，连接，作，交于， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点， ∴点和点关于对称，， ∴， ∴， 由知，， ∴， 不妨设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，矩形与折叠，轴对称的性质，同角的余角相等，平行四边形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期第二次综合训练 九年级数学试题 （考试时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 学校组织研学活动，提供了3处研学地方，小芳和小亮选择同一个地方研学的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 4. 菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 方程的一个根为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　） A. B. C. D. 7. 将一个长方体沿四条棱切割掉一个三棱柱后，得到如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 下面几组相关联的量中，成反比例关系的是（　　） A. 读一本书，已读的页数与未读的页数 B. 长方形的周长一定，长方形的长与宽 C. 圆的面积和半径 D. 平行四边的面积一定，它的底和高 10. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，计算了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格，则该结果发生的概率约为______（精确到0.1）． 试验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 12. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为______． 13. 在比例尺是的地图上，幸福路的长度约为，该路段实际长度约为_______ 14. 如图，矩形中，是的中点，，，是线段上的动点，则的最小值是___________． 15. 如图，借助正方形习字格书写汉字“数”，将正方形按照黄金分割的比例来分割（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）．若正方形习字格的边长为，则四个黄金分割点组成的小正方形的面积为_____．（结果保留根号） 三、解答题一（每小题7分，共21分） 16. 老师在黑板上书写了一个方程，随后用手掌捂住了一部分，如图所示： （1）若所捂的值为，求的值； （2）若所捂住的是，求的值． 17. 在某个滚珠游戏中，放入的滚珠随机落入如图所示的田字格中的某一格（每个格子只能容纳一粒滚珠）． （1）现放入一粒滚珠，这粒滚珠正好落入左上角的格子里的概率为______； （2）若依次放入两粒滚珠，求这两粒滚珠落入的两个格子正好成对角线的概率． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 四、解答题二（每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，坐标轴的单位长度为，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数（，）的图象交于点和点，与轴交于点和点，直尺的宽度为，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）若经过、两点的直线解析式为，当时，直接写出自变量的取值范围； （3）连结、，则的面积为________． 20. 如图，在中，，D是上任意一点，过点C作，垂足为E．连接并延长交于点F． （1）求证：； （2）若是的中点，且，求的度数． 21. 景德镇瓷器举世闻名．某商家购入一批进价为30元/个的艺术瓷盘进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值； 销售单价x/元 ．．． 36 38 40 42 ．．． 日销售量/个 ．．． 64 62 60 58 ．．． （1）关于的函数表达式为_____．（不用写的取值范围） （2）艺术瓷盘销售单价定为多少元时，所获日销售利润为600元且尽量兼顾顾客的利益？ 五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为的矩形宣传展板（如图1）．展板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为米． 【问题提出】 同学们提出：若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？ 【问题探究】 小明的分析方法：设米，米． 由展板面积知，则可视为反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知，则可视为一次函数的图象在第一象限内点的坐标． 同时满足这两个条件的就是两个函数的交点坐标． 如图2，双曲线与直线的交点坐标为和 ，因此，木条总长10m时，能制作出两种不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：或______m，______m． （1）根据小明的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一次函数的图象，并说明理由． 【问题延伸】 （3）小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宣传展板问题”可以转化为“双曲线与直线在第一象限内交点的存在问题”．若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长的值． 23. 综合探究 如图，在矩形中，，动点在边上，连接． （1）过点作交于， 当，求证：； 当时，求的值（用含的代数式表示）． （2）如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $