精品解析：安徽省安庆市岳西县五校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

岳西2025-2026九年级12月月考试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 点在二次函数图象上，的最大值是（ ）． A. 3 B. C. D. 3. 已知二次函数的顶点，与轴的一个交点在和之间不含端点，如图所示，有以下结论：；；；方程有两个相等的实数根其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（  ） A. B. C. D. 5. 已知点 都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 7. 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 8. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”) 12. 如图，在四边形中，，，，设的长为x，四边形的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ___________． 13. 如图，在中，，，点P从点A出发，沿着边向点C以的速度运动，点Q从点C出发，沿着边向点B以的速度运动．如果P与Q同时出发，那么经过_____秒和相似． 14. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 16. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 17. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使它与关于轴对称： （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； （3）设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 18. 已知抛物线． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）取何值时，？ 19. 某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）求与之间的函数解析式． （2）求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． （3）年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 21. 设二次函数（a，b是常数） （1）当时，函数y的图象经过点，求该函数的表达式． （2）当时，求函数y的最小值． （3）若该函数的图象经过点，点，比较，的大小． 22. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 23. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示： 销售量n（件） n=50﹣x 销售单价m（元/件） 当1≤x≤20时，m=20+x 当21≤x≤30时，m=10+ （1）请计算第15天该商品单价?； （2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式； （3）这30天中第几天获得的利润最大；最大利润是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳西2025-2026九年级12月月考试卷 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 2. 点在二次函数图象上，的最大值是（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求二次函数的最值，把代入得出，再得出的表达式，将其化为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 故选：C． 3. 已知二次函数的顶点，与轴的一个交点在和之间不含端点，如图所示，有以下结论：；；；方程有两个相等的实数根其中结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：开口向下，即，顶点，则该二次函数的对称轴为直线，即，抛物线与x轴有两个交点，则有，故①正确； ∵对称轴为直线，且与轴的一个交点在和之间不含端点， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标在和之间不含端点， ∴由函数图象可知：当时，则，故②正确； 当时，则有，故③正确； 由方程可变形为，即可看作方程的解是直线与二次函数交点的横坐标，由题意可知：该方程的解有两个相等的实数根，故④正确； 故选D． 4. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，求出的坐标，顶点式，求得二次函数的解析式即可． 【详解】解：如图，∵对应的两条抛物线关于轴对称，， ∴， ∵轴，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设右轮廓所在抛物线的解析式为，把，代入，得：， ∴右轮廓所在抛物线的解析式为； 故选B． 5. 已知点 都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质成为解题的关键． 根据反比例函数图象的性质的增减性解答即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴该函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大， ∵， ∴． ∴． 故选：D． 6. 如图，点，在矩形的边，上，矩形矩形．①若四边形是正方形，则点是线段的黄金分割点．②若，则矩形矩形．上述命题，（　　） A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确②错误 D. ①错误②正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，矩形的性质，相似多边形的判定和性质．①正确，证明即可；②正确，设，则，利用相似多边形的性质求出，可得结论． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴点F是线段的黄金分割点，故①正确； ②∵， ∴可以假设，则， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴矩形与矩形全等， ∴矩形与矩形相似，故②说法正确， 故选：A． 7. 如图，在平行四边形中，，分别是边，上的点，连接，，它们相交于点，延长交的延长线于点，则图中的相似三角形共有（ ） A. 对 B. 对 C. 对 D. 对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有4对； 故选C． 8. 如图，在中，点、分别在边、上，则下列条件中：；②；；，能使得以，，为顶点的三角形与相似的条件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴当添加时，则根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定，故①符合题意； 当添加可判定，故②符合题意； 当添加时，可根据“两组对应边成比例，且它们的夹角也相等的两个三角形相似”判定；故③符合题意； 当添加，即，不能判定这两个三角形相似，故④不符合题意； 故选C． 9. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 10. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：点，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即，或者，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为_____．(填“”、“”或“”) 【答案】< 【解析】 【分析】由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可. 【详解】当时，， 当时，， ， 即， 故答案为 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键. 12. 如图，在四边形中，，，，设的长为x，四边形的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】过作与点，设，则，根据等角的余角相等得到，易证得，所以，，得到，在中，根据勾股定理得到，所以有，即；根据四边形的面积三角形的面积三角形的面积，即可得到． 【详解】解：过作于点，如图， 设，则， ，， ∴， ， 而，， ∴， ，， ， 在中，由勾股定理得， ，即， 又四边形的面积三角形的面积三角形的面积， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理、函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是三角形全等的判定与性质． 13. 如图，在中，，，点P从点A出发，沿着边向点C以的速度运动，点Q从点C出发，沿着边向点B以的速度运动．如果P与Q同时出发，那么经过_____秒和相似． 【答案】或 【解析】 【分析】设经过x秒和相似，先求出，，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当与是对应边时，②当与是对应边时，分别列方程求解即可． 【详解】解：设经过x秒，两三角形相似，则，，①当与是对应边时， ， 即， 解得：秒； ②当与是对应边时， ， 即， 解得：秒； 综上所述：经过秒或秒，两个三角形相似， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，以及解一元一次方程；表示出边，的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 14. 如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，利用位似图形面积比为相似比的平方即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴， ∴四边形与四边形的面积比为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中）． （1）当m为何值时，y是x的二次函数？ （2）当m为何值时，y是x的一次函数？ 【答案】（1）2 （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得 且， 解得， 即当时，y是x的二次函数； 【小问2详解】 ①当且时，即时，y是x的一次函数； ②当且时，y是x的一次函数， 解得； ③当且时，y是x的一次函数， 解得； 即当为或或时，y是x的一次函数． 【点睛】本考查了二次函数和一次函数的定义，熟练掌握二次函数和一次函数的定义是解题的关键． 16. 抛物线经过点A(3,0) 和点B（0,3）,且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C. （1）求抛物线的解析式； （2）连接AB、AC、BC，求△ABC的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用割补法求△ABC的面积. 【详解】（1）抛物线经过、 由上两式解得 抛物线的解析式为：； （2）由（1）抛物线对称轴为直线 把代入，得 则点坐标为， 设线段所在直线为： 解得解析式为： 线段所在直线经过点、 抛物线的对称轴于直线交于点 设点的坐标为 将点代入，解得 点坐标为， 过点作于点 【点睛】本题考查二次函数待定系数法、用割补法求三角形面积，解答时注意数形结合. 17. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出，使它与关于轴对称： （2）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，且与的相似比为； （3）设点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是________． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）所作如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形与坐标及位似，熟练掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于x轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据位似的性质可进行作图； （3）根据位似的性质可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知：点为内一点，则依上述变换后点在内的对应点的坐标是； 故答案为． 18. 已知抛物线． （1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴； （2）取何值时，？ 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴是直线 （2） 或 【解析】 【分析】本题考查了用配方法将二次函数的一般式化为顶点式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）根据配方法可以将抛物线化为顶点式，然后即可写出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）令求出的值，然后根据二次函数的性质，即可写出取何值时，． 【小问1详解】 解：， 该抛物线的顶点坐标为，对称轴是直线； 【小问2详解】 解：， 该函数图象开口向下， 当时，，得，， 当或时，． 19. 某公司在年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润（万元），与销售时间（月份）之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． （1）求与之间的函数解析式． （2）求几月份该公司所获得的利润恰好为万元． （3）年月份该公司所获得的利润是多少万元？ 【答案】（1） （2）月份 （3）万元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一元二次方程，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． （1）先确定二次函数的顶点坐标为，设顶点式，再将点代入即可求解； （2）代入，求解即可； （3）将代入，求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知二次函数图象过点，， 则二次函数的对称轴为直线， 结合二次函数图象过点， 则二次函数的顶点坐标为， 设与的函数解析式为． 将点代入， 得， 解得：， 与之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 月份该公司所获得的利润恰好为万元； 【小问3详解】 解：将代入， 得， 年月份该公司所获得的利润是万元． 20. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C．连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题及三角形的面积，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点A坐标分别代入反比例函数及一次函数的解析式即可解决问题． （2）根据求出点B和点C的坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，将点A坐标代入得，， 所以反比例函数的解析式为． 将点A坐标代入得，， 所以一次函数的解析式为． 【小问2详解】 因为，且轴于点D， 则将代入得，， 所以点B的坐标为． 同理可得，点C的坐标为． 又因为点A坐标为， 所以． 21. 设二次函数（a，b是常数） （1）当时，函数y的图象经过点，求该函数的表达式． （2）当时，求函数y的最小值． （3）若该函数的图象经过点，点，比较，的大小． 【答案】（1） 或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，比较函数值的大小，将函数正确整理变形是解题的关键． （1）将，点代入函数解析式中即可求解； （2）将代入整理后，得，令，然后根据函数的性质回答即可； （3）将两点的坐标代入函数解析式，整理后比较大小即可． 【小问1详解】 解：当时，， 把点代入解析式，得， 解得，或， 或； 【小问2详解】 当时，， ， 令，则， ， 当，即时，函数的最小值为， 函数的最小值为； 【小问3详解】 分别将点，点代入函数解析式整理，得 ，， ，， ， ． 22. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】（1）米 （2）变短了，变短了米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 23. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示： 销售量n（件） n=50﹣x 销售单价m（元/件） 当1≤x≤20时，m=20+x 当21≤x≤30时，m=10+ （1）请计算第15天该商品单价?； （2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式； （3）这30天中第几天获得的利润最大；最大利润是多少． 【答案】（1）10或28天；（2）；（3）15天时，最大利润为612.5元. 【解析】 【分析】（1）分别把m=25代入m=20+x、求的x值即可； （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可； （3）分别计算两种情况下最大值问题即可． 【详解】解：（1）①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+ x，解得x=10； ②当21≤x≤30时，，解得x=28.经检验x=28是方程的解. 答：第10天或第28天时该商品为25元/件． （2）①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+ x﹣10）（50﹣x）=﹣x2+15x+500， ②当21≤x≤30时， 综上所述：. （3）①当1≤x≤20时，由y=﹣x2+15x+500=-（x-15）2+ ∵a=＜0， ∴当x=15时，y最大值=， ②当21≤x≤30时，由， 可知y随x的增大而减小， ∴当x=21时，y最大值=580元.∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 【点睛】本题考查二次函数；反比例函数；一次函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $