重庆市第一中学校2025-2026学年高二上学期12月期中考试数学试题

秘密★启用前 【考试时间：12月12日8：00一10：00】 重庆一中高2027届高二上期半期考试 数学试题卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.方程√(x-1)2+y2+V(x+1)2+y2=4表示的曲线为() A.线段 B.椭圆 C.双曲线 D.不表示任何图形 2.双曲线x_上=1的焦点到它的渐近线的距离为() 8 A.1 B.2 C.2W2 D.3 3.己知曲线f(x)=x+alnx在点(L,1)处的切线与直线3x-y+1=0垂直，则u的值为 () A.3 B. 3 C.、3 D.- 3 4.已知等差数列an}的前n项和为Sn,若S1<0,a,+a。>0,则当Sn取得最小值时，n= () A.4 B.5 C.6 D.7 5.已知数列10g,a}是公差为-1的等差数列，则0-2=（） 4g-410 8.1 C.2 D.4 8已如猪四C若茶=ab>0的东顶点为4，点P0均在e上且关于y打对称若有 线4P,40的斜率之积为2，则椭圆C的离心率为（) 3 A. c.25 2W2 3 3 3 3 7.己知椭圆+y d a-5 =1的两个焦点为F,E,过原点的直线与该椭圆交于A,B两点，若 AB=25，△4RE的面积为4，则△4FE,的周长为() A.12 B.6+2W5 C.2+2W5 D.6 8.数列{an}满足a= 52-00ue),若a+a4,*aa,4++44as 3 n+1 a,+n 6 成立，则正整数n的最大值为() A.4 B.6 C.8 D.10 二、多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.已知直线1：(+1)x+2y-1+m=0(m∈R),圆C:(x+2)+y2=4,则下列结论正确的是 () A.直线1和圆C总有公共点 B.直线1被圆C截得的最短弦长为2√2 C.若圆C与圆：x2+y2-2x+8y+a=0有且只有一条公切线，则实数a=8 D.当=0时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 10.已知直线1与抛物线C:x2=2y相交于M,N两点，C的焦点为F,O为坐标原点，则 下列结论正确的是() A.若直线I过焦点F,则∠MON为钝角 B.若MF=2FN,则直线N的斜率为± 3 C.若OM⊥ON,则直线1过定点(0,2) D.若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为3 4 11.将数列{a}所有项排成如下数阵： 9 a, 4 44 a 6 a a … 从第二行开始每一行比上一行多两项，且从左到右均构成以2为公比的等比数列，第一列数 a,42,4,4o,…成等差数列，若a=2,4o=8,则下列结论正确的是() A.a=-1 B 2a=18 C.a2024位于第45行第89列 D.4048在数阵中出现1次 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.己知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S,=2,S。=6,则S,= 13.若直线y=x+b与曲线y=e+(a,b∈R)相切，则4-b= 4双曲线C为=1(a>0,6>0的右焦点为2.0，若在圆M:(x+2+0y-4 上存在点P,使得PF,的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是」 四、解答题。本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)如图为正四棱锥P-ABCD,O为底面ABCD的中心.OP=4,AP=2√5. (1)求点B到平面PCD的距离： (2)若E为PB的中点，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值. 16.(本小题满分15分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点M(x,1),其焦点为F,若 MF =1. (1)求x,的值以及抛物线C的方程： 2过点P斜率为k( ≤k≤1)的直线交抛物线于A,B两点，求△ABM面积的范围. 2 17.(本小题满分15分)己知数列{a}满足4=6，a1=2a+2+2(neN) (1)证明：数列 }为等差数列，并求数列{a}的通项公式： (2)设b= n+)a, 记数列{bn}的前n项和为Sn. 2n+1 (I)求Sn; m若ne,(1-)S.-m-3H<0,求m的取值范围 21n 18.(本小题满分17分)若一个数列{a}满足{an1-an}是公比为q的等比数列，则称数列{a,} 是公比为q的二级等比数列.如数列：1,3,7,15,31,63.，此数列是公比为2的二级等 比数列.已知数列{a}中，41=2,4=26 (1)记Sn为数列{a}的前n项的和，且an1=Sn+m+2.求数列{a}的通项公式，并判断数 列{a}是否为二级等比数列，请说明理由： (2)若数列{a}是公比为3的二级等比数列，是否存在实数m,n∈N,使得 180014.<18002 60004m 6000 ？若存在，求出m,n;不存在，请说明理由. 电C本小愿满分17分)已知双曲线C名1a>0,b>0)的新近线方释为=±x 且过点A(3,5).按照如下方式依次构造点A(n∈N):过A作斜率为k(k为常数且k>1) 的直线与C的下支交于点Bn,令A1为Bn关于x轴的对称点，记A的坐标为(c,y): (1)若k=3,求A,的坐标(x2,2): (2)证明：数列 xnyn 是等比数列，并求其公比（用k表示）： xn+yn」 (3)设Sn为△A,A1A+2的面积，证明：对任意正整数n,Sn为定值. 重庆一中高2027届高二上期半期考试 数学参考答案 一、单项选择题：BCDC AABD 7【详解】描 a7+a2-5 =1的焦点在x轴上，c=Va2-(a2-5)=V5,所以该椭圆的焦距为2√5： 又直线AB过原点O,且A=2W5,由对称性知四边形AFBR为矩形，故△M的面积为b2tam45°=4， 则b=2,故a=3,所以△AFF的周长为2a+2c=6+2W5故选：B. &【详解】因为数列a满足片器产。可得出-号机 and an 可得数列 是首项为3，公差为1的等差数列，则”=3+n-1=n+2,即a,=八 a a *2则 a10243…0n=2× x2xxn” 2 3451 “n+1n+2( %2可2a), n+2 因为41+a142+a1a243+…+a1a2…an≤二，解得n≤10，即所求n的最大值为10.故选：D. 6 二、多项选择题：9.ABD10.ACD 11.AB 9.【详解】对于A,直线1的方程为(m+1)x+2y-1+m=0(m∈R),变形可得：m(x+1)+x+2y-1=0,令 [x+1=0 x=-1 (x+2y-1=0'解得 =1，所以直线恒过定点P(-),且点P在圆C内，故A正确， 对于B,因为直线过定点P(-1,1),且点P在圆C内，则经过P(-1,1),C(-2,0)两点的直线与直线1垂直时， 直线1被圆C截得的弦长最小，此时圆心C到直线1的距离为d,=CP=V瓦， 所以最小弦长为2√P2-d巧=2V2,故B正确： 对于C,圆的方程x2+y2-2x+8y+a=0,即(x-1)+(y+4)=17-a,其圆心为(1,4)，半径为V17-a, 需满足a<17,若圆C与圆x2+y2-2x+8y+a=0有且只有一条公切线，则两圆内切，则有 V1+2)2+(-4-0=人7-a-2解得a=-32,故c错误。 对于D,圆C:(x+2)+y2=4,其圆心为C(-2,0),半径为r=2,当m=0时，直线1的方程为x+2y-1=0, 1 圆心C(-2,0)到直线1的距离为d,= 上2+0-1_35 +2京5，由于r-d=2-5<1,所以圆上恰有2个点到 5 线的距离为1，故D正确：故选：ABD, 10.【详解】对于A,联立方程可得OMON<0,故应为钝角，A正确； 对于B,因为M正=2，所以直线MW过焦点F,且MF=2FN,设直线MN的倾斜角为B,当M在第 一象限时，如图，过点M,N分别向准线作垂线段MA,NB,过点N向MA作垂线段ND,设FW=m, 则W=3m,W8=m,=2m,则MD=m,si血6==cos8=22 3 2,m9=，当M在 第二象限时，同理可得a0=-三，所以直线0w的斜率为±三，故B错误： 4 4 对于C,因为直线MN,OM,ON的斜率必存在，设直线MN的方程为y=:+b, M(:,y),N(2),联立方程 =2%消去y得x-2-2b=0,则 (y=kx+b,' △=4k2+8b>0,为+x2=2k,x2=-2b,因为OM⊥ON,所以 kowka=业=华=-2边=-1，解得6=2，满足△>0，所以直线Mw过定点0,2，故c正确： x344 对于D,因为线段0F的垂直平分线为y=子，所以△M0F外接圆圆心的纵坐标为子，所以外接圆半径为 计号-子故D正确放选：AD 11.【详解】对于选项A,由第一列数a,42,45,a10,…成等差数列，记为{bn}.设公差为d,又由b=a2=2, b,=ao=8,解得：b=-1,d=3,则第一列的通项公式为b=-1+(飞-1)×3=3k-4.又从第二行开始每 一行比上一行多两项，且从左到右构成以2为公比的等比数列， 9 可得， ,a,=-1+2+4+8+5+10+20+40+80=168故A,B正确. fel 又因为每一行的最后一个数为4，a4,4,416,,且452=2025，可得a2025在第45行的最后一列，因为这一 行共有2×45-1=89个数，则a2024在第45行第88列，所以C错误. 对于选项D,由题设可知第1行的第j个数的大小为(31-4)×2~， 令(3i-4)×2H=4048=253×24,若=1，则(31-4=4048无整数解：若=2，则(3i-4)=2024得i=676 若=3，则3i-4)=1012无整数解：若=4，则(3i-4)=506,得i=170若=5，则(3i-4)=253,无整数解： 2 故出现2次，D错误.故选：AB 三、填空题： 12.14 13.-1 14 14.【详解】设P(飞，)为圆M上一点，得到P5的中点Q+2,为，求得%=±色化，+2)，结合直线 2’2 y=主2x+2)与圆M有公共点，得到上52得e≥ b 5 a 四、解答题： 15.解：(1)取CD的中点F,连PF因为△PCD为等腰三角形，所以PF⊥CD △POD中由勾股定理得0D=2,CD=V20D=2W2,DF=√2 △PFD中由勾股定理得PF=3V2.…2分 3=号CDxPF=2x2N2x32=6.4分 B 设点B到平面PCD的距离为d. 由等体积法可得：7E微-o=PEn-nx(×2V反x2N2)x4=x6d→d 3 36分 (2)如图以O为原点，以OB为x轴，以O元为y轴，以OP为z轴，建立0一为z直角坐标系 每个点的坐标如下： A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(-2,0,0),E(1,0,2). DE=(3,0,2)8分 设平面PBC的法向量为n=(x,y,2), BC=(-2,2,0)nBF=（-2,0,4), [nBC=-2x+2y=0.∫x=y 取z=1, n-B肠=-2x+4z=0“x=2z E 则x=2,y=2.n=(2,2,1)…11分 设直线DE与平面PBC所成的角为O, D元.n 则sin0= 3×2+2×0+1×28V13 DE,园 13分 V9+4V4+4+1 39 3 16.解：(1)MF=1,x+=1 2 M点坐标代入抛物线方程得2Px,=1, 1 解方程组得，名一2卫=1. .抛物线方程为y2=2x5分 (2)F(,0), 设直线B:x=+ 英中：=克因号5ks1,做e肌v 1 2 直线AB与抛物线联立得：y2-2y-1=0 由韦达定理得： y+y=2t y2=-1’ 8分 AB=x+x2+p=(+2)+2=22+2 由点到直线的距离公式得dM→B= +e +e 又wdau-0+2小e=iF=Fo*5.一u分 令m=2(m∈[l,2)换元得：SMBw=Vm1+m),m∈[l,2] 所以SB∈[N2,V6]…15分 17.解：国由a4=2a+2,2器-是=2。 则数列侣}是以号=3为首项，2为公差的等差数列，…2分 则2=3+0n-0-2=2n+1, 所以数列{a}的通项公式为an=(2n+1)2”4分 (2)6,=0+0a=”+2m+10-2"=0m+102 2n+12n+1 ()Sn=22+322+42+…+n2-+0m+102”. 于是2Sn=22+32+42+…+n2+(m+1)2, 则-Sn=2·2+22+23+…+2”-(n+1)2m+ A =2'+22+23+…+2"-(n+1)2m++2 _20-2）-0a+0-2+2=-2+2-0+0-2+2=m-2, 1-2 所以Sn=n219分 (四meN,(1-)3,-m31<0,即(1-1)n-2-m31<0. 2n 2n 分离参数得：m>22m-卫=白n2”1,咖eN. 3+1 2 令0，=月221，则m>e, 2 -21-2头1=5-2 2231 3 ∴n=1,2时，Cnt1>Cn；n=3,4,5,…时，Cm1<Cn 40 4 (c.m=6=87,所以m> 715分 18.解：(1)令n=1代入an=Sn+tm+2,.a2=S1+t+2=4+t n=2代入a1=Sn+tm+2得a3=S2+2t+2=8+3t.8+3t=26→t=62分 .a2=10.故ant1=Sn+6n+2.n22时，an=Sm+6(n-1)+2 两式作差得：a+1=2an+6由待定系数法可得：a+1+6=2(an+)（n≥2) 又a2+6=16=2(a1+6)..neN时，anm1+6=2(an+6) 即数列{an+6是等比数列，首项为8，公比为2. .an+6=8×2m1=2mt2→an=2+2-6.6分 所以马1-8=29-2+222 a,一a22-2时-2m=2,故数列{包，}是公比为2的二级等比数列.…8分 (2)数列{a,}为公比为3的=级等比数列：.8，二=3→4，=8 a2-a1 {al-a}是首项a2一41=6公比为3的等比数列.a+1-an=6×3m=2×3”10分 5 a2-41=2x3 4-42=2×32 +040t40440。 累加得：0，-4=2×(3+32+32++3m)=2×30-3)=3”-3 1-3 an-01=2×3" 所以0n=3”-1…13分 180013”-118002 ,m,n∈N' 60003m-16000 3”-1 >3>1→n>m∴.n-m21① 3m-1 4=3”-1-3-3-0+3-1-3+3”-1<1802<43-1>03m<4 am 3m-1 3m-1 3m-16000 3m-1 18001 <3+ 218002 由①及m,n∈N',故n-m=1.原不等式可化为： 6000 3m-16000 解得：6001<3m<12001m∈N.m=8→n=m+1=917分 19.解：渐近线为y=土x,∴a=b.又过点A(3,5),代入双曲线的方程得， 3-9=1÷a=b=4 即双曲线的方程为y2-x2=16 (1)k=3,过4(3，)对应的直线方程为y=3x-4,与双曲线联立得： 8x2-24x=0∴.x=0或x=3（舍去). x=0代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点B(0,-4).A,2(0,4)4分 (2)过An斜率为k直线为：y-yn=k(x-xn),与双曲线y2-x2=16联立得： (k2-10x2+2k(0yn-an)x+0yn-an)2-16=0 由韦达定理得x,+x1=-2C一c) k2-1 2g--x,=+2. k2-1 k2-1 将x代入直线方程，并取相反数得 人1=-收+以-版)=-众1-以+低=-k《+D2-以+欣，=公+业二26 k2-1 k2-1 6