山西省运城市稷山县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年山西省运城市稷山县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一元二次方程的解是(    ) A. B. ， C. ， D. ， 2.下列命题中是真命题的是(    ) A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 3.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为0 4.鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比均为黄金比比值为，是自然界最美的鬼斧神工.如图，P是AB的黄金分割点若，则(    ) A. B. C. D. 5.如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时.小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是(    ) A. B. C. D. 6.如图，菱形ABCD中，点O为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为(    ) A. 平行四边形正方形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形矩形菱形 C. 平行四边形矩形平行四边形菱形 D. 平行四边形菱形正方形矩形 7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，若9月份、10月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同.则月平均增长率为(    ) A. B. C. D. 8.一元二次方程可配方成的形式.则的值为(    ) A. B. C. 5 D. 9.如图，将一个矩形纸片ABCD沿AD，BC的中点E，F的连线对折，若对折后的矩形AEFB与原矩形ABCD相似，则AE：(    ) A. B. C. 1：2 D. 10.如图，点E是正方形ABCD边AB上一动点，连接CE，，交BC边于点F，点H在正方形ABCD外，，且，连接AH，已知，则(    ) A. 8 B. C. 10 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段BC的长为        12.在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有        个. 13.如图，中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图的菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则EF的长为        . 14.如图，边长为10cm的正方形纸片ABCD，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形.再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点.且此长方体盒子的表面积为，其中，若设AE的长为x cm，则可列方程为        . 15.如图，在四边形ABCD中，，，，，点E在边AB上，，连接CE，且点F在BC的延长线上，连接DF，若，则线段CF的长为        . 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 解方程： ； 17.本小题9分 定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍.则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，已知给定矩形的长和宽分别为3cm和求它的“加倍矩形”的长和宽. 18.本小题7分 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为1：2，若的面积为 写出一条有关相似三角形的性质______. 求的面积. 19.本小题10分 某超市购进一批优质水果，进价为每箱100元.调查发现，当销售单价为每箱170元时平均每天能售出80箱，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20箱. 填空：设每箱降价x元，实际售价为______元/箱，平均每天售出______箱用含x的代数式表示； 若超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，且要尽快减少库存，求每箱应降价多少元？ 20.本小题9分 某市中考，期中的体育考试规定：九年级男生考试项目有A、B、C、D、E五类：其中A：1000米跑必考项目；B：一分钟跳绳；C：掷实心球；D：立定跳远；E：坐位体前屈，再从B、C、D、E中各选两项进行考试. 若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，求男生甲选中项目E的概率. 若甲、乙两名九年级男生在选项的过程中，第一次都是选了项目E，求他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率是多少？ 21.本小题10分 阅读与思考 用构图法解关于一元二次方程的解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为然后画四个长为，宽为x的矩形.按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：据此易得原方程的一个正数根为 参照上述图解一元二次方程的方法，解方程，填写下面横线上的内容. 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为 大正方形的面积为______. 大正方形的边长为______. 正数______. 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______从序号①②③中选择 一般地对于形如：的一元二次方程可以构造图来解，已知图是由4个宽为x，长为，这4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，求a，b，并求出正数x的值. 22.本小题10分 综合与实践 四边形的旋转 如图在矩形ABCD中，，，E，F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接AC，则A、G、C三点在同一条直线上. ______； 当矩形AEGF绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，AG与AC不在同一条直线上，通过证明∽，求BE与CG之间的数量关系； 当矩形AEGF绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图中的BE与CG之间的数量关系是否还成立？数学小组对图形的旋转进行了拓展研究.如图4，在▱ABCD中，，，，E、F分别为AB、AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现BE与CG仍然存在着特定的数量关系. 如图5，把图4中的▱AEGF绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现BE与CG仍然存在着这一特定的数量关系.请你直接写出这个特定的数量关系. 23.本小题10分 综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片ABCD中，，，将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点F处，折痕BE交CD于点E，连接 独立思考： 证明四边形BCEF是菱形； 深度探究： 如图2，已知点O是线段BE上的一点不与端点重合，将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段CD上，点B的对应点G落在线段AB上，折痕交AB于点M，交CD于点N，连接GH，若，，，且，求的值. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：， ， 或， 故选： 根据因式分解法即可求出答案 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 2.【答案】D  【解析】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、四边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，符合题意； 故选： 根据菱形、正方形、矩形的判定判断即可． 本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3.【答案】C  【解析】解：一元二次方程中，，，， ， 方程没有实数根． 故选： 根据题意计算，即可求解． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程没有实数根是解题的关键． 4.【答案】A  【解析】解：是AB的黄金分割点，且， ， ， ， ， 故选： 由P是AB的黄金分割点，且，得，而，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查黄金分割、二次根式、一元一次方程应用等知识，正确理解和应用黄金分割的定义是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 故选： 根据概率公式解答即可． 本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 6.【答案】C  【解析】解：四边形ABCD是菱形，点O为对称中心， 这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形． 故选： 根据对称中心的定义，菱形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况． 本题考查了中心对称、菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：设月均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 即月均增长率为， 故选： 设月均增长率为x，根据某品牌新能源汽车8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， ，， 故选： 先利用配方法把方程变形为，从而得到，，然后计算它们的和即可． 本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 9.【答案】A  【解析】解：四边形ABCD是矩形， ， 点E是AD的中点， ， 矩形AEFB与原矩形ABCD相似， ， ， ， ， ：：： 故选： 根据矩形的性质可得，再根据线段的中点定义可得，然后利用相似多边形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：设DF交CE于点N，作交AD的延长线于点M，则， 四边形ABCD是正方形， ，， ， 于点N，交BC边于点F， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 故选： 设DF交CE于点N，作交AD的延长线于点M，由正方形的性质得，，则，由于点N，交BC边于点F，得，推导出，进而证明≌，得，而，则，由，得，可证明，再证明≌，得，，则，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 11.【答案】6  【解析】解：由题意AB：：3， ， 故答案为： 利用平行线分线段成比例定理求解． 不同楼层平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平分线分线段成比例定理． 12.【答案】16  【解析】解：设口袋中有x个白球， 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近， ， 解得， 故答案为： 由摸到红球的频率稳定在附近，可得摸到红球的概率为，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 本题考查用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：四边形ABCD是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 菱形ABCD的面积， ， 故答案为： 由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，由菱形ABCD的面积，即可求出EF的长． 本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的面积公式． 14.【答案】  【解析】解：设AE的长为x cm，则EF的长为， 根据题意得：， 即 故答案为： 设AE的长为x cm，则EF的长为，利用长方体盒子的表面积=正方形纸片ABCD的面积等腰直角三角形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15.【答案】7  【解析】解：设CE的延长线交DA的延长线于点H，作于点M，则， ， ， ，， ， 四边形ABMD是矩形， ，，点E在边AB上，， ，，， ， ∽， ， ， ，且， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 设CE的延长线交DA的延长线于点H，作于点M，由，得，由，，推导出，可证明四边形ABMD是矩形，因为，，，所以，，，再证明∽，得，则，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 16.【答案】，  ，  【解析】解：， ， 或， ， ， ， ， 或， ， 利用因式分解法求解即可； 先移项，再利用因式分解法求解即可． 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． 17.【答案】它的“加倍矩形”的长为，宽为  【解析】解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：它的“加倍矩形”的长为，宽为 设“加倍”矩形的长为x，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18.【答案】相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一    【解析】解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一； 与位似，相似比为1：2， ∽，相似比为1：2， 与的面积比为1：4， 的面积为8， 的面积为 根据相似三角形的性质解答； 根据位似图形的定义得到∽，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 19.【答案】  每箱应降价20元  【解析】解：设每箱降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱，即箱， 故答案为：，； 设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：每箱应降价20元． 根据题意分别列出代数式即可； 设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱，根据超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20.【答案】    【解析】解：若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，男生甲选中项目E的概率为； 画树状图如下： 由树状图知共有9种等可能结果，其中他俩第二次同时选择项目B或项目D的有2种结果， 所以他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率为 根据概率公式求解即可； 画树状图列出所有等可能结果，从中找到同时选择跳绳或立定跳远的结果数，利用概率公式计算可得． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21.【答案】②  ，，  【解析】解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积为， 大正方形的边长为7， 所以， 正数， 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是②； 故答案为：，7，5，②； 如图， 由题意得：，， ，舍，， ， 仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； 根据4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，列方程即可解答． 本题考查了构造图形解一元二次方程，解答本题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． 22.【答案】    成立    【解析】解：由勾股定理可得， ， ， ； 故答案为：； 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ∽， ， ； 成立． 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ∽， ， ； 如图4，过F作于点K， 根据题意可知，， 四边形AEGF是平行四边形， ，， 在，， ， ， ， 在中，， 如图5， 由旋转可证， ， ∽， 先求出AC，再利用平行线分线段成比例即可得解； 利用边角边证∽，即可得解； 同中思路； 先求出AE、AG，再证∽，即可得证． 本题考查了矩形、平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 23.【答案】是翻折而成的， 故，， ，则， ， 则，， 而， ， 四边形BCEF为菱形    【解析】证明：是翻折而成的， 故，， ，则， ， 则，， 而， ， 四边形BCEF为菱形； 解：设，， ，， 四边形GBHE为平行四边形， ， ， 菱形FBCE的边长为， ， ：：：a， ， ∽， ：：：：b， 证明，即可求解； 证明FG：：：a，由平行线得出∽，则BO：：：：b，则可得出答案． 本题为四边形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $