精品解析：湖南省岳阳平江县三阳中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

三阳中学2025年下期九年级数学期中考试 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，点为上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 8. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. 在各自的象限内，随的增大而增大 C. 函数图象关于轴对称 D. 图象经过 9. 如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 18 10. 嘉淇借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示．借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程的常数项为_________． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 13. 反比例函数的图象在各个象限内y随着x的增大而增大，那么k的取值范围___． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 15. 如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______． 16. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 17. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 21. 如图，在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由． 22. 学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米，在与墙平行的一面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为　 米； （2）为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 23. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，0）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 24. 关于的一元二次方程 （1）设是方程的两根．当时，求及的值． （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （3）求证：． 25. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 26. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三阳中学2025年下期九年级数学期中考试 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，形如（k为常数，）的函数叫反比例函数，根据反比例函数的定义逐项分析判断即可． 【详解】A.是反比例函数，故符合题意； B.是正比例函数，不是反比例函数，故不符合题意； C. 不是反比例函数，故不符合题意； D.不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和加上一次项系数一半的平方完成配方． 【详解】解：∵ ， ∴ （移项）， ∴ （两边加9）， ∴ ， ∴ 配方后为 ， 故选：D． 3. 下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，，故符合题意； 故选：D． 4. 已知在中，点为上一点，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴，A、B选项正确； ∵四边形BDEF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴，故C选项正确，D选项错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，点的坐标符合函数解析式．将点，，分别代入，求出，，，再比较即可． 【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上， ，，， ∴． 故选B． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 7. 如图，中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定逐项进行分析即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定三角形相似的方法是解题的关键． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意； C、两三角形的两对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似， 故本选项符合题意； D、阴影三角形中，的两边分别为，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似， 故本选项不符合题意． 故选：C． 8. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第一、三象限 B. 在各自的象限内，随的增大而增大 C. 函数图象关于轴对称 D. 图象经过 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据解析式得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，， A. 图象分布在第二、四象限，故该选项不正确，不符合题意； B. 在各自的象限内，随的增大而增大，故该选项正确，符合题意； C. 函数图象关于对称，故该选项不正确，不符合题意； D. 图象经过或，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 9. 如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】由镜面反射的知识可得，结合即可得到，由相似三角形的对应边成比例可得，代入数值即可得到答案． 【详解】解：由镜面反射原理知 ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵米，米，米， ∴（米）. 故该古城墙的高度是8米． 故选：B. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 10. 嘉淇借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象如图所示．借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根据函数图象特征确定函数中参数的取值范围，关键是利用分母不为0的性质和函数图象经过的象限来分析．通过观察函数图象的特征，确定a的取值范围，再根据函数图象经过的象限确定b的取值范围． 【详解】解：函数， 分母， ， 由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ， 由图可知当时，函数图像位于x轴下方， 当时，， ， ， 故 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程的常数项为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，（a，b，c是常数且）．根据一元二次方程的一般形式的定义可得答案． 【详解】解：一元二次方程 化成一般式为，常数项为， 故答案是：． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 13. 反比例函数的图象在各个象限内y随着x的增大而增大，那么k的取值范围___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在反比例函数中，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此列式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在各个象限内y随着x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 15. 如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与平行四边形综合，相似三角形的性质与判定，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，根据平行四边形的性质得出，证明得出，，进而可得，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为， ∵四边形是平行四边形，点，，， ∴， ∴，即，则， ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 16. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 17. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 18. 对于实数，，如果满足，那么称，互为和等积数，点为和等积点．如：由，可知4的和等积数为，点为和等积点．已知直线与双曲线有一个交点是和等积点，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】设与双曲线的交点是和等积点，利用定义得到，代入一次函数得到，进而得到，求出或，由两个函数图象的相交得到，代入即可求出k的值． 【详解】解：设与双曲线的交点是和等积点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， ∵，则， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了求反比例函数的解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，正确理解题意得到是解题的关键． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，然后利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解； 或 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 20. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 21. 如图，在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由． 【答案】，，理由： ， ， 即， ， ， ，， ∵ ∴ ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理与性质、三角形的内角和定理，根据已知条件推出两个三角形相似是解题的关键． 先利用相似三角形的判定定理推出，再根据相似三角形的性质得的值；由相似三角形的性质得，然后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】略 22. 学校计划利用一片空地建一个长方形电动车车棚，其中一面靠墙，墙的长度为8米，在与墙平行的一面开一个2米宽的门．已知现有的木板材料可新建的总长为26米，且全部用于除墙外其余三面外墙的修建． （1）长方形车棚与墙垂直的一面至少为　 米； （2）为了方便学生通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图中阴影），若车棚与墙垂直的一面长按（1）中的最小长度，则停放电动车的区域面积能否达到平方米，若能，此时小路的宽度是多少米？若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，道路的宽为米 【解析】 【分析】（1）设与墙垂直的一面为米，另一面则为（）米，然后利用这堵墙的长度为不超过米，列出不等式求解即可； （2）设小路的宽为a米，两边的长分别为（）米，（）米，列出方程求解即可求解． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的一面为米，另一面则为（）米， 根据题意得：． 解得：， 答：长方形车棚与墙垂直的一面至少米； 故答案：． 【小问2详解】 解：设小路的宽为米，根据题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：小路的宽为米． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，找出不等关系式和等量关系式是解题的关键． 23. 如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，0）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标可得出答案； （3）先求出点C坐标表示出线段长，设点P坐标为，根据面积大于12列出不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 把点代入， 得， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得， ， ∵点，在一次函数的图象上， ∴ 解得， ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 根据函数图象及交点坐标可知，不等式的x取值范围为：或； 【小问3详解】 在函数中，当时，， ∴， 设点P坐标为，则， ∵， ∴， 解得：或． 24. 关于的一元二次方程 （1）设是方程的两根．当时，求及的值． （2）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （3）求证：． 【答案】（1）， （2） 解：， 整理，得：， ∴； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （3） 由（2）知：， ∴，， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）把代入方程求出的值，根与系数的关系求出即可； （2）求出判别式的符号，即可得证； （3）根据根与系数的关系进行证明即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， 整理，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． （1）“快乐方程”的“快乐数”为________； （2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）n的值为0或3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． （1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． 【小问1详解】 解：方程的“快乐数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：方程， ∴， ∵， ∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， 则， 故其“快乐数”数是； 【小问3详解】 解：， ∴， 设， 则， 又与同奇偶， ∴或或或 解得或， ∴方程为：或； ， ∴， ， 当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴， 解得， 综上，n的值为0或3． 26. 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． （1）初步探究 如图2，若，求证：； （2）尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； （3）创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $