精品解析：四川省自贡市汇东实验学校2025-2026学年八年级上学期 期中数学试卷

2025-2026学年八年级上期 汇东期中试卷 一、单选题 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等，对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：由边长为的边是角的对应边，再根据全等三角形的性质可得 故选：D． 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可． 【详解】解：根据题意得：， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 即射线是的平分线． 故选：A． 4. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，即可求解． 【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址； 理由：两内角的角平分线，交于点， ，， ，即点到三条公路的距离相等； 同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址． 综上所述，可供选择的地址有四处． 5. 已知：点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 201 【答案】B 【解析】 【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．直接利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于x轴对称， ∴m-1=2，n-1=-3， 解得：m=3，n=-2， 则=1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 6. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，根据性质得到边长与的关系是解题的关键．由是等边三角形可知，利用等边三角形以及三角形内角和可证，再根据等腰三角形的性质可知，进一步可证，同理可证，，，归纳可得，最后代入即可得解． 【详解】解：如图所示， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， 的边长为． 故选：C． 7. 如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，依据角平分线的性质，即可得到DE=DG，再根据三角形外角性质，以及角平分线的定义，即可得到∠ADB=∠DBE-∠BAD=（∠CBE-∠BAC）=∠ACB． 【详解】如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DF=DE， 又∵∠ACD=136°，∠BCD=44°， ∴∠ACB=92°，∠DCF=44°， ∴CD平分∠BCF， 又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G， ∴DF=DG， ∴DE=DG， ∴BD平分∠CBE， ∴∠DBE=∠CBE， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC， ∴∠ADB=∠DBE-∠BAD=（∠CBE-∠BAC）=∠ACB=×92°=46°， 故选D． 【点睛】此题考查角平分线的定义，解题关键在于掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 8. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． ①连接，利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解； ②因为点O是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断； ③证明且，即可证得是等边三角形； ④首先证明，则，． 【详解】解：①如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴；故①正确； ②由①知：，， ∵点O是线段上一点， ∴与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形；故③正确； ④如图2，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故④正确； 本题正确的结论有：①③④， 故选A． 二、填空题 9. 已知，，则代数式值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对所给的条件进行整理，从而可求得a，b的值，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴ ＝ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．单项式的乘法分为三部分：一是系数相乘，积的系数等于各因式系数的积；二是相同字母相乘；三是只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里．结果是一个单项式．运算时,注意符号不能出错. 【详解】解：， 故答案为． 11. 黑板上写着，那么正对着黑板的镜子里的像是________. 【答案】50281 【解析】 【分析】根据镜面对称的性质，进行解答即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质可知：18502镜子里的像是50281． 故答案为：50281． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． 12. 如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；分类讨论是解决本题的关键． 根据为等腰三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求得符合的点，即可得解． 【详解】解：要使为等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，作线段的垂直平分线，与直线的交点为，此时有个； ②当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ③当时，以点为圆心，为半径作圆，与直线的交点，此时有个； ∴这样的点有（个）， 故答案为：． 13. 如图，等腰的底边，面积为，是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在上运动，的最小值是_______． 【答案】16 【解析】 【分析】如图作于H，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当共线时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：如图作于H，连接． ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴当共线时，最小值就是线段的长， ∵， ∴， 根据垂线段最短， ∴当时最小， ∴的值最小为16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型． 14. 如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为__________时，是等腰三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的应用．先证是等边三角形得到，根据，，得出，先证明，可得，可得，，，再分情况讨论：①；②；③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，﹐ ∴； ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴； ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵是等腰三角形， ①， 即， 解得， ②， 即， 解得， ③， 即， 解得， 综上：当或或时，是等腰三角形， 故答案为： 或或． 三、解答题-问答题 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方运算，幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，单项式的乘法，熟练掌握其法则是解此题的关键． （1）先根据积的乘方运算计算，再根据单项式与单项式的乘法法则计算即可． （2）先根据同底数幂相除，再算幂的乘方，最后根据同底数幂相乘计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： = ． 16. 如图，中，，D在边上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理三角形外角性质，熟练运用有关定理是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质、三角形外角性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】在中，，， ， ， ， ， ． 17. 如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】过点P作于点E，得到，根据，计算即可． 本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义，角的平分线的性质定理，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵P是平分线上一点，，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 如图，的内角的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】 解：（其他形式正确也可） ∵BD平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵CD平分， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】此题主要根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换，根据等边对等角得，，即可得出所求的结论． 【详解】略 19. （1）如图①，在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：． （2）【探究】如图②，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）证明：如图，过点作交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴ ∴； （2）解：， 证明如下： 如图所示，分别延长，，交于点， 与（1）同理可得，， ，， 又， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定与性质、平行线的性质； （1）过点作交于点，得出，进而结合，得出再根据平行线的性质得出，，再根据判定得出，即可得证； （2）分别延长，，交于点，同理可得，由此得到，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，进而得出结论． 【详解】略 四、解答题-证明题 20. 如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． （1）判断△的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 结论：是等边三角形． 理由：是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质． （1）根据等边三角形的性质可得；根据平行线的性质可得，推得，根据等边三角形的判定即可证明； （2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由，求出，再根据平行线的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， ． 21. 已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵G为的中点． ， ， ∴E为的中点． ， ； （2） 证明：由（1）知：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理． （1）根据等腰直角三角形的性质证明，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可以解决问题； （2）由（1）得，然后证明，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在等边中，点，分别在边上，且 与相交于点，于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为等边三角形， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形．（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得，再由直角三角形两锐角互余即可得到结论； （3）根据得，由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∵， ∴． 23. 如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：在等腰中，，， ，， ． 又交的延长线于点， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ， ． 又， ， 即； （2）等腰三角形， 理由如下： 连接，如图， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）欲求证，先证明，需证明，证明即可． （2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，利用等腰三角形三线合一可证是中垂线，则易证，则，从而判断其形状． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 【答案】 （1）证明：在AB上取一点E，使AE=AC ∵AD为∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD． 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SAS）． ∴∠AED=∠C=90°，CD=ED， 又∵∠ACB=2∠B，∠C=90°， ∴∠B=45°． ∴∠EDB=∠B=45°． ∴DE=BE， ∴CD=BE． ∵AB=AE＋BE， ∴AB=AC＋CD． （2）AB＝AC＋CD； （3）AB＝CD﹣AC 【解析】 【分析】（1）在AB上截取AE=AC，连接DE，根据角平分线的定义得到∠1=∠2．推出△ACD≌△AED（SAS）．根据全等三角形的性质得到∠AED=∠C=90，CD=ED，根据已知条件得到∠B=45°．求得∠EDB=∠B=45°．得到DE=BE，等量代换得到CD=BE．即可得到结论； （2）在AC取一点E使AB=AE，连接DE，易证△ABD≌△AED，所以∠B=∠AED，BD=DE，又因为∠B=2∠C，所以∠AED=2∠C，因为∠AED是△EDC的外角，所以∠EDC=∠C，所以ED=EC，BD=EC，进而可证明AB+BD=AE+EC=AC； （3）在AB的延长线AF上取一点E，使得AE=AC，连接DE．证明△ACD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BE，BE=CD，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）证明：在AB取一点E使AC=AE， 在△ACD和△AED中， , ∴△ACD≌△AED， ∴∠C=∠AED，CD=DE， 又∵∠C=2∠B， ∴∠AED=2∠B， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠EDB=∠B， ∴ED=EB， ∴CD=EB， ∴AB=AC+CD； （3）猜想：AB=CD﹣AC 证明：在BA的延长线上取一点E，使得AE=AC，连接DE， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD=∠AED，CD=DE， ∴∠ACB=∠FED， 又∵∠ACB=2∠B ∴∠FED=2∠B， 又∵∠FED=∠B＋∠EDB， ∴∠EDB=∠B， ∴DE=BE， ∴BE=CD， ∵AB=BE-AE ∴AB=CD﹣AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关于线段和差关系的证明，通常采用截长补短法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上期 汇东期中试卷 一、单选题 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则度数是（　　） A. B. C. D. 3. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点C的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 5. 已知：点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. －1 D. 201 6. 如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形中，对角线平分，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知如图等腰，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题 9. 已知，，则代数式值是 __． 10. 计算：_______． 11. 黑板上写着，那么正对着黑板的镜子里的像是________. 12. 如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有________个． 13. 如图，等腰的底边，面积为，是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在上运动，的最小值是_______． 14. 如图，点是等边内一点，，等于，点是等边外一点，，，连接、．则当的度数为__________时，是等腰三角形． 三、解答题-问答题 15. 计算： （1） （2） 16. 如图，中，，D在边上，，求的度数． 17. 如图，已知，P是平分线上一点，，交于点C，，垂足为点D，且，求的长． 18. 如图，的内角的平分线与外角的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于E，交AC于F．试判断EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 19. （1）如图①，在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：． （2）【探究】如图②，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． 四、解答题-证明题 20. 如图，点在等边△的外部，连接，，．过点作交于点，交于点． （1）判断△的形状，并说明理由； （2）若，求的度数． 21. 已知：如图，在中，，，高与高相交于点F，G为的中点． 求证： （1）； （2）． 22. 如图，在等边中，点，分别在边上，且 与相交于点，于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，求的长． 23. 如图，在等腰中，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 24. （1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB＝AC＋CD．（提示：在AB上截取AE＝AC，连接DE） （2）如图2，当∠C≠90°时，其他条件不变，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系，直接写出结果，不需要证明． （3）如图3，当∠ACB≠90°，∠ACB＝2∠B ，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段 AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $