精品解析：浙江省金华市义乌市稠州中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

稠州中学八年级数学期中学力检测卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　） A. 4，3， B. 6，8，10 C. 8，15，16 D. 7，24，25 4. 若，则下列不等式中正确的是（    ） A. B. C. D. 5. 对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小亮进行以下操作：以点A为圆心，适当长为半径作圆弧分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点B，作射线AF．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 12. 用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 13. 已知直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边中线长为______． 14. 如图，是的角平分线，若，，则的面积为______． 15. 如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 16. 如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边． （1）当时，则_____； （2）连结、，则最小值为_____． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 18. 已知：如图，点，在上，，且，．求证：． 19. 如图，，，，，，请你连接．求： （1）的长； （2）四边形的面积． 20. 已知方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）若不等式的解为，求整数的值． 21. 我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，则_____； （2）若中，，，，则_____； （3）若中，，，边上的高为15，求的值． 22. 为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元； （2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用． 23. 根据以下素材，探索解决问题． 如何剪出直角三角形的完美线？ 素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”． 问题解决 （1）项目操作 如图，有一张直角三角形纸片，，，请画出“完美线”示意剪法，并标出两个锐角的度数． （2）项目探索 如图，在直角三角形纸片中，，过点剪一刀，剪痕与交于点． 你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． （3）项目拓展 在中，，，，的“完美线”与交于点，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 24. 如图1，在中，，是边上的高线，，． （1）求的长． （2）若点是射线上的一动点，作于点，连接， ①如图2，当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，求的长度； ②设直线交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 稠州中学八年级数学期中学力检测卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下是2024年巴黎奥运会体有项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A.选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B. 选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形两底角相等，再根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵一个等腰三角形一底角的度数为， ∴这个等腰三角形的顶角的度数为， 故选：D． 3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（　　） A. 4，3， B. 6，8，10 C. 8，15，16 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.32＋（）2＝42，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； B.62＋82＝102，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； C.82＋152≠162，故此选项中的三条线段不能构成直角三角形； D.72＋242＝252，故此选项中的三条线段能构成直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 4. 若，则下列不等式中正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是明确不等式性质的内容，注意变形中的符号问题．本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．正确运用不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、当时，不等式两边都减，不等号的方向不变得，故A错误； B、当时，不等式两边都乘以，不等号的方向改变得，故B正确； C、，则，故C错误； D、当时，不等式两边都除以，不等号的方向不变得，故D错误． 故选：B． 5. 对于命题“若，则”，能说明该命题是假命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的定义，关键是条件成立时，结论不成立； 若，则可能不成立，当但时即为反例，需找出满足此条件的选项． 【详解】解：选项A：，满足条件，满足结论，故不符合题意； 选项B：，不满足条件，故不符合题意； 选项C：，不满足条件，故不符合题意； 选项D：，满足条件，不满足结论，故符合题意； 因此，选项D能说明该命题是假命题． 故选：D． 6. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，则，结合，，可根据证明，故符合题意； B．添加，则，结合，，根据无法证明，故不符合题意； C．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； D．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； 故选：A． 7. 如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由垂直平分线可得，则周长可求． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴ ∵， ∴的周长为：． 故选：C ． 8. 如图，小亮进行以下操作：以点A为圆心，适当长为半径作圆弧分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点B，作射线AF．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明，得出，进而得出，然后根据三角形外角的性质可得出，结合求解即可． 【详解】解：由题意，知，， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，基本作图等知识，正确求出是解题的关键． 9. 已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元一次不等式组解出x的取值，再根据不等式组只有5个整数解，求出实数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为 ∵不等式组有且只有5个整数解， ∴这5个整数解为1，0，-1，-2，-3， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查的是由一元一次不等式组解集的情况求参数，解题关键是熟练掌握一元一次不等式的解法．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 10. 如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是_____ 【答案】同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的． 【详解】原命题“两直线平行，同位角相等”中，题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．交换题设和结论后，逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12. 用不等式表示“2与的3倍的和是正数”：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是列不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式；根据和是正数，那么最后算的和应大于0，列出不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：． 故答案为：． 13. 已知直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边中线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线的性质． 根据勾股定理求得斜边的长，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， ∴斜边中线长为， 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，若，，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质．过作于，由角平分线的性质得到，而，由三角形面积公式，即可得到的面积． 【详解】解：过作于， 是的角平分线，， ， ， 的面积． 故答案为：5． 15. 如图，在中，，于点，于点，交于点．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．先根据等腰三角形的性质得到，，再根据等腰三角形的判定和三角形的内角和定理证得，，然后证明得到即可求解． 【详解】解：∵在等腰三角形中，是底边上的高线， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在等边中，，为的中点，，分别是，边上的动点，且满足，以为边向左作等边． （1）当时，则_____； （2）连结、，则最小值为_____． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再由，即可求解； （2）连接，过点作于，可得，从而，可证，可得，从而点的轨迹为垂直于的直线，根据将军饮马问题的解决方法即可求解出的最小值． 【小问1详解】 解：设，则， ∵在等边中，， ∴ ∴， 解得， ∴， 故答案为：4 【小问2详解】 解： 过点作于，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹为垂直于的直线， 作点关于的对称点，连接，即为的最小值． 连接交于，过点作于，延长交于， ∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题，勾股定理的应用，灵活运用方程思想，熟练掌握动点轨迹判断，全等三角形的性质与判定，将军饮马问题的解决方法是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为即可． 【小问1详解】 解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得； 【小问2详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 18. 已知：如图，点，在上，，且，．求证：． 【答案】 证明：， ， 在和中， ， ， . 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是熟练应用知识点解题； 首先根据平行线的性质，可知；接下来由全等三角形的判定定理可证得，进而得到． 【详解】略 19. 如图，，，，，，请你连接．求： （1）的长； （2）四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． （1）根据勾股定理得出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：如图， ，，， ； 【小问2详解】 解：，， ， 是直角三角形， ， 在中，， 在中，， ． 20. 已知方程组的解满足为非正数，为负数． （1）求的取值范围； （2）若不等式的解为，求整数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 解：解方程组，得， 为非正数，为负数， ， 解得， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：， ， 不等式的解为， ，即， 的取值为． 整数． 21. 我们把三角形的一条边与这条边上的高的长度之差叫做这条边的“边高差”．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为． （1）如图2，若中，，，，则_____； （2）若中，，，，则_____； （3）若中，，，边上的高为15，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查三角形的边长、高的计算，根据三角形的性质和公式求出“边长”和“这条边上的高”是解题关键． （1）利用等腰三角形三线合一、勾股定理直接求边长； （2）在直角三角形中，用面积法求出斜边上的高； （3）三角形形状不确定，分“高在上”和“高在的延长线上”两种情况，用勾股定理求的长度，再计算边高差． 【小问1详解】 解：，，， ，， ， 故答案为：1． 【小问2详解】 解：如图，作于， ，，， ， ， ，， ， 故答案为：． 【小问3详解】 如图，分两种情况讨论： 当是锐角三角形时： ，，，， ， ， ，， ， ； 当是钝角三角形时： 同理可得，，， ． ∴的值为或. 22. 为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少元； （2）运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用． 【答案】（1）A种奖品的单价为10元，种奖品的单价为15元 （2）共有8种购买方案，购买75件种奖品，25件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组和不等式组． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据所给数量关系列二元一次方程组，解方程即可； （2）设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，根据所给数量关系列一元一次不等式组，种商品单价较低，因此取最大值时购买奖品总费用最少． 【小问1详解】 解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 依题意，得：， 解得， 答：A种奖品的单价为10元，种奖品的单价为15元． 【小问2详解】 解：设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品， 依题意，得：， 解得， 种)． ∵， ∴A种奖品的单价较低，要使总费用最少，需尽可能多的购买A种奖品， ∴当时，购买奖品总费用最少，最少费用为（元）， 综上可知，共有8种购买方案，购买75件种奖品，25件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元． 23. 根据以下素材，探索解决问题． 如何剪出直角三角形的完美线？ 素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”． 问题解决 （1）项目操作 如图，有一张直角三角形纸片，，，请画出“完美线”示意剪法，并标出两个锐角的度数． （2）项目探索 如图，在直角三角形纸片中，，过点剪一刀，剪痕与交于点． 你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． （3）项目拓展 在中，，，，的“完美线”与交于点，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 【答案】（1）如图所示； （2）解：当为直角三角形斜边上的高时，如图所示： ∵， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴为的“完美线”； 当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示： ∵为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴为的“完美线”； 综上分析可知，当为直角三角形斜边上的高时，或为直角三角形斜边上的中线时，为的“完美线”； （3）或1 【解析】 【分析】（1）根据完美线的定义作图即可； （2）根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当为直角三角形斜边上的高时，当为直角三角形斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可； （3）分两种情况，当为直角三角形斜边上的高时，当为直角三角形斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】解：（1）如图，过点C作， ∵， ∴， ， ∴为的“完美线”； 如图，作的垂直平分线，交于点E，连接， ∵为直角三角形，为斜边上的中线， ∴， ∴，， ∴为的“完美线”； （2）略 （3）∵在中，，，， ∴，，， 当为直角三角形斜边上的高时，如图所示： ∵，， ∴， 根据折叠可知，，， ∴， ∴A、D、三点共线， ∴； 当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示： ∵为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 根据折叠可知，，， ∴， ∴为菱形， ∴，，， ∴， ∴； 综上分析可知，或1． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，注意进行分类讨论． 24. 如图1，在中，，是边上的高线，，． （1）求的长． （2）若点是射线上的一动点，作于点，连接， ①如图2，当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，求的长度； ②设直线交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）． 【答案】（1）， （2）①或；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键． （1）由勾股定理即可计算出的长，从而计算出的长； （2）①分两种情况：当时；当时，分别进行求解即可； ②分两种情况：当在线段上；当在射线上，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ； 【小问2详解】 解：①分两种情况： Ⅰ．当时，则， ，， ， ， Ⅱ．当时， 在和中， ， ， ， ， 综上，或者； ②分两种情况： Ⅰ．当在线段上，连接， ，， ，得， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ，， ； Ⅱ．当在射线上，连接， 同理可得， ， ， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $