精品解析：安徽省芜湖市无为市第三中学2025-2026学年九年级上学期数学第二次月考试卷

无为三中2025-2026学年度九年级第二次学情调研 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 用配方法解方程，配方后方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ） A. 右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B. 右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C. 左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D. 左移 个单位长度，再上移 个单位长度 4. 为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … 0.56 0.25 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 8. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 9. 已知函数的图象上有两点和，则的值等于（　　） A. 22 B. 20 C. 17 D. 0 10. 如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知一元二次方程有两个实数根，点在第 _____象限． 12. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是______． 13. 如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为________． 14. 二次函数（为常数，且）中x和y满足下表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 m ①；②；③若点在此抛物线上，则n的值为；④点为该函数图象上的两点，则当时，；⑤若当，函数有最小值12，则或8．其中正确的是________． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．） 15. 已知关于x的函数． （1）当此函数为一次函数时，求函数的解析式； （2）当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 16. 抛物线经过，两点 （1）求抛物线的解析式； （2）已知另一点在抛物线上，求m的值． 17. 已知二次函数y=x2+4x+k-1. （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值. 18. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 19. 已知二次函数． （1）将写成的形式为 ； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； ___ ___ ____ ____ ___ ___ ___ ____ ____ ___ （3）当时，结合图象直接写出自变量的取值范围 ． 20. 阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令①，则原方程为，解得，，分别代入①后算出了x的值． 解决以下问题： （1）直接写出方程的根为______； （2）利用材料中的方法求抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出方程有______个实根． 21. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数． 22. 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． （1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； （2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 23. 如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）直接写出坐标：点___________，点___________； （2）若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； （3）点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无为三中2025-2026学年度九年级第二次学情调研 数学试题卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．请仔细审题，认真作答，祝你考出好成绩． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可． 本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 2. 用配方法解方程，配方后方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ） A. 右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B. 右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C. 左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D. 左移 个单位长度，再上移 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：抛物线 可由抛物线 右移个单位长度，再下移个单位长度得到， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键． 4. 为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，小路此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为． 故选：B． 5. 已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： … … … 0.56 0.25 … 则该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．根据函数与x轴交点的纵坐标为零求解即可． 【详解】解：∵时，；时，， ∴该函数与x轴的其中一个交点的横坐标的范围是． 故选B． 6. 若，，为二次函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数比较函数值大小，二次函数的增减性和对称性，求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随的增大而减少， ∵关于直线的对称点是， 且， ∴． 故选：B． 7. 二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 有最小值 D. 有最大值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出b的值，然后化为顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 8. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 9. 已知函数的图象上有两点和，则的值等于（　　） A. 22 B. 20 C. 17 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键． 由题意可得m，n是方程的两个根，则有，，即，又由，将所求式子变形为，然后再求值即可． 【详解】解：∵函数的图象上有两点和， ， 把代入得，， ∵函数的图象上有两点和， ∴m，n是方程的两个根， ，， ， ∴ ． 故选：A． 10. 如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到有四个交点时直线的运动范围是解答本题的关键．先求出点坐标，作图分析出现四个交点的情况，过点的直线与新抛物线相切的直线之间存在四个交点的情况，分两种情况计算出值即可得到答案． 【详解】解：∵， 令，则或， ∴，， 将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方， 其解析式为，, ∵ 直线与新抛物线有4个交点， ∴ ①当直线过点时，则交点有3个，此时； ②当直线与新抛物线相切时，则， 整理得：， ， 解得， 如图所示，当直线在两条直线之间时，有4个交点， 此时的范围为：． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知一元二次方程有两个实数根，点在第 _____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及判断点所在的象限，根据一元二次方程有两个实数根，得出，结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴点的坐标为， ∴点在第四象限； 故答案为：四． 12. 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．不等式的解集是抛物线位于直线下方，自变量的取值范围，确定抛物线与直线的交点坐标即可解答． 【详解】解：由图象可知，当或时，抛物线位于直线下方， ∴不等式的解集是：或， 故答案为：或． 13. 如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．根据题意得出的顶点坐标为，进而利用顶点式求出函数解析式即可． 【详解】解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． 14. 二次函数（为常数，且）中x和y满足下表： x … 1 3 5 6 … y … 5 0 0 12 m ①；②；③若点在此抛物线上，则n的值为；④点为该函数图象上的两点，则当时，；⑤若当，函数有最小值12，则或8．其中正确的是________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，求自变量的值，根据表格分析函数值先减小再增大，则抛物线开口向上，即可判断①，根据表格数据即可判断②，根据，在抛物线上，则或，即可判断③，待定系数法求得解析式，进而判断④，根据，函数有最小值12，分两种情况，即可求解． 【详解】解：根据表格可得当或时， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 由表格可得，函数值先减小再增大，则抛物线开口向上， ∴，故①错误， ∴当时，，故②，正确， ∵点在此抛物线上，在此抛物线上，对称轴为直线 ∴或 ∴或，故③错误， ∵顶点坐标为， 设抛物线解析式为，代入得 解得： ∴抛物线解析式为 点、为该函数图象上的两点， ∴ ∵ ∴ 解得：，故④正确； 当时， 解得： ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∵当，函数有最小值12， ∴或， 当时，则，解得： 当时，则，故⑤正确； 综上所述，②④⑤正确． 故答案为：②④⑤． 三、解答题（本大题共9小题，共90分．） 15. 已知关于x的函数． （1）当此函数为一次函数时，求函数的解析式； （2）当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【小问1详解】 解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； 【小问2详解】 解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 16. 抛物线经过，两点 （1）求抛物线的解析式； （2）已知另一点在抛物线上，求m的值． 【答案】（1） （2）3或 【解析】 【分析】（1）将点A和点B的坐标代入，用待定系数法求解即可； （2）将点代入（1）中求得的函数表达式即可求出m的值． 【小问1详解】 解：将点A和点B的坐标代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 将点代入得： ， 整理得：， ， ，． ∴m的值为3或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数解析式，解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法以及解二元一次方程的方法和步骤． 17. 已知二次函数y=x2+4x+k-1. （1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围； （2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值. 【答案】k＜5；k=5． 【解析】 【详解】试题分析：(1)、当抛物线与x轴有两个不同的交点，则△＞0，从而求出k的取值范围；(2)、顶点在x轴上则说明顶点的纵坐标为0. 试题解析：(1)、∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2-4ac＞0，即16-4k+4＞0.解得k＜5. (2)、∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0，即=0.解得k=5. 考点：二次函数的顶点 18. 3月12日，某中学隆重举行了2025届中考百日誓师大会．学校为学生们搭建了一个拱形的“理想门”，其形状为抛物线．已知拱门的底部宽度为6米（即米），最高点距地面4.5米．如图所示，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）拱门两侧各悬挂一条彩带，书写着“百日拼搏勤砺剑”、“誓师中考勇夺魁”．若彩带、的高为2米，求两条彩带之间的水平距离为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）设，把点A的坐标代入求解即可； （2）把代入（1）中所求表达式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 设， 代入，得， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴， 答：两条彩带之间的水平距离为米． 19. 已知二次函数． （1）将写成的形式为 ； （2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； ___ ___ ____ ____ ___ ___ ___ ____ ____ ___ （3）当时，结合图象直接写出自变量的取值范围 ． 【答案】（1） （2） 解：列表如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 0 0 …… 如图， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的x的取值范围即可． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象知：当时，或. 故答案为：或. 20. 阅读下面材料： 小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是采用了如下方法：令①，则原方程为，解得，，分别代入①后算出了x的值． 解决以下问题： （1）直接写出方程的根为______； （2）利用材料中的方法求抛物线与x轴的交点坐标； （3）直接写出方程有______个实根． 【答案】（1）或 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料方法直接求解即可； （2）根据抛物线与一元二次方程的关系，求出方程的解即为抛物线与轴的交点； （3）根据材料中的方法求解即可． 【小问1详解】 解：令，则原方程为， 解得：，， 把，分别代入中得：或， 解得或； 故答案是：或． 【小问2详解】 解：令，则， 令，则原方程为， 解得：，， 把，分别代入得：或， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标，； 【小问3详解】 解：令，则原方程为， 解方程得：，， 把，代入得：（不成立）或， 解得：， ∴方程有两个实数根， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点坐标和换元法解一元二次方程，关键是掌握换元法解一元二次方程． 21. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数． 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、根的判别式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设该完美点的坐标为，然后代入可得关于m的一元二次方程求解即可； （2）由二次函数的图像上有且只有一个完美点可得时，方程有两个相等的实数根，可得，方程的根为可求出a值，进而可求出c值即可． 【小问1详解】 解：设该完美点的坐标为， ∵，， ∴二次函数解析式为， ∴， 解得：， ∴该函数的完美点为和． 【小问2详解】 解：∵二次函数的图像上有且只有一个完美点， ∴方程，即有两个相等的实数根， ∴，即， ∵完美点坐标为， ∴方程的根为，解得：， ∴， ∴该函数解析式为． 22. 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． （1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； （2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式， （2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可． 【小问1详解】 解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， 【小问2详解】 解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值为元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 23. 如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）直接写出坐标：点___________，点___________； （2）若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； （3）点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】解方程，可得：，，所以点的坐标是，点的坐标是； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式是，设点的坐标为，可得：点的坐标是，所以，根据三角形面积公式可得：，根据二次函数的性质可以求出面积的最大值； 当为直角三角形时，应分两种情况讨论，一种情况是当时，另一种情况是当时． 【小问1详解】 解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴，交于点， 当时，， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，， 则点的坐标是， ， ， 面积最大值是； 【小问3详解】 解：如下图所示，当时， 则有轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴是， 点的坐标是； 如下图所示，当时，过点作轴， ， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：(与点重合，舍去)，， 当时，， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $