精品解析：浙江省金华市永康第三中学2025-2026学年九年级上期中考试数学试卷

2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 2. 从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，四边形的面积为若经过的重心，则的面积为（　　　） A. B. C. D. 10. 如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如果一个扇形的圆心角为，半径为6，那么该扇形的弧长为________．（结果保留） 12. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 13. 一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和枚黑色棋子，除颜色外其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则的值可能是________． 14. 如图，点、、在上，若，则的度数为_______． 15. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为________． 16. 数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为__________． 三、解答题（共8小题，其中第17、18、19、20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知实数，满足， （1）求出的值； （2）若，求出，的值． 18. 已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 19. 中华文化之瑰宝−−“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位． （1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是_____． （2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率． 20. 如图，已知，，，，，． （1）求和的度数； （2）求的长． 21. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 22. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供200人同时游玩，当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在50元到80元之间（含50元和80元）浮动时，每提高2元，每场人数会减少4人． （1）设票价为元，请写出每场人数关于票价的函数关系式． （2）已知该游乐项目某场营业收入为10800元，根据“营业收入票价每场人数”这一关系，求此时的票价． （3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？ 23. 已知二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式． （2）若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 24. 如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接． （1）求的半径和的长． （2）求证：． （3）线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期中考试数学试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 已知点A在半径为2cm的圆内，则点A到圆心的距离可能是（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4 cm 【答案】A 【解析】 【分析】由圆点的半径是2cm，根据点与圆的位置关系的性质，结合点P在圆内，得到点P到圆心的距离的范围，再根据各选项进行判断即可． 【详解】解： ∵点A在半径为2cm的圆内， ∴点A到圆心的距离小于2cm， 故选：A． 【点睛】本题 考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 2. 从一个装有6个红球、4个蓝球、2个白球和1个黑球的袋子中，随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．下列事件中发生可能性最小的是（ ） A. 摸出红球 B. 摸出蓝球 C. 摸出白球 D. 摸出黑球 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知随机摸出一个球（除颜色外其余的均相同）．可能性大小由对应颜色球的数量决定，数量越少可能性越小． 【详解】解：∵袋中共有个球，其中红球个，蓝球个，白球个，黑球个， ∵， ∴发生可能性最小的是摸出黑球，选项D符合． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 4. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角与外角的关系，先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，用除以外角的度数，即可得到边数，掌握多边形外角和等于是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的每个内角都等于， ∴多边形的每个外角都等于， ∴这个多边形的边数为， 故选：． 5. 如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 6. 抛物线与轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标是． 故选：D． 7. 已知，则下面结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例性质，先把等积式化为比例式一一与各选项相比较即可得．掌握等式的变形性质，化等积式为比例式是解题关键． 【详解】解：A．∵，得，故选项A不成立； B．∵，得，故选项B不成立； C．∵，得，故选项C成立； D．由可知x、y可以为，故选项D不一定成立． 故选：C． 8. 下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ，，当时，， ∴方程的一个解x可能的取值范围是． 故选：B． 9. 如图，已知，四边形的面积为若经过的重心，则的面积为（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设重心为G，则，根据三角形相似的判定与性质可得，，列出方程组并求解即可． 【详解】解：∵经过的重心，设重心为G，则， ∵， ∴△BDE∽△BAC，△ADF∽△ABC， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查重心的性质、相似三角形的判定与性质，得到面积的比例关系是解题的关键． 10. 如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，若的半径为10，则在x，y值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作直径，过点作的直径，连接，，依题意得，则，由此可依据“”判定和全等，则，然后在中，由勾股定理即可得出答案． 【详解】解：过点作直径，过点作的直径，连接，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，的半径是10， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 即， ∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，理解圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 如果一个扇形的圆心角为，半径为6，那么该扇形的弧长为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据扇形周长公式计算即可得到结果； 【详解】解：由扇形周长公式和题意可得： 扇形的弧长， 故答案为： 12. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为______ 【答案】y=3（x+2）2﹣1 【解析】 【详解】解：抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2；抛物线y=3(x+2)2的图象向下平移1个单位长度所得函数图象的关系式是：y=3(x+2)2﹣1， 故答案为y=3(x+2)2﹣1． 13. 一只不透明的袋中，装有3枚白色棋子和枚黑色棋子，除颜色外其余均相同．若小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，则的值可能是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系可知，当小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%，得到概率为，再由简单概率公式列式求解即可得到答案． 【详解】解：小明从中随机摸出一枚棋子，多次实验后发现摸到黑色棋子的频率稳定在80%， 小明从中随机摸出一枚棋子，摸到黑色棋子的概率为， ，解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查用频率估计概率，熟记简单概率公式是解决问题的关键． 14. 如图，点、、在上，若，则的度数为_______． 【答案】##7度 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出，进而根据等边对等角，三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：点A、B、C在上，， ． ∵ ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型． 连接，过点作，垂足为，找出即可求出答案． 【详解】解：连接，过点作，垂足为，如图所示， ，，， ，，， 以点为圆心，的长为半径作弧， ， 是等边三角形， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 故答案为：． 16. 数学兴趣小组进行探究性学习时，把缺了一角的幻方放进一张矩形纸片中，幻方的四个顶点分别落在矩形的边上，顶点落在矩形内，通过测量发现顶点到的距离为，并测得，通过探究求出了这个幻方（阴影部分）的面积为__________． 【答案】40 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形及相似三角形的判定和性质，正切函数的定义，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意设，再由相似三角形的判定和性质得出，，利用全等三角形的判定和性质得出，，利用正切函数的定义得出，结合图形求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 根据题意得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，过点 M作，如图所示： 同理得：， ∴， ∴， ∴阴影部分小正方形的边长为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 根据题意得：四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴阴影部分小正方形的边长为：， 面积为：， 故答案为：40． 三、解答题（共8小题，其中第17、18、19、20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 已知实数，满足， （1）求出的值； （2）若，求出，的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质， （1）根据，设，代入代数式计算即可求解； （2）设，代入，求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴设， ∴； 【小问2详解】 设， ∵， ∴， 解得：， ∴． 18. 已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． （1）求这个二次函数的表达式． （2）判断点是否在二次函数图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2） 当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：设抛物线的顶点式为 将点代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 19. 中华文化之瑰宝−−“四大名著”，即《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》，在中国文学史上有着极其重要的地位． （1）若从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是_____． （2）若从这四大名著中随机抽取两套（先随机抽取一套，不放回，再随机抽取另一套），请用画树状图或列表的方法，求抽到的两套恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式等知识点，正确运用列表法或树状图法展示所有可能的结果数和满足题意的结果数是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列树状图展示所有12种等可能的结果数，找出学生乙和学生丙都没有抽到《西游记》的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：从这四大名著中随机抽取一套，恰好抽到《西游记》的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：从这四本书籍中随机抽取两本的情况列表如下（记四本书籍依次为 A，B， C， D）： A B C D A − B − C − D − 共有 12 种等可能结果，其中《水浒传》和《三国演义》被选中的结果有 2 种， 抽到的两本恰好是《水浒传》和《三国演义》的概率为． 20. 如图，已知，，，，，． （1）求和的度数； （2）求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、相似三角形的性质，解题的关键熟练掌握相似三角形的性质，列出比例式． （1）根据三角形内角和定理求出，再根据相似三角形的性质即可得到和的度数； （2）根据相似三角形的相似比可直接得到答案． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 ， ∴ ∵，，， ∴， 解得：． 21. 如图，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵为的弦， ， ， ， ， ； （2）5 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由垂径定理得，根据等腰三角形的性质可得，再根据线段的和差关系可得结论； （2）连接，结合垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 为的弦， ∴，， ， 设的半径是r， ， 解得， ∴的半径是5． 22. 某大型游乐园里有一个热门游乐项目，每场可供200人同时游玩，当游玩票价为50元时，该项目每场均为满员状态．市场调查显示当游玩票价在50元到80元之间（含50元和80元）浮动时，每提高2元，每场人数会减少4人． （1）设票价为元，请写出每场人数关于票价的函数关系式． （2）已知该游乐项目某场营业收入为10800元，根据“营业收入票价每场人数”这一关系，求此时的票价． （3）当票价为多少时，此场营业收入最大？最大值为多少？ 【答案】（1） （2）60元 （3）当票价为75时，当场营业收入最大为11250元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，正确列出函数解析式是解题关键． （1）设票价为元，根据题意列出表达式即可； （2）根据根据“营业收入票价每场人数”列出一元二次方程求解即可； （3）根据题意得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设票价为元， ∴； 【小问2详解】 ∵该游乐项目某场营业收入为10800元 ∴ 整理得， 解得，（舍） ∴此时的票价为60元； 【小问3详解】 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当票价为75时，当场营业收入最大为11250元． 23. 已知二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线 （1）求二次函数的表达式． （2）若点向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值． （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：∵二次函数（，为常数）的图象经过，对称轴为直线 ∴图象经过，且开口向上， 当时，最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 当时，最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去 综上所述，n的取值范围为． 24. 如图，在矩形中，，点E在上，，以为直径的交于点F，交的延长线于点G，交于点M，连接． （1）求的半径和的长． （2）求证：． （3）线段上一点P，使得和的一个内角相等，求的长． 【答案】（1）的半径为， （2） 证明：如图，过O作于点I， ∴，， 由可得，即，解得， ∴，即． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判断与性质、等腰三角形的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由勾股定理可得，再结合圆的定义可求得圆的半径；如图：作于点H，则、、，再运用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答； （2）如图，过O作于点I，先说明、，易得，运用相似三角形的性质可得，然后运用线段的和差即可证明结论； （3）如图：过点G作于点N．再说明，然后分和两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴的半径为． 如图：作于点H， ∴，，， ∴． ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：过点G作于点N． 由（2）可得， ∴，即是等腰直角三角形， ∵是直径， ∴， ∴． 点P由以下两种可能： ①当时，是等腰直角三角形． ∴EP＝FP＝1． ②当时， ∵ ∴，即，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $