精品解析：江苏省靖江高级中学2025-2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题

2025—2026学年第一学期阶段检测2 高一数学试卷 (考试时间: 120分钟; 总分: 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数满足， 则（ ） A. B. C. D. 16 3. 已知函数 则 （ ） A. B. 3 C. 4 D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的实系数二次不等式的解集为，若，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 8. 已知函数则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，是奇函数的为（ ） A. f B. C. D. 10. 已知函数则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的表达式可改写为 D. 若其中 ，则 的最小值为 11. 已知函数的定义域为， 且满足为奇函数，为偶函数， 则下列结论正确的有（ ） A. f(2)=2 B. 函数 f(x)的图象关于点(2,1)对称 C. f(2026)=1 D. 函数f(x)的一个周期为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 13. 已知则_____. 14. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数(其中)的图象关于原点对称； （1）若，求的值； （2）求不等式的解集. 16. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 18. 已知双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 . （1）求证下列式子均为定值 ①； ② （2）求函数 在上的最小值; （3）若，，有 恒成立，求实数的取值范围. 注：函数 在 上递减，在 上递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期阶段检测2 高一数学试卷 (考试时间: 120分钟; 总分: 150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式化简运算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 已知幂函数满足， 则（ ） A. B. C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义得到方程，结合函数单调性求出，从而求出. 【详解】由题意得，解得或， 当时，，函数在上单调递增，满足， 当时，，函数在上单调递减，不满足， 故，. 故选：D 3. 已知函数 则 （ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件代入分段函数即可求出  的值. 【详解】由题可知，，  ， ，. 故选：A 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数单调性得出，利用单位圆得出，结合可判断. 【详解】，即， 因，则结合单位圆可知，即， ， 则. 故选：B 5. 已知函数为偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用得到方程，求出答案. 【详解】令，解得， 定义域为， ，即恒成立， ，化简得， 解得. 故选：D 6. 若函数在区间上单调递减， 则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复合函数的单调性问题，注意对数函数定义域. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增， 所以，解得 故答案为：C 7. 已知关于x的实系数二次不等式的解集为，若，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集得出，再用来代替，最后利用基本不等式即可. 【详解】由题意可知，方程有两个相等的根， 则，解得， 又，则， 则， 等号成立时， 则的最小值为. 故选：B 8. 已知函数则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过函数图象的平移，将函数转化为，判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式. 【详解】令，定义域为R， ∵， ∴是偶函数. 当时，， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递减， ∴在上单调递增. 由可得， ∵是偶函数，∴， 又在上单调递增，∴， 两边平方得，整理得， 解得或. ∴不等式的解集为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，是奇函数的为（ ） A. f B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对每个解析式化简、求定义域，再根据奇偶性的定义判断. 【详解】对于选项A，∵，∴恒成立， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由f， ∴f为奇函数，A正确； 对于选项B，，函数为偶函数，B错误； 对于选项C，函数的定义域为，因为， ，∴为奇函数，C正确； 对于选项D，，定义域关于原点对称，为奇函数，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数则下列结论正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的表达式可改写为 D. 若其中 ，则 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用检验法将，代入，即可验证A错误和B正确，由诱导公式结合余弦函数的周期性得，所以C正确，根据求出对应的的通解，找相邻解的最小差值，即可判断D正确. 【详解】A选项，将代入可得，所以函数的图象关于点对称，故A选项错误； B选项，由于，故函数的图象关于对称，B选项正确； C选项，利用诱导公式得， 再结合余弦周期性得， 因此，所以选项C正确； D选项，由得，，解得或， 即或,则,，D错误. 故答案为：BC. 11. 已知函数的定义域为， 且满足为奇函数，为偶函数， 则下列结论正确的有（ ） A. f(2)=2 B. 函数 f(x)的图象关于点(2,1)对称 C. f(2026)=1 D. 函数f(x)的一个周期为8 【答案】BC 【解析】 【分析】由奇偶性结合对称性判断AB；由对称性结合周期函数的定义判断D；由周期的性质结合对称性判断C. 【详解】对于AB：因为为奇函数,所以， 即，则的图像关于点对称，且， 故A错误，B正确； 对于D：又为偶函数，所以，所以的图像关于直线对称， 因为，所以8不是的周期，故D错误； 对于C：因为，又， 所以，所以是的一个周期， 又，故C正确； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象经过点，请写出一个符合要求的的值，则_____. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】将点代入，利用余弦函数的图象和性质，求值即可. 【详解】由题意：，. 所以，. 所以的值可以为：，，… 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知则_____. 【答案】 【解析】 【分析】应用诱导公式化目标式为，即可求值. 【详解】. 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有8个不同的实数解，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图象，数形结合，把问题转化为方程在上有两个不同的解求的取值范围. 【详解】作出函数的草图如下： 由图可知：当时，方程无解； 当时，方程有2个不同的实数解； 当时，方程有4个不同的实数解； 当时，方程有3个不同的实数解； 当时，方程有2个不同的实数解. 若关于的方程有8个不同的实数解， 则方程在上有两个不同的实数解. 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数(其中)的图象关于原点对称； （1）若，求的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义和对称性求解，则，所以，再利用完全平方式求解的值； （2）根据题意得，由正切函数的性质求解. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或, 即或， 又因为函数图象关于原点对称，所以， 由，即， 则； 【小问2详解】 不等式，即，等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 16. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）且； （2）； （3）； 【解析】 【分析】（1）应用诱导公式化简函数式即可； （2）由平方关系，将目标式化为关于正余弦的齐次式，再由弦化切，即可求值； （3）由已知得，两侧平方并化为，即可得. 【小问1详解】 由且； 【小问2详解】 由题设及（1）知，而 【小问3详解】 由题设，即， 所以，可得， 所以，即， 所以，即. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1）函数单调递增区间为，. （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 ①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 18. 已知双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 . （1）求证下列式子均为定值 ①； ② （2）求函数 在上的最小值; （3）若，，有 恒成立，求实数的取值范围. 注：函数 在 上递减，在 上递增. 【答案】（1） ①为定值. ②为定值. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲正弦函数、双曲余弦函数的概念计算即可. （2）利用换元法，把问题转化成求，的最小值问题.再利用函数的单调性求函数的最小值. （3）把问题转化成二次不等式恒成立的问题求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上单调递增， 且，. 所以当时，. 又. 设，则， 设，. 若，则在上单调递增，所以； 若，则在上单调递减，在上单调递增. 当即时，在上单调递增，所以； 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当即时，在上单调递减，所以. 综上可得：. 【小问3详解】 当时，. 不等式， 可化为. 设， 则为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，所以对，不可能恒成立. 即所求实数不存在. 即满足条件的实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $