精品解析：天津市木斋中学2025-2026学年高一上学期第一次阶段性评比数学试卷

2025-2026学年度第一学期高中阶段 “强效有我，学科之星”阶段性评比 一、单选题 1. 下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A. ①②④ B. ②⑤ C. ③④⑤ D. ②③④ 2. 下列选项中，表示同一集合的是 A. A={0，1}，B={（0，1）} B. A={2，3}，B={3，2} C. A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1} D. A=∅， 3. 设命题三角形的内角和为，则p的否定为（ ） A. 所有三角形的内角和都不为 B. 有的三角形的内角和为 C. 存在三角形的内角和不为 D. 三角形的内角和不为 4. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 5. 下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 11. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 12. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 13. 已知集合，若，则中所有元素之和为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 14. 已知集合，，若，则等于（ ） A. 2 B. 1或2 C. 1或2或 D. 15. 已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 二、填空题 16. 已知命题p:∀x∈R,x2+2x+3>0,则p:_______________. 17. 若：；：，则是成立的_______________________条件. 18. 集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为_____ 19. 已知，则________（填“”或“”） 20. 下列命题中，真命题的编号是______. ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 三、解答题 21. 已知全集，集合，，求，，. 22. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）； （3）若，求实数a的取值范围． 23. （1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 24. （1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高中阶段 “强效有我，学科之星”阶段性评比 一、单选题 1. 下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A. ①②④ B. ②⑤ C. ③④⑤ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【详解】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 选D 2. 下列选项中，表示同一集合的是 A. A={0，1}，B={（0，1）} B. A={2，3}，B={3，2} C. A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1} D. A=∅， 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合相等的定义直接求解． 【详解】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C错误；在D中，A=∅，={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选B． 【点睛】本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3. 设命题三角形的内角和为，则p的否定为（ ） A. 所有三角形的内角和都不为 B. 有的三角形的内角和为 C. 存在三角形的内角和不为 D. 三角形的内角和不为 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断正确选项. 【详解】命题：所有三角形的内角和都是， 所以命题的否定为：存在三角形的内角和不为. 故选：C 4. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角 B. 至少有一个实数，使 C. 两个无理数的和必是无理数 D. 存在一个负数，使 【答案】B 【解析】 【分析】判断ACD为假命题，B是存在量词命题又是真命题，得到答案. 【详解】对选项A：锐角三角形中的内角都是锐角，所以A为假命题； 对选项B：是存在量词命题，当时， 成立，所以B正确； 对选项C：，故C为假命题； 对选项D：对于任何一个负数，都有，所以D为假命题. 故选：B 5. 下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据的性质可判断①②③④的正误，根据集合的定义可判断⑤的正误. 【详解】因为中的最小数为0，故①错误； 不大于3的自然数有0,1,2,3，故②错误； 若，则，此时，故③错误； 而，则成立，故④正确； 集合中有元素0，故⑤错误. 故选：B. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合，再应用交集定义求解. 【详解】，， 则. 故选：C. 7. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程化简集合A，再利用集合间的关系即可判断各个选项. 【详解】因为集合，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，，故C错误，D正确． 故选：D 8. 下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案. 【详解】A.当时，，选项A错误. B.若，满足，但，选项B错误. C.由得，由得，故，选项C正确. D. 若，则，选项D错误. 故选：C. 10. 如果集合 中只有一个元素，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 0或2 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论集合中方程根的情况，从而确定实数m的值. 【详解】当时,方程变为，解得，满足集合有且只有一个元素. 当时，方程是一元二次方程. 因为集合有且只有一个元素， 所以.解得. 综上，实数的值为或. 故选：C. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的充分条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取特殊值判断ACD，根据不等式的性质及必要条件判断B. 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 12. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】依题意中一定含有元素0，即可得，可得实数的取值范围. 【详解】易知，所以中有且仅有一个元素一定为0， 所以，因此可得或， 即实数的取值范围为或. 故选：B 13. 已知集合，若，则中所有元素之和为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍. 14. 已知集合，，若，则等于（ ） A. 2 B. 1或2 C. 1或2或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可以得到中的元素都在集合中，从而求出实数a的值． 【详解】解：，由，可得且， 集合， 当时，， 当时，则或2， 经检验均符合要求， 故或2或， 故选：C 15. 已知集合，或，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 二、填空题 16. 已知命题p:∀x∈R,x2+2x+3>0,则p:_______________. 【答案】∃x∈R,x2+2x+3≤0. 【解析】 【分析】根据命题否定的规则，对命题进行否定即可得到答案 【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知： 命题的否定为， 故答案为： 17. 若：；：，则是成立的_______________________条件. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】举出反例可得充分性不成立，但必有，必要性成立. 【详解】由不能推出，例如，充分性不成立， 但必有，必要性成立， 所以：是：的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 18. 集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空真子集的个数为_____ 【答案】14 【解析】 【分析】化简集合{x|1＜x＜6，x∈N*}={2,3,4,5},根据集合的真子集定义即可求出. 【详解】因为{x|1＜x＜6，x∈N*}={2,3,4,5} 所以非空真子集为{2}，{3}，{4}，{5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5} {2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，共14个，故填14. 【点睛】本题主要考查了集合的真子集，属于中档题. 19. 已知，则________（填“”或“”） 【答案】> 【解析】 【分析】作差法比较大小. 【详解】，故. 故答案为：> 20. 下列命题中，真命题的编号是______. ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【解析】 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 三、解答题 21. 已知全集，集合，，求，，. 【答案】，， 【解析】 【分析】由集合的交集，并集，补集的运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，， 因为，所以. 22. 设全集为，集合，，． （1）求，； （2）； （3）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的交集与并集的运算求解即可； （2）由集合的补集运算与交集运算求解即可； （3）由交集为空集，列出不等式求解参数的范围即可. 【小问1详解】 集合，， 所以，. 【小问2详解】 或，所以. 【小问3详解】 因为集合，， ，则，故， 所以实数a的取值范围. 23. （1）设，．试比较与的大小． （2）已知，，．求证：． 【答案】（1）； （2）因为，可得， 又因为，所以，所以， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】（1）解：由，， 则， 因为，可得，所以； （2）略 24. （1）已知，求的最小值． （2）已知，求的最大值． （3）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解； （2）由，求得，当或时，求得，当时，结合基本不等式，即可求解； （3）根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由，即，解得， 当或时，可得； 当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $