精品解析：吉林省实验中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

吉林省实验中学2025－2026学年度上学期 高三年级第三次月考 数学试题 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理及等比数列的性质求解. 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 2. 已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线方程为，然后代点计算即可求得，从而求解. 【详解】设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：A. 3. 已知，为两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中举反例可判断选项ACD；对于选项B：利用线面垂直的性质定理可判断. 【详解】对于A：在正方体中，平面平面， 直线平面，直线平面，但与为异面直线，故选项A错误； 对于B：利用线面垂直的性质定理可直接得到，故选项B正确； 对于C：在正方体中，平面，且平面平面， 但平面，两者不平行，故选项C错误； 对于D：在正方体中，平面平面，平面， 但平面，两者不平行，故选项D错误. 故选：B 4. 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用周期为和奇函数的性质将转化为，再结合时，，求出，进而得出结果. 【详解】因为函数是周期为的奇函数，所以， 又当时，，所以，则. 故选：A. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据平移规律求函数的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断BCD. 【详解】由题意知不是奇函数，故A错误． 不关于直线对称，故B错误． 由，得，则，故C正确． 当时，，而在上不单调， 所以在上不单调，故D错误． 故选：C 6. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆心到直线距离等于半径得出或，再应用基本不等式计算最小值即可. 【详解】设直线的方程为，圆心到直线的距离为，解得或， 所以，所以， 所以. 当且仅当时取最小值. 故选：A. 7. 18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中，，，h分别为几何体的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，，，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为（ ） A. 312 B. 318 C. 324 D. 336 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设得到到平面的距离为，求得中截面和底面的面积，利用给定“万能求积公式”计算即可. 【详解】由，直线与平面所成角的正切值为，则正弦值为，所以到平面的距离为， 由平面，四边形为矩形，，，， 作出中截面，, 四边形为矩形，所以四边形为矩形， ， 所以体积为. 故选：D 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的对称性，求出数列的通项公式，再利用数列性质及函数对称性求和可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数的图象关于点成中心对称， 所以，若，则. 由，得当时，， 两式相减得，整理得，即， 因为，，所以，即， 所以对任意正整数，都有， 所以数列为常数列，故，即， 由得数列是等差数列， 所以， 故， 所以. 故选：B. 二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过反例验证选项A的错误；通过充分不必要条件的定义分析选项B；利用不等式的性质推导选项C；通过换元法结合函数单调性求解选项D的最值. 【详解】选项A： 取反例：，，，， 此时，，，故A错误. 选项B： 若，则，两边除以得； 若，取，，满足，但不满足. 故“”是“”的充分不必要条件，B正确. 选项C： 由，知（否则不等式不成立），故， 两边除以得，C正确. 选项D： 令，则，. 函数在上单调递增，故时，， 即最小值为，D正确. 故答案为：BCD 10. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 点的轨迹方程为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出椭圆的方程，利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A选项；由椭圆定义可得，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可判断B选项；设点、，可得出点，代入椭圆方程可得出点的轨迹方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，将点的坐标代入椭圆方程可得，因为，解得， 由椭圆定义可得，因为，则， ， 因为，且函数在上单调递减， 故的最大值为，A对； 对于B选项，不妨设点，则， 则 ， 因为， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为，B错； 对于C选项，设点，则点，设点， 由中点坐标公式可得，则， 因为点在椭圆上，则，即，化简得， 故点的轨迹方程为，C对； 对于D选项，圆的圆心为原点，半径为， 因为，故点在圆外， 所以，， 当且仅当为线段与圆的交点时，取最小值，D对. 故选：ACD. 11. 在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线、所成的角为 D. 三棱锥外接球的表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D. 【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确； 对于B，过作于，因为二面角为直二面角， 所以平面平面，又平面平面，所以平面， 由题意可得， 由勾股定理可得， 由，即，解得， 因为为线段的中点，所以到平面的距离为， 又，所以，故B错误； 对于C，取的中点，则，且，， 所以，因为，所以是异面直线、所成的角， 取的中点，连接， 可得，所以， 在中，可得， 由余弦定理可得，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确； 对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于， 易得是的垂直平分线，所以是的外心， 又平面平面，又平面平面，所以平面， 又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心， 又，所以， 所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在，直线满足题意；若斜率存在，设出切线方程，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离，求出的值，综上即可确定出满足题意的切线方程； 【详解】当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为2，此时直线与圆相切. 当过点的圆的切线的斜率存在时，设切线方程为， 即，则圆心到切线的距离为，解得， 所以切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. 故答案为：或. 13. 等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前项和为______． 【答案】 【解析】 【分析】由求得，由等差数列项之间的关系求得公差和首项，即可得到数列通项.然后化简数列的通项公式，即可求得其前项和. 【详解】∵，∴，则，∴ ∴， ∴， 设数列的前项和为， 则. 故答案为：. 14. 定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出在区间的单调性，再结合K-条件的定义进行分析，从而求K的取值范围，即可求出K的最小值. 【详解】因为， 令，， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以在上恒成立， 所以，则在上单调递增， 设，所以， 若函数在区间上满足K-条件 因此对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则对任意恒成立， 令，所以在上单调递减， 在恒成立，所以， 又因为在上单调递减，. 所以，所以K的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．） 15. 在中，内角所对的边分别是且. （1）求； （2）已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得，进而求得的值； （2）根据题意，利用余弦定理，求得，结合三角形的面积公式，求得的面积，再由，结合面积公式，化简求得的长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，可得， 所以，可得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 利用余弦定理，可得， 因为，所以， 所以的面积为， 又因为的角平分线交于点， 所以， 可得， 整理得. 16. 已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意得，解出即可求解； （2）当的斜率不存在时，验证是否满足题意，当斜率存在且不为0，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，由韦达定理得，利用弦长公式求弦长和，利用即可求解. 【小问1详解】 由题意知， 椭圆的方程为：. 【小问2详解】 为椭圆的焦点，当的斜率不存在时，显然，，显然， 斜率存在且不为0，设直线的方程为，， ，，，， 所以，， ， 此时，， ，，， ，解得或， 直线的斜率为或. 17. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在； 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以，， 平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 则，整理可得， 因此，线段上存在点，使平面AMB与平面MBC的夹角的余弦值为，且. 18. 已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）证明：．(切线不等式) 【答案】（1） （2） （3）证明：因为， 由于，故，故，右边证毕； 因为，故， 故，又根据切线不等式，故 ，故有， 综上所述：． 【解析】 【分析】（1）先求切线方程，代入坐标可得，，即，构造等比数列即可求解； （2）由 ，利用错位相减法和分组求和即可求解； （3）由，得，利用分组求和即可证，又，利用切线不等式，故 ，即可得证. 【小问1详解】 ，， 记，，， 切线，有， 代入坐标可得，，即，可得， 故为公比为2的等比数列，由于，， 故，得； 【小问2详解】 由 ， 记，有， 作差有，有， 有 ， 故 ； 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点，求证：. 【答案】（1）时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可； （2）令，利用同构思想求证即可； （3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省实验中学2025－2026学年度上学期 高三年级第三次月考 数学试题 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码. 3.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记. 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 5.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存. 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 在等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A. B. 6 C. 36 D. 2. 已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知，为两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知函数是周期为的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 6. 过点作直线与圆相切，斜率的最大值为，若，，，则的最小值是（ ） A. 12 B. 9 C. D. 7. 18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了中学数学教材中柱、锥、球、台体等几何体的统一体积公式：（其中，，，h分别为几何体的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高），我们也称为“万能求积公式”.例如，正四棱锥的底面边长为a，高为h，则该正四棱锥的体积为.类似的，运用该公式求解问题：如图，在五面体中，平面，四边形为矩形，，，，，直线与平面所成角的正切值为，则该五面体的体积为（ ） A. 312 B. 318 C. 324 D. 336 8. 若，数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 76 B. 38 C. 19 D. 0 二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则 D. 设，则的最小值为 10. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 点的轨迹方程为 D. 的最小值为 11. 在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 三棱锥的体积为 C. 异面直线、所成的角为 D. 三棱锥外接球的表面积为 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为______. 13. 等差数列的前n项和为，已知，，设，则数列的前项和为______． 14. 定义在区间D上的函数，若存在正数K，对任意的，不等式恒成立，则称函数在区间D上满足K-条件．若函数在区间上满足K-条件，则K的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．） 15. 在中，内角所对的边分别是且. （1）求； （2）已知的角平分线交于点.若，.求面积及的长. 16. 已知椭圆的离心率为，且经过点，直线与轴交于点，与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）若点坐标为，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的斜率. 17. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使点D到达点P位置，且，连接得三棱锥，如图2． （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点M，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）证明：．(切线不等式) 19. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $