精品解析：江苏省海门中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试卷

高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以的虚部为1. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 即. 又，故. 3. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为，所以，解得， 故选：A. 4. 若，是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】依据线面平行判定定理，可由、、推出，充分性成立，再根据线面平行的性质，由无法必然推出，必要性不成立. 【详解】已知，，当时，满足线面平行判定定理的条件， 可以推出，因此充分性成立； 若，说明直线与平面内的直线没有交点，和平面内的直线可能平行，也可能异面， 所以与给定的直线不一定平行，二者也可能为异面直线， 因此由不能必然推出，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 5. 一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】依题意，的取值为. 则，，. 则的分布列为： 0 1 2 可得. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式直接求出，即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以，则. 7. 已知函数（为自然对数的底数），则下列说法中不正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上递增 C. 只有极大值 D. 只有极小值 【答案】C 【解析】 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称． 因为，所以是偶函数，选项A正确； 对求导，． 令，即， 则，即，解得． 当时，，，所以， 则在上递增，选项B正确； 由上述分析可知，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 根据极值的定义可知，是的极小值点，所以只有极小值，无极大值， 选项C错误，选项D正确． 8. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，分别是正方体中棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题是一道“无图立体几何题”，需要先自主作出题中正方体，之后结合空间中线线垂直的定义、线面平行的判定定理、异面直线所成的角的定义、空间中直线与平面所成角的定义即可解决本题. 【详解】 选项A：如图，在正方体中，， 因为，分别是棱，的中点，所以， 在正方形中，因为，所以，故A正确； 选项B：如图，在正方体中，结合选项A， 因为，平面，平面， 所以平面，故B正确； 选项C：如图，在正方体中，不妨设其棱长为1， 结合选项A，因为，所以就是与所成的角， 在中，，所以， 所以，即与所成的角不是，故C错误； 选项D：如图，在正方体中，不妨设其棱长为1，结合选项A， 因为，所以与平面所成的角就是与平面所成的角， 因为且， 所以平面，设垂足为， 所以是与平面所成的角， 在中，，， 所以，所以， 即与平面所成的角为，故D正确. 10. 袋中有形状、大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取出一个球观察颜色后不再放回袋中，接着再取出一个球．设事件：第一次取出的球是红球，事件：第二次取出的球是白球，则（ ） A. 与互斥 B. 与不独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，利用互斥事件的定义，即可求解；对B，先求出，再由独立事件的判断方法，即可求解；对C，由选项B可直接判断，对D，由条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】对于A，易知事件和事件可以同时发生，所以与不互斥，故A错误， 对于B，因为，，， 则，所以与不独立，故B正确， 对于C，由选项B知，所以C正确， 对于D，由选项B知，，，所以，则D错误. 11. 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数的意义求得极大值和极小值，进而计算求得可判断A；计算可得，与不共线，可判断B；由题意得，计算可判断C；设，计算得，结合导数的意义可判断D. 【详解】对于A，由，得， 令，得，解得， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点， 所以极大值， 极小值， 所以，解得，故A正确； 对于B，由A知，令，解得或或， 从而可得曲线和轴的三个交点为，，， 又， 所以，， 所以，与不共线，所以四边形为平行四边形，故B正确； 对于C，由，可得， 令，解得， 所以在曲线上存在两个不同的点的切线与直线平行，故C错误； 对于D，设， 则，，， 所以， 又曲线在处的切线斜率为， 所以，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则_________． 【答案】0.26 【解析】 【详解】已知随机变量， 则正态分布曲线关于直线对称， 所以，． 则． 13. 从1，2，3，4，5这5个数中选出3个不同的数组成三位数，大于321的数共有_________个． 【答案】32 【解析】 【详解】1. 百位为4或5：百位有2种选法，剩余两位从余下4个数中任取2个排列，共个，均大于321. 2. 百位为3： 十位为4或5：十位有2种选法，个位从余下3个数中任选一个，共个； 十位为2：个位需大于1，可选4、5，共2个； 共个. 综上，大于321的三位数共有个. 14. 已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】取中点为，证明为该四棱锥的外接球的球心，进而求出四棱锥外接球半径，利用球的体积公式求球的体积. 【详解】如图，取中点，中点，连接，，，. 因为，，， 所以，，均为边长为1的等边三角形. 所以.且、，. 又，为中点，所以. 平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又，所以即为二面角的平面角，为. 所以. 所以点为四棱锥外接球的球心，且外接球半径为. 所以四棱锥外接球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商家为了解某种新产品的广告费投入（单位：万元）与该产品的销售量（单位：万件）之间的相关关系，收集了近5个月的相关数据如下表： 广告费投入/万元 2 4 5 6 8 销售量/万件 3 4 6 5 7 （1）求关于的经验回归方程； （2）根据（1）中的回归方程预测，若该商家希望下个月该产品的销售量达到8.25万件，大约需要投入多少万元的广告费？ 附：回归方程中，，． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【小问1详解】 由表中数据可求得，， 所以， 所以关于的经验回归方程为； 【小问2详解】 由（1）得，，解得， 所以该商家希望下个月该产品的销售量达到8.25万件，大约需要投入10万元广告费． 16. 现有甲、乙志愿服务队，其中甲队有5名男生，3名女生；乙队有6名男生，2名女生． （1）若从甲队和乙队中各选2人，求这4人中恰有1名女生的不同选法共有多少种； （2）若只从甲队中选出男、女生各2人担任宣讲员，要求这4名宣讲员在广场上站成一排，其中2名女生不能相邻，求不同的选排方法共有多少种． 【答案】（1）345种 （2）360种 【解析】 【小问1详解】 选出的4人中恰有1名女生，包括两种情况： 第一种情况，女生来自甲队，即甲队选1名女生、1名男生，乙队选2名男生，选法有种 第二种情况，女生来自乙队，即乙队选1名女生、1名男生，甲队选2名男生，选法有种 根据分类加法计数原理，共有种选法． 【小问2详解】 因为完成这件事情分成两步： 第一步从甲队中选出2名男生和2名女生，有种选法 第二步将选出的同学站成一排且女生不相邻， 使用插空法，往男生间隔中插入女生，有种排法 根据分步乘法计数原理，共有种选排方法． 17. 已知，函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； （3）若函数的极小值不小于3，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出切线的斜率，代入直线方程的点斜式即可解决本题； （2）函数在定义域内不存在极值点，说明其在定义域内恒单调，即其导数在定义域内恒非负或恒非正，结合含参二次函数的图象即可解决本题； （3）由（2）可知，的极小值就是，于是有，得到与的关系，运用“隐零点问题”的常规解法即可解决本题. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以，所以切线的斜率为， 因为，所以切点为，代入点斜式得，， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为， 因为函数在定义域内不存在极值点，且函数图象是连续的， 所以函数在定义域内是单调的． （i）当时，在时恒成立，即， 所以函数在定义域内单调递减，符合题意， （ii）当时，设， 因为，且的图象开口向上， 所以存在，使得，于是， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，不符合题意， 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）知，当时，存在极小值点， 因为，所以． 因为的极小值不小于3， 所以恒成立， 所以，即 设函数， 所以，即函数在上单调递减， 因为，所以的解为，即， 因为，所以，令， 因为，所以， 所以的最小值为2. 【点睛】本题的第（3）小问是一道典型的“隐零点问题”，原题虽然求的是的最小值（范围），但却需要先消去，保留，得到关于的不等式，求出的范围，再将视作关于的函数去求的最小值（范围）. 18. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； （3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 【答案】（1） （2）分布列为： 0 1 2 3 （3） 【解析】 【详解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以， 解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 19. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）（i）因为，， 在中，由余弦定理，，, 所以，即， 所以， 因为平面平面，平面平面， 平面，， 所以平面． 因为平面，所以； （ii） （2）存在，正弦值最大值为 【解析】 【分析】（1）（i）由平面平面，得 平面，推出； （ii）方法1（坐标法）：建系写出所有点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面距离公式算出距离；方法2（等体积法）：，分别求出底面面积、高，解方程得到点到平面距离； （2）求出锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 【小问1详解】 （i）略； （ii）设，连接， 因为，平面，平面， 所以． 因为平分，所以， 所以，， 由（1）知，，，，平面． 法1： 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 因为，，， 设平面（即）的一个法向量为， 所以，即，令，则，， 所以， 设到平面的距离是， 所以 所以点到平面的距离是； 法2： 由，得， 所以的面积为． 由（1）知平面，平面，所以． 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以，即； 在中，由余弦定理得，所以， 设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点到平面的距离是； 【小问2详解】 以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，设， 因为，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 解得，令，则， 所以， 又因为，， 设平面的一个法向量为， 所以，所以， 得， 所以， 令，则， 所以， 设， 因为，， 所以当，即时，取得最小值， 所以， 设锐二面角的大小为， 因为，所以， 所以锐二面角的正弦值的最大值为，由正弦函数的单调性知角存在最大角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置，在其他位置作答一律无效． 3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 若，是两条不同的直线，是平面，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一批笔记本电脑共有7台，其中品牌4台，品牌3台．现从中随机挑选2台，设这2台电脑中品牌的台数为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（为自然对数的底数），则下列说法中不正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上递增 C. 只有极大值 D. 只有极小值 8. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，分别是正方体中棱，的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 与所成的角为 D. 与平面所成的角为 10. 袋中有形状、大小相同的3个红球和2个白球，从袋中随机取出一个球观察颜色后不再放回袋中，接着再取出一个球．设事件：第一次取出的球是红球，事件：第二次取出的球是白球，则（ ） A. 与互斥 B. 与不独立 C. D. 11. 已知函数分别在点，处取极大值和极小值，曲线和轴的三个交点依次为，，（），为曲线上异于，，的动点，则（ ） A. B. 四边形为平行四边形 C. 在曲线上存在三个不同的点的切线与直线平行 D. ，，的斜率之和与曲线在处的切线斜率相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则_________． 13. 从1，2，3，4，5这5个数中选出3个不同的数组成三位数，大于321的数共有_________个． 14. 已知在四棱锥中，，，，，平面平面，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的外接球的体积是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某商家为了解某种新产品的广告费投入（单位：万元）与该产品的销售量（单位：万件）之间的相关关系，收集了近5个月的相关数据如下表： 广告费投入/万元 2 4 5 6 8 销售量/万件 3 4 6 5 7 （1）求关于的经验回归方程； （2）根据（1）中的回归方程预测，若该商家希望下个月该产品的销售量达到8.25万件，大约需要投入多少万元的广告费？ 附：回归方程中，，． 16. 现有甲、乙志愿服务队，其中甲队有5名男生，3名女生；乙队有6名男生，2名女生． （1）若从甲队和乙队中各选2人，求这4人中恰有1名女生的不同选法共有多少种； （2）若只从甲队中选出男、女生各2人担任宣讲员，要求这4名宣讲员在广场上站成一排，其中2名女生不能相邻，求不同的选排方法共有多少种． 17. 已知，函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在定义域内不存在极值点，求的取值范围； （3）若函数的极小值不小于3，求的最小值． 18. 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． （1）求的值； （2）若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； （3）若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 19. 在平行四边形中，，，为上一点，且平分，将沿翻折至． （1）若平面平面． （i）求证：； （ii）设平面，若，求点到平面的距离； （2）试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $