精品解析：云南省玉溪第五中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

秘密★启用前 玉溪第五中学2025-2026学年上学期期中检测 九年级数学试题卷 （本卷共三大题，共27小题，共8页；考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卷上解题作答，答案书写在答题卷相应的位置，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．选择题用2B铅笔填涂． 3．考试结束后，答题卷由监考教师收回，试题卷由学生带走． 一、选择题（共15小题，每小题2分，共30分） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，4，2 B. 3，，2 C. 3，4， D. 3，， 3. 关于的方程的一根为1，则的值为（ ） A 6 B. 4 C. D. 4. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 9. 已知抛物线，该函数的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 10. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 11. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 13. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的新拋物线解析式为（ ） A. B. C. D. 14. 二次函数的图象与轴的交点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 15. 已知，是方程两个根，则的值为（ ） A. 55 B. 43 C. 61 D. 37 二、填空题（共4小题，每小题2分，共8分） 16. 抛物线的顶点坐标是____． 17. 若一等腰三角形的两边长分别为方程的两个实数根，则这个等腰三角形的底边长为______． 18. 已知方程有两个相等的实数根，则的值为______． 19. 顶点坐标为的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为______． 三、解答题（共8小题，共62分） 20 用适当方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程有一个根为2，试求的值． 22. 如图，在等边三角形中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． 求证：． 23. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量月平均增长率； （2）估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 24. 如图，与关于点成中心对称． （1）连接，证明四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 25. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”规定，随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商家抓住商机，购进两个品牌的头盔进行销售．已知购进品牌头盔3个和品牌头盔2个共需180元，购进品牌头盔2个和品牌头盔3个共需195元． （1）购进、品牌头盔的单价分别是多少？ （2）商家经过调查统计，销售品牌头盔时，设销售价为元，则销售量与之间满足函数关系．问销售价定为多少元时，该商家销售品牌头盔可获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）、两点的坐标为______、______； （2）求面积； （3）在抛物线上，是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． （1）求直线的解析式； （2）求二次函数的解析式； （3）设点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 玉溪第五中学2025-2026学年上学期期中检测 九年级数学试题卷 （本卷共三大题，共27小题，共8页；考试时间120分钟，满分100分） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卷上解题作答，答案书写在答题卷相应的位置，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．选择题用2B铅笔填涂． 3．考试结束后，答题卷由监考教师收回，试题卷由学生带走． 一、选择题（共15小题，每小题2分，共30分） 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故该选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，4，2 B. 3，，2 C. 3，4， D. 3，， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式， 根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，，． 故选：D． 3. 关于的方程的一根为1，则的值为（ ） A. 6 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，理解一元二次方程根的概念是关键． 将已知根 代入方程，直接求解 的值． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4. 二次函数的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数顶点式的特点，掌握顶点式的特点是关键． 根据二次函数的顶点形式，对称轴由顶点横坐标直接确定． 【详解】解：∵ 二次函数顶点形式为 ，对称轴为直线 ， 给定函数 ， ∴ ， ∴ 对称轴为直线 ， 故选：A． 5. 平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点坐标的变换，掌握点关于原点对称的特点是关键． 线段绕原点O旋转，相当于点A关于原点中心对称，坐标变为相反数． 【详解】解：∵点绕原点O旋转， ∴点与点A关于原点对称， 即x坐标和y坐标均取相反数， ∴， 故选：C． 6. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若，，则二次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断二次函数的图象．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴抛物线的开口向上，与轴交于负半轴， ∵二次函数的对称轴为y轴， ∴二次函数的图象大致是： ． 故选：A． 8. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法解一元二次方程步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴， 故选：B． 9. 已知抛物线，该函数的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数最值的计算，掌握顶点公式的计算是关键． 二次函数开口向上，最小值在顶点处，通过顶点公式计算即可． 【详解】解：∵抛物线 中 ， ∴开口向上，有最小值， 顶点横坐标 ， 代入得 ， ∴最小值为 ， 故选 ：A． 10. 如图，将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上，若，则的长为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转一定的角度得到，此点A在边上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 11. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个，根据利润=每个的利润×销售量即可列出方程． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，销售量就减少个， 根据题意可得：； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，正确理解题意、找准相等关系是解题关键． 12. 如图抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，自变量的值的计算是关键． 根据题意建立平面直角坐标系，运用待定系数法得到解析式为，结合题意把代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入得，，即， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵水面下降，即， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴水面宽度为， 故选：B ． 13. 将抛物线先向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的新拋物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握平移规律是关键． 根据抛物线平移规则，左右平移时x左加右减，上下平移时常数项上加下减． 【详解】解：∵向上平移2个单位， ∴新解析式为 ； ∵再向右平移3个单位， ∴x替换为，得 ， ∴新抛物线解析式为 ， 故选：C． 14. 二次函数的图象与轴的交点有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题．通过计算，判断与x轴的交点个数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故二次函数的图象与轴有2个交点， 故选：C． 15. 已知，是方程两个根，则的值为（ ） A. 55 B. 43 C. 61 D. 37 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握是解题的关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后通过恒等变形求解 ． 【详解】解：∵ , 是方程 的根， ∴ 方程化为 ， ∴ 由根与系数的关系，得 , ， ∴ ， 故选：A． 二、填空题（共4小题，每小题2分，共8分） 16. 抛物线的顶点坐标是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了把二次函数的解析式转化为顶点式，根据顶点式写出抛物线的顶点坐标即可． 【详解】解： 抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 17. 若一等腰三角形的两边长分别为方程的两个实数根，则这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，等腰三角形的性质，三角形三边关系．先解方程得到两个实数根，再根据等腰三角形的定义和三角形三边关系判断可能的边长组合，排除不满足条件的组合，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得，； ∴等腰三角形的两边长分别为9 和4， 当腰长为4，底边为9，则，不满足三角形任意两边之和大于第三边的条件； 当腰长为9，底边为4，则，，，满足三角形三边关系， 故底边长为4， 故答案为：4． 18. 已知方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数．根据一元二次方程根的判别式，当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：4 19. 顶点坐标为的拋物线还经过原点，则该抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法的计算是关键． 由顶点坐标设出抛物线的顶点式，再代入原点坐标求出参数值，即可得解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将原点代入得：，即， 解得， 故解析式为，展开得 ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共62分） 20. 用适当方法解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键， （1）利用提公因式法解方程即可得到答案； （2）利用直接开平方解方程即可得到答案； （3）利用因式分解法解方程即可得到答案； （4）利用公式法解方程即可得到答案 【小问1详解】 解： 提公因式得： 解得：，． 【小问2详解】 解：， 开平方得：， 解得：，． 【小问3详解】 解： 因式分解得： 解得：，． 【小问4详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴，． 21. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）如果方程有一个根为2，试求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2027 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根． （1）由可得答案； （2）将代入方程得，代入原式计算可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵方程有一个根为2， ∴，即， ∴． 22. 如图，在等边三角形中，为边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在射线上． 求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质得，又结合旋转的性质得，整理得，即可证明． 【详解】证明：∵三角形是等边三角形， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 则， 即， ∵ ∴， ∴． 23. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．某品牌新能源汽车1月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆．已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同． （1）求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】（1） （2）万辆 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是关键． （1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程求解即可． （2）通过1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率估算4月份该品牌新能源汽车的销售量． 【小问1详解】 解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据1月份和3月份的销售量建立方程得： ， ∴或（舍）， 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 ∵该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同， ∴4月份该品牌新能源汽车的销售量为（万辆）， 答：4月份该品牌新能源汽车的销售量大约为万辆． 24. 如图，与关于点成中心对称． （1）连接，证明四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的运用是关键． （1）根据中心对称的特点得到，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证； （2）由勾股定理，平行四边形的性质得到，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示， ∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 25. 公安部提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的规定，随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某商家抓住商机，购进两个品牌的头盔进行销售．已知购进品牌头盔3个和品牌头盔2个共需180元，购进品牌头盔2个和品牌头盔3个共需195元． （1）购进、品牌头盔的单价分别是多少？ （2）商家经过调查统计，销售品牌头盔时，设销售价为元，则销售量与之间满足函数关系．问销售价定为多少元时，该商家销售品牌头盔可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） A品牌头盔的单价是30元，B品牌头盔的单价是45元 （2） 销售价定为65元时，可获得最大利润，最大利润12250元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，二次函数图象的综合，理解数量关系，正确列出二元一次方程组，二次函数解析式是解题的关键． （1）设A品牌头盔的单价是a元，B品牌头盔的单价是b元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，每个A品牌头盔的利润为元，设利润为，由此列式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设A品牌头盔的单价是a元，B品牌头盔的单价是b元， 由题意得：， 解得，， ∴A品牌头盔的单价是30元，B品牌头盔的单价是45元； 【小问2详解】 解：销售品牌头盔时，设销售价为元，则销售量与之间满足函数关系，A品牌头盔的单价是30元， ∴每个A品牌头盔的利润为元， 设利润为， ∴ ， ∵， ∴有最大值，当时，的值最大，最大值为元， ∴销售价定为65元时，可获得最大利润，最大利润是12250元． 26. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）、两点的坐标为______、______； （2）求面积； （3）在抛物线上，是否存在一点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数与坐标轴的计算，几何面积的计算是关键． （1）根据题意，当时，，解一元二次方程得到的坐标，当时得到的坐标，由此即可； （2）根据题意得到，由三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到，，设，由此列式求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于、两点， ∴当时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意，，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴或， 整理得，或， ∴或， ∴或， ， ∴存在，点的坐标为或或或． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，． （1）求直线的解析式； （2）求二次函数的解析式； （3）设点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，求的最大值． 【答案】（1）直线的解析式为 （2）二次函数解析式为 （3）当时，有最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握以上知识，正确列式求解是关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）运用待定系数法求二次函数解析式即可； （3）根据题意，设，则，结合二次函数图象的性质即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：二次函数的图象经过点，，， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问3详解】 解：设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $