精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学12月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 2. 二项式展开式的常数项为（    ） A. B. 60 C. 120 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得， 所以展开式的常数项为， 故选：B． 3. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ） A. 900 B. 600 C. 450 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】按1，2，3或2，2，2将6人分成三组，再把分成三组分到3个村寨即可. 【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生， 所以可以分成1，2，3或2，2，2两类， 当6人分成1，2，3三组，有种分法， 当6人分成2，2，2三组，有种分法， 所以不同的安排方法种数为种， 故选：C 4. 万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得到两椭圆离心率相同，从而得到两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，由此得解. 【详解】因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同， 所以两椭圆长轴长与短轴长的比例相同，则，即，得， 所以小椭圆的长轴长为：． 故选：B． 5. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 6. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆的半径得边长，从而得三角形面积，确定三棱锥体积最大时点位置，得三棱锥的高，从而求得球半径得球体积． 【详解】如图，所在圆即为的外接圆. 设圆的半径为，则，解得. 因为为等边三角形，所以. 由正弦定理可得，解得. 所以. 如图，当三点共线时，三棱锥的体积最大，最大值为，此时平面，三棱锥的高最大，且有，解得. 设球的半径为，在Rt中，，解得. 所以球的体积. 故选：B. 7. 已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由直线与双曲线的交点和与直线的交点重合求解. 【详解】设，直线的方程为， 与双曲线方程 联立解得， 又因为， 所以直线方程为， 与联立解得， 所以，即， 所以， 故选：D 8. 已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，进而可得直线的方程，再根据点到直线的距离公式，结合在直线l：上，可得圆心到直线的距离关于的表达式，进而根据函数的最值求解即可. 【详解】设点，圆O：，其圆心， 由题意知：是圆的切线，则， 则点在以为直径的圆上，又由，， 则以为直径的圆的方程为：，即， 与圆O：联立可得：，即直线的方程为. 又因为点在直线l：上，故， 所以圆心到直线的距离， 所以当时，取最大值， 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的周期可判断A；求出的单调增区间可判断B；求出函数的图象的对称轴方程可判断C；根据图象平移规律可判断D． 【详解】对于A，函数的周期为，故A正确； 对于B，由，得， 所以的单调增区间为，故B错误； 对于C，令，则， 所以函数的图象的对称轴方程，故C正确； 对于D，函数向右平移个单位长度得到 ，故D错误． 故选：AC． 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】设，，将ABD中的式子化为三角函数的形式，根据三角函数的最值可求得结果；根据的几何意义，利用圆的切线的求解方法可求得的取值范围，由此确定C的正误. 【详解】由得：，可设，； 对于A，， 当时，，A正确； 对于B，， 当时，；B正确； 对于C，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：， ，，C错误； 对于D，， 当时，，D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题考查与圆上的点的坐标有关的最值问题的求解，解题关键是能够利用换元法，结合三角恒等变换的公式将问题转化为三角函数值域的求解. 11. 已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（ ） A. B. 过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条 C. 的最小值为 D. 若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和的位置关系可判断C，最后根据焦点三角形的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为可求其半径. 【详解】如下图所示： 由双曲线方程和圆方程可知，， 所以左焦点为，右焦点； 对于A，由于在双曲线左支上，根据焦半径公式可知，故A正确； 对于B，由过点的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在， 设直线斜率为，则直线的方程为， 联立直线和双曲线的方程得： ； ①当时，即，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根， 所以直线和双曲线仅有一个公共点，此时直线与双曲线的渐近线平行， 即此时有两条直线与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意； ②当时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知， 该方程仅有一个实数根，所以， 整理得，即， 此时直线为双曲线的切线，分别为，所以过点可作两条切线； 综上可知，过点可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B错误； 对于C，由双曲线定义可知，， ，当且仅当三点共线时等号成立； ，当且仅当三点共线时等号成立； 所以， ，即C正确； 对于D，如图所示，分别设的内切圆与三边切点为， 又因为， 所以， 又因为在轴上，，，不妨设, 由，得，即； 所以即为双曲线的左端点，又因为， 所以圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为， 设，则圆的半径为，由于圆与圆外切， 所以，，解得；所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知直线平面，且直线的方向向量为，平面的法向量为，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用，可得的方向向量与平面的法向量垂直，结合空间向量垂直的坐标表示可求得的值. 【详解】因为直线平面，所以，直线的方向向量与平面的法向量垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13. 已知直线与圆相交于两点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出弦长 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为2， 所以圆心到直线的距离为 ， 所以， 故答案为： 14. 设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率, 【详解】 由题意知：渐近线方程为，由焦点，，则圆的半径为，又该圆过线段的中点， 故，离心率为. 故答案为：. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知直线方程为. （1）证明：直线恒过定点，并求定点坐标； （2）为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 【答案】（1） （2），此时点到直线距离的最大为 【解析】 【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点即可； （2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值，并求出垂直时即可． 【小问1详解】 由直线方程得 ， 因为，所以，解得， 所以直线恒过定点； 【小问2详解】 由（1）知，直线恒过定点， 则直线与已知直线垂直时，点到已知直线距离最大， 可知就是所求最大值， 直线的方程为，即， 因为直线与已知直线垂直， 所以，解得； 且； 16. 已知圆C的圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线被圆C截得的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设圆C的方程为，圆中的弦长公式建立方程，可得圆C的方程为； （2）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，设直线l的斜率为k，设，，由A，B关于点P对称，和点A，B在圆C上，可得直线l的斜率为，从而求得直线l的方程. 【详解】解：（1）设圆C的方程为，由题意可得，解得. 故：圆C的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为. 此时点A，B不关于点对称，所以1不符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k. 设，，因为A，B关于点P对称，所以，. 因为点A，B在圆C上，所以， 所以，整理得，即. 因为点A，B在直线l上，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为，即. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆的弦长的公式，圆的标准方程的求得，属于中档题. 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造思想，等式两边同时加1，即可证得等比数列，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法直接求和即可. 【小问1详解】 由， 所以是首项、公比均为3的等比数列，故 所以. 小问2详解】 由（1）有，则， 所以， 两式相减，得 所以. 18. 已知数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（2）利用时，，可得，再利用“累乘法”求数列的通项公式. （2）将不等式恒成立问题转化为最值问题，然后求的最大值即可. 【小问1详解】 当时， 所以， . 当时，，上式亦成立. 所以. 【小问2详解】 对任意恒成立， 即对任意恒成立， 记，故， 所以当时，，所以，即， 当时，，即随着n的增大，递减， 所以的最大值为， 所以，即. 19. 对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中d为非零常数，则称数列是数列． （1）判断无穷数列和是不是数列？若是，求出相应的常数d的值；若不是，请说明理由； （2）若是数列，且． ①记的前n项和为，求证：； ②对任意的正整数n，设，求数列的前项和． 【答案】（1）是数列，不是数列，理由见解析 （2）①证明见解析；②． 【解析】 【分析】（1）令，计算为，即可判断是数列；令，计算为，即可判断不是数列； （2）①根据题中条件，先求出，由等差数列前项和公式，求出，计算，化简整理，即可证明结论正确； ②由①中，先求出当n为奇数时，；当n为偶数时，，利用裂项相消的方法求奇数项的和，利用错位相减法求偶数项的和，进而可求出结果. 【小问1详解】 解：是数列，不是数列，理由如下： 令，则，， 因为为非零常数， 所以无穷数列是数列，相应的常数d的值为4． 令，则，，， 因为不非零常数， 所以无穷数列不是数列． 【小问2详解】 ①证明：因为是数列，且， 所以，是首项与公差都是1的等差数列， 所以， ． ，等号仅当时成立． 所以，即． ②解：由①知， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，， 对任意的正整数n，有 ， ， ， 两式相减得 ， 所以， 因此，． 所以数列的前项和为． 【点睛】关键点点睛： 求解本题第二问的关键是利用题中所给的数列的定义，结合等差数列的通项公式，求出，再结合等差数列求和公式，以及错位相减和裂项相消法，即可求解（2）中①②两小问. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学12月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2. 二项式展开式的常数项为（    ） A. B. 60 C. 120 D. 240 3. 2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村､口寨村､忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则不同的安排方法种数为（ ） A 900 B. 600 C. 450 D. 150 4. 万众瞩目的北京冬奥会将于年月日正式开幕，继年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为，短轴长为，小椭圆的短轴长为，则小椭圆的长轴长为（ ）． A. B. C. D. 5. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为.若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，左右焦点分别为，过作平行于渐近线的直线交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P在直线l：上，过点P的两条直线与圆O：分别相切于A，B两点，则圆心O到直线AB的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到 10. 已知实数满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知点，点P是双曲线C：左支上的动点，为其右焦点，N是圆D：的动点，直线交双曲线右支于Q（O为坐标原点），则（ ） A. B. 过点M作与双曲线C仅有一个公共点的直线恰有2条 C. 的最小值为 D. 若的内切圆E与圆D外切，则圆E的半径为 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知直线平面，且直线的方向向量为，平面的法向量为，则_____. 13. 已知直线与圆相交于两点，则___________. 14. 设双曲线：的左、右焦点分别为，以为圆心的圆恰好与双曲线的两渐近线相切，且该圆过线段的中点，则双曲线的离心率是_____． 四、解答题（共5题，共77分） 15. 已知直线方程为. （1）证明：直线恒过定点，并求定点坐标； （2）为何值时，点到直线的距离最大，并求最大值. 16. 已知圆C圆心C在x轴的正半轴上，半径为4，直线被圆C截得的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）已知直线l过点，且与圆C交于A，B两点.若A，B关于点P对称，求直线l的方程. 17. 已知数列满足. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围. 19. 对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中d为非零常数，则称数列是数列． （1）判断无穷数列和是不是数列？若是，求出相应的常数d的值；若不是，请说明理由； （2）若是数列，且． ①记的前n项和为，求证：； ②对任意的正整数n，设，求数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $